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1、第 5 章 概率与概率分布,学习目标 理解概率相关定义，掌握概率的运算法则 理解随机变量，掌握随机分布，如正态分布等 掌握随机变量的数学期望和方差的计算方法 了解用Excel计算分布的概率 本章内容 5.1 随机事件及其概率 5.2 概率的性质与运算法则 5.3 离散型随机变量及其分布 5.4 连续型随机变量及其分布,5.1 随机事件及其概率,随机事件的几个基本概念 事件的概率,一、随机事件的几个基本概念,试验（experiment） 事件,试验（experiment）,在相同条件下，对事物或现象所进行的观察，例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 试验的特点 可以在相同的条件下重复进行 在试验之
2、前，试验的所有可能结果是已知的，但每次试验的确切结果不能确定 每次试验的可能结果可能不止一个,事件（event）,事件的含义：随机试验的每一个可能结果（任何样本点集合），例如，掷一枚骰子出现的点数为3 事件的分类 随机事件（random event） 必然事件（certain event），用 表示 不可能事件（impossible event），用 表示,二、事件的概率,事件A的概率指事件A在试验中出现的可能性，是一个数值，记作P(A) 概率的古典定义 概率的统计定义 主观概率的定义,概率的古典定义,如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该
3、事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值 定义公式,概率的统计定义,在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率 随着n的增大，m/n的值围绕某一常数p上下摆动，且波动的幅度逐渐减小趋向于稳定，这个常数 p 即为事件A的概率，记为,统计概率的一个例子,如：投掷一枚硬币，考察出现正、反面的频率 随着投掷次数的增加，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右（见下图）,主观概率的定义,主观概率指个人根据经验和掌握的信息对事件概率作出判断 常适用于一些无法重复的试验 例如，我认为 2014年的中国股指将达到3000点的概率为0.3 202
4、0年之前中国GDP超过美国的概率为0.9,5.2 概率的性质与运算法则,概率的性质与概率的加法法则 条件概率与概率的乘法法则 独立事件,一、概率的性质与加法法则,非负性：对任意事件A，有 0 P 1 规范性：即P( )=1；P( )=0 可加性（加法法则， additive rule ） 若A与B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B) 若n个事件A1，A2，An两两互斥，则有 P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An),对一般情况，P(AB)=P(A)+P(B)P(AB),概率加法法则的两个例子,【例1】甲、乙进行一项游戏，规则为：从写有1、2、3、4、5的5张卡片中任抽一张，抽
5、中奇数判甲胜，否则判乙胜。试问：这个游戏公平吗？,【例2】某市有甲、乙两种报纸，该地人有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问有多少人至少读一种报纸？,【解】设A读甲报纸，B读乙报纸，则至少读一种报纸的人的比例为 P(AB) =P(A)+P(B)P(AB)=0.28,不公平,二、条件概率与概率的乘法法则,条件概率（conditional probability）：在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)，公式为：,注意：P(B)0,概率的乘法法则（multiplicative rule） 以条件概率的定义为基础 P(AB)=P(B)P(A|
6、B)或P(AB)=P(A)P(B|A),问题：P(B|A)表示什么？ 公式是什么？,概率的乘法法则的一个例子,【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？,【解法一】设事件 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”（i=1, 2），所求概率即为P(A1A2)。,【解法二】根据事件概率的古典定义，,应用乘法公式,三、独立事件,事件的独立性（independence）：事件A是否发生并不影响事件B发生的概率，即P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) 若事件A与B独立，则 概率乘法法则可简化为P(AB)=P(A)P(B) 对n个独立
7、事件，有 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2) P(An),独立事件的一个例子,【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间（30分钟）内机床不需要看管的概率为：甲机床0.9，乙机床0.8，丙机床0.85。若机床自动且独立地工作，求： 30分钟内三台机床都不需要看管的概率； 30分钟内，甲、乙机床不需要看管但丙机床需要看管的概率。 【解】设事件A1, A2, A3表示甲、乙、丙机床不需要看管，事件 表示丙机床需要看管，就可得到结果。,0.612,0.108,5.3 离散型随机变量及其分布,随机变量 离散型随机变量的概率分布,略,几种常见的离散型概率分布,0-1分布 均匀分布 二项分布（bi
8、nomial distribution） 泊阿松分布（Poisson distribution） 其他分布：如超几何分布,5.4 连续型随机变量及其分布,连续型随机变量 对连续型随机变量概率分布的描述 几种常见的连续型随机变量分布,复习1,下列哪些变量是离散变量？,掷骰子所得的点数 某人到达公交车站后的等候时间 就餐时某窗口排队人数 A同学某一时刻到宿舍的距离 某天统计学课程的到课人数 某学生的身高,“全校学生的身高”是什么变量？, ,复习2,掷一次骰子，该事件有多少种可能结果，每种结果出现的概率是多少？ 试写出它的概率分布,1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,复习2,掷一次骰子，
9、该事件有多少种可能结果，每种结果出现的概率是多少？ 试写出它的概率分布,5,6,P(x),复习3,掷 3 次骰子，记 3 次出现的点数之和为 X，则 X 有多少种可能的结果？试写出它的概率分布,试写出某个人等车时间的概率分布,一、连续型随机变量,连续型随机变量可以取整个实数轴上或某一区间的任意值（如前例中2、4、6） 它取任何一个特定的值的概率都等于0，因此不能列出每一个值及其相应的概率,，通常研究它取某一区间值的概率 连续型随机变量的概率分布可用概率密度函数和分布函数来描述,无法绘制概率分布图！,二、对连续型随机变量概率分布的描述,概率密度函数 分布函数 连续型随机变量的期望和方差,概率密度
10、函数,设X为连续型随机变量，x为任意实数，X的概率密度函数（probability density function）f(x)满足,，这才是概率！,f (x)表示X取x时的频数 ，即f (x)=n(X=x),分布函数（distribution function）,连续型随机变量的概率也可用分布函数F(x)表示,根据分布函数，P(aXb)可以写为,分布函数是曲线下小于 x0 的面积,连续型随机变量的期望和方差,连续型随机变量的数学期望为,方差为,三、几种常见的连续型随机变量分布,均匀分布 正态分布（） 指数分布（略） 其他分布（略）,本章小结,随机事件及其概率 概率的性质与运算法则 离散型随机变
11、量的分布 连续型随机变量的分布,二项分布与贝努里试验,贝努里试验具有如下属性 试验包含n个相同而相互独立的试验（如有放回抽样） 每次试验只有两个可能的结果（成功或失败，即0-1分布），且所有试验结果的概率不变 进行n次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布（或称次数服从于二项分布） 设X为n次重复试验中事件A出现的次数，X 取x 的概率为,二项分布的性质,当n =1时，二项分布简化为0-1分布，即 二项分布的数学期望为 E(X)= np 方差为D(X)= npq,二项分布（例题分析）,【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有
12、2件次品的概率。 【解】设X表示抽取的3件产品中的次品数，则XB (3, 0.05)，根据二项分布公式有,均匀分布（uniform distribution）,若随机变量X的概率密度函数为,称X是区间a, b上的均匀分布 均匀分布的数学期望和方差分别为,正态分布（normal distribution）,描述连续型随机变量的最重要的分布 是经典统计推断的基础,概率密度函数为,正态分布的性质,概率密度函数在x 的上方，即f (x)0 正态曲线的最高点为x=（均值、中位数和众数） 正态曲线关于x=对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交 正态曲线下的总面积等于1，即P()=1 随机
13、变量的概率由曲线下的面积给出, 和 对正态曲线的影响,不同的正态分布通过 和 来区分： 决定曲线的高度， 决定曲线的平缓程度，即宽度,标准正态分布函数,标准正态分布的概率密度函数,标准正态分布的分布函数,对于标准正态分布XN(0, 1)，有如下关系式 (x) x P (a X b) b a P (|X|a)2 a 1,利用标准正态分布表,P(1X 3),P(| X | 2),【例】设XN(0，1)，求以下概率：,P(X 1.5),P(X 2),= (1.5)=0.9332,=1 P(2 X)=0.0227,= P(X 3)P(X 1) = (3) 1(1)=0.8354,=P(2X 2)=(2)(2) =2(2)1=0.9545,正态分布的标准化,正态分布取决于均值和标准差，计算概率时，需要查询的表格是无穷多的 若能将一般的正态分布标准化，计算概率时只需要查一张表,转化公式,标准化的例子,已知正态分布 =5， =10，试求P(5X6.2)。,正态分布（例题分析）,【例】设XN ( 5，32 )，求以下概率：,P (X 10),P (2X 10),增加的部分与减少的部分不一定相等,二项分布的正态近似,当n很大时，服从二项分布的离散型随机变量 X 可以借助正态分布 N(np, np(1p)来近似研究,
