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1、第三节 绘制根轨迹的一般规则,纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更准。概括起来， 以开环增益K为参变量的根轨迹图主要有下列基本规则：,第三节 绘制根轨迹的一般规则,如果以系统的其他参量为参变量时，经过适当变换，以下规则仍能适用。 一.（规则1）根轨迹分支数 根轨迹在s平面的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是总分支数等于开环传递函数的极点数。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,根轨迹的每一条分支表示当k 变化时，闭环极点在s平面的运动轨迹，所以有几个闭环极点就应有几条分支。当nm时，特征方程的阶次等于开环
2、极点数n，而n阶特征方程就对应有n个特征根或n个闭环极点，所以其根轨迹的分支数就等于开环极点数n。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,二.（规则2）根轨迹对称性,连续性 根轨迹各分支对称于实轴。因为闭环系统的特征方程式的系数都是实数，故特征方程式的根只能是实数或复数。实数必位于实轴上，复数则一定共轭成对出现，所以当k从0到无穷变化时，根轨迹必对称于实轴，且连续变化。因此一般绘制根轨迹的一半即可。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,三（规则3）根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果nm ，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一
3、般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,四.（规则4）实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧开环传递函数的零极点数目之和应为奇数。 s平面上有四个开环极点，p1、p2、p3、 p4和三个开环零点z1、 z2 、 z3的 一种情况，其中p2、p3是一对共轭极点， p3、 z1、 p4 、z2 、z3分别是实数极点和零点。 为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在实轴极点p4 和实轴零点z2 之间任选一个实验点s0。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,五（规
4、则5）根轨迹的分离点和会合点 这是一个某系统的根轨迹 图。由开环极点p1， p2 出发的两条根轨迹，随K 的增大在实轴上a点相遇后，即 分离进入复平面。随着k的继续增大，两条根轨迹又在实轴上的b点相遇 并分别沿实轴的右左两方运动，最终一条终止于开环零点，另一条终止于无穷远处。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,根轨迹与实轴有两个交点a和b，分别称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。,1.实轴上分离点和会合点的判别 （1）若实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则相邻开环极点之间必有分离点。 （2）若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷大零点）之间是根轨迹，则相邻开环零点之间必有会合点。 （3）如果实轴上的
5、根轨迹在开环零点和开环极点之间，则它们中若有分离点、会合点，则一定成对出现，即有一个分离点一定会有一个会合点，也可能既无分离点也无会合点。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,2.分离点和会合点的计算。介绍按重根法求分离点和会合点的方法。 无论分离点还是会合点，都表示特征方程式在该点出现重根，只要找到这些重根就可以确定分离点和会合点的位置。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,注意： 1、判断哪一个是分离点，根据我们前面介绍方法，若相邻开环极点之间是根轨迹，则相邻开环极点之间必有分离点。
6、S1是分离点， S2 不在根轨迹上，不是分离点。 2、必须验证是否在根轨迹上,六（规则6）根轨迹的渐近线 当nm时，有n-m条根轨迹随着k的增大而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹，将随着k的无限增大而接近于n-m条直线，这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线的位置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐近线与实轴的交点。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,0,jw,-2,-1,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,七.（规则7）根轨迹的起始角和终止角 当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是
7、所谓的起始角和终止角问题, 先给出定义如下： 起始角 根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（a）中的 和 。 终止角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（b）中的 和 。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,根轨迹起始角：起始于开环极点的根轨迹在起始点处的切线和水平线正方向的夹角。 根轨迹终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角。,s1,p1,z1,p2,p3,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节
8、 绘制根轨迹的一般规则,八.（规则8）根轨迹与虚轴交点,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,九.（规则9）根之和,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,n个闭环极点之积为,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,下面按绘制根轨迹的规则求根轨迹的有关参数 (1)开环传递函数有四个极点n=4，故有4 条根轨迹。 （2确定实轴上的根轨迹，在实轴上，（0-20）之间的根轨迹 （3）根轨迹起点 四个开环极点 根轨迹终点：四条根轨迹终止于无穷远处。,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第
9、三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,第三节 绘制根轨迹的一般规则,已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,解 这是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。 由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点 和一对开环共轭复数极 ,因此，根轨迹的起点为 和 ，其终点为 和无穷远点 。 由规则五知，实轴上由-2至-的线段为实轴上的根轨迹。 由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是,即 解方程可得 不在实轴上的根轨迹上，舍去 ，实际的分离点为 。,由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的出射角。它们是,由本例不难发现，由两个开环极点
10、（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。,4-3 广义根轨迹的绘制 前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，是以根轨迹增益k（或开环增益K）为可变参量，这是在实际中最常见的情况。通常将上述以根轨迹增益k为可变参量的根轨迹称为常规根轨迹。而在实际控制系统中，有时需要研究根轨迹增益 k以外的其它参数，如开环零点、开环极点、时间常数和反馈系数等对系统性能的影响，这时可绘制以其它
11、参数为可变参数的根轨迹，称为参数根轨迹，或广义根轨迹。,4.3.1 单参数根轨迹 已知系统的开环传递函数为,假设m为可变参数，闭环系统的特征方程,(4-45),(nm) (4-44),总可以化成,当,的阶次不小于,的阶次时，有,否则，有,(4-48),(4-46),(4-47),比较式（4-45）和式（4-47）知，它们尽管等式左边 的第二项不同，但它们都由同一特征方程式,得到，因而可得到相同的闭环极点，故可把,看成一个等效开环传递函数,，即令,(4-49),则,等效开环传递函数中m所处的位置与原开环传递 函数中k的位置相同，这样就可按前述绘制以k为参变量的方法来绘制以m为参变量的根轨迹。,等效开环传递函数中的“等效”指与原系统具有相同的闭环极点，等效传递函数中的零点不一定是原系统的零点，,绘制根轨迹的步骤如下： 写出原系统的特征方程 根据特征方程构造一个新的等效系统，使等效变化系统的特征方程与原系统的特征方程相同，而且变化的参数即为等效系统的根轨迹增益。 根据等效开环传递函数绘制出的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。,例4-4 已知系统开环传递函数,试绘制k=6，T变化时系统的根轨迹。,等效开环传递函数：,图4-14 例4-4控制系统的根轨迹,
