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1、第六节 幂函数与二次函数,1.二次函数的解析式,ax2+bx+c,(h,k),2.二次函数的图象与性质,b=0,3.幂函数 形如_(R)的函数叫幂函数，其中x是_，是 常数.,y=x,自变量,4.幂函数的图象 幂函数 的图象如图：,5.幂函数 的性质,R,R,R,0,+),x|xR 且x0,R,0,+),R,0,+),y|yR 且y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,(1，1),增,增,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)二次函数y=ax2+bx+c,x a,b的最值一定是 . ( ) (2)二次函数y=ax2+bx+c,xR，不可能是偶函数. ( ) (3)幂函数的图象都经过点
2、(1,1)和点(0,0). ( ) (4)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的增函数. ( ),【解析】(1)错误.当 时，二次函数的最值不是 . (2)错误.当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c是偶函数. (3)错误.幂函数y=x-1不经过点(0,0). (4)错误.幂函数y=x2在定义域上不单调. 答案：(1) (2) (3) (4),1.已知点 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式 为( ) (A)f(x)=x2 (B)f(x)=x-2 (C) (D)f(x)=x 【解析】设f(x)=xn,则 即,2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,
3、-3) 上( ) (A)先减后增 (B)先增后减 (C)单调递减 (D)单调递增 【解析】选D.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数， 2m=0,m=0. 则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.,3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解 析式中指数k的值依次可以是( ) (A) (B) (D) 【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则 k11,故选A.,4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,3上是减函数，则实数 a的取值范围是_. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a3,a-2
4、. 答案：(-,-2,5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取 值范围是_. 【解析】当m=0时，f(x)=-10恒成立，符合题意. 当m0时，则有 即 -4m0, 综上知-4m0. 答案：(-4,0,考向 1 二次函数的图象与性质 【典例1】(1)(2013浙江高考)已知a,b,cR,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)f(1),则( ) (A)a0,4a+b=0 (B)a0,2a+b=0 (D)a0,2a+b=0,(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6. 当a=-2时,求f(x)的最值； 求实数a的取值范围,使y=f(x)在区
5、间-4,6上是单调函数； 当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.,【思路点拨】(1)由条件f(0)=f(4)f(1)中的等式可得a,b的关系,由不等式可确定a的正负. (2)解答和可根据对称轴与区间的关系,结合单调性直接求解;对于,应先将函数化为分段函数,画出函数图象,再根据图象求单调区间.,【规范解答】(1)选A.由f(0)=f(4)4a+b=0,所以b=-4a,由f(0)f(1)a+b0.,(2)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在-4,2)上为减函数,在(2,6上为增函数, f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4
6、)+3=35. 函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为 要使f(x) 在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4 或a-6.,当a=-1时, 其图象如图所示： 又x-4,6,f(|x|)在区间-4,-1和0,1上为减函数,在区间-1,0和1,6上为增函数.,【规律方法】 1.求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间 定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键是 对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间 的关系进行分类讨论. (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一 般在区间的端点或顶点处取得,2.与二
7、次函数单调性有关的问题的解法 根据二次函数的单调性，结合二次函数图象的开口方向及升、 降情况对对称轴进行分析、讨论，进而求解.,【变式训练】(2013杭州模拟)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x-2,3时，求函数f(x)的值域. (2)若函数f(x)在-1,3上的最大值为1，求实数a的值. 【解析】(1)当a=2时，f(x)=x2+3x-3 f(x)max=f(3)=15,值域为,(2)对称轴为 当 即 时， f(x)max=f(3)=6a+3, 6a+3=1,即 满足题意； 当 即 时， f(x)max=f(-1)=-2a-1, -2a-1=1,即a=-1满足题
8、意. 综上可知 或-1.,考向 2 二次函数的综合应用 【典例2】已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,bR),xR. (1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，求f(x)的解析式，并写 出单调区间. (2)在(1)的条件下，f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立，试求 k的范围.,【思路点拨】(1)根据f(-1)=0及 列方程组求解. (2)分离参数，转化为求函数的最值问题.,【规范解答】(1)由题意知 f(x)=x2+2x+1=(x+1)2. 单调减区间为(-,-1,单调增区间为-1,+). (2)f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立，转化为x2+x+1k在 -3,-1上恒成立
9、. 设g(x)=x2+x+1,x-3,-1， 则g(x)在-3,-1上递减. g(x)min=g(-1)=1. k1,即k的取值范围为(-,1).,【规律方法】 1.一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法.把所求参数与自变量分离，转化为求具体函数 的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质，列不等式组求解. 2.一元二次方程根的分布问题 解决一元二次方程根的分布问题，常借助二次函数的图象数形 结合来解,一般从以下四个方面分析：开口方向；对称轴 位置；判别式；端点函数值符号.,【变式训练】已知函数f(x)=x2-2mx+2-m. (1)若不等式f(x)x-mx在R上恒成
10、立,求实数m的取值范围. (2)记A=y|y=f(x),0x1,且A0,+),求实数m的最大值.,【解析】(1)由题意可得x2-2mx+2-mx-mx在R上恒成立,即 x2-(m+1)x+2-m0恒成立, =(m+1)2-4(2-m)0,解得-7m1, 故实数m的取值范围为-7,1.,(2)由题意可得,A=y|y=f(x),0x1=y|y0在0,1上 恒成立, 即x2-2mx+2-m0在0,1上恒成立. 当m1时,y=f(x)=x2-2mx+2-m在0,1上的最小值为f(1)= -3m+30,m1. 故此时m的值不存在. 综上,实数m的取值范围为(-,1, 故实数m的最大值为1.,考向 3 幂
11、函数及其性质 【典例3】(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 y=f(x)的图象是( ),(2)(2013杭州模拟)已知幂函数 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单 调性； 若该函数f(x)经过点 试确定m的值，并求满足条件 f(2-a)f(a-1)的实数a的取值范围.,【思路点拨】(1)设出函数的解析式，根据幂函数y=f(x)的 图象过点(4,2)，构造方程求出指数的值，再结合函数的解 析式研究其性质即可得到图象. (2)根据m2+m是奇数还是偶数确定函数的定义域；利用 f(x)过点 求出m的值，并利用f(x)的单调性解不等式.,【规范解答】(1)选C.设幂函
12、数的解析式为y=xa, 幂函数y=f(x)的图象过点(4，2)， 24a,解得 其定义域为0,+)，且是增函数， 当0x1时，其图象在直线y=x的上方，对照选项，故选C.,(2)m2+m=m(m+1)(mN*)，而m与m+1中必有一个为偶数， m2+m为偶数，函数 的定义域为 0,+)，并且该函数在0,+)上为增函数.,函数f(x)经过点 即 m2+m=2,解得m=1或m=-2， 又mN*,m=1, 又 f(2-a)f(a-1), 解得 故函数f(x)经过点 时，m=1，满足条件f(2-a)f(a-1) 的实数a的取值范围为,【规律方法】幂函数的指数对函数图象的影响 当0，1时，幂函数y=x在
13、第一象限的图象特征:,【变式训练】(1)已知05且Z,若幂函数y=x3-是R 上的偶函数，则的取值为( ) (A)1 (B)1，3 (C)1，3，5 (D)0，1，2，3 【解析】选A.根据05且Z,得:=0,1,2,3,4,5. 使函数y=x3-为R上的偶函数的的值为1,则的取值为1.,(2)若a0，则下列不等式成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选B.a0,y=xa在(0,+)上是减函数,且函数值 大于零， 故选B.,【易错误区5】求解含参数的二次函数、方程、不等式问题的易错点 【典例】(2013苏州模拟)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足10,则实数a的取值范
14、围为 .,【解析】当a0时，f(x)=a(x- )2+2- , 由x(1,4)，f(x)0得：,所以 所以a1或 . 当a . 答案：a,【误区警示】 1.处未考虑a的取值，对a进行讨论，而认为a0直接代入求 解. 2.处未考虑 与区间(1，4)的关系，而进行分类讨论，误认 为1 4，而致误. 3.处忘记检验所求结果是否符合要求.,【规避策略】 1.对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，分类讨论的标准就是二次项系数与0的关系. 2.当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况. 3.求解过程中，求出的参数的值或范围并不
15、一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.,【类题试解】(2013合肥模拟)若函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x0,1时有最大值2,则a的值为 . 【解析】f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当a1时,ymax=a; 当0a1时,ymax=a2-a+1; 当a0时,ymax=1-a. 根据已知条件得 解得a=2或a=-1. 答案:2或-1,1.(2013金华模拟)幂函数f(x)=xn(n=1,2,3, ,-1)具有如下 性质:f2(1)+f2(-1)=2f(1)+f(-1)-1,则函数f(x)( ) (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数,又是偶函数 (D)既不是奇函数,又不是偶函数,【解析】选B.幂函数f(x)=xn(n=1,2,3, ,-1)中, 若有f2(1)+f2(-1)=2f(1)+f(-1)-1,则常量n=2
