电磁场恒定磁场剖析

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1、第三章 恒定磁场,第 3 章 恒定磁场, 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场（Static Magnetic Field）。, 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。, 恒定磁场的知识结构框图。,磁感应强度（B）（毕奥沙伐定律）,H 的旋度,B 的散度,基本方程,磁位( )（J=0）,分界面上衔接条件,磁矢位（A）,边值问题,数值法,解析法,分离变量法,镜像法,有限元法,有限差分法,电感的计算,磁场能量及力,磁路及其计算,图3.0 恒定磁场

2、知识结构框图,基本实验定律 (安培力定律）,3.1 磁感应强度,3.1.1 安培力定律,1820年, 法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律,称为安培力定律 (Amperes force Law )。,电流 的回路对电流I回路的作用力 F,式中真空中的磁导率,H/m,3.1.2 毕奥沙伐定律 磁感应强度,电流之间相互作用力通过磁场传递。,电荷之间相互作用力通过电场传递。,图3.1.1 两载流回路间的相互作用力,写成一般表达式，即,毕奥沙伐定律（Biot Savart Law ),2）由毕奥沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B 的散度与旋度）。,3）对于体分布或面分布的电

3、流，Biot - Savart Law 可写成,例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。,当 时，,图3.1.2 长直导线的磁场,1）适用条件：无限大均匀媒质 ，且电流分布在有限区域内。,例 3.1.2 真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。,图3.1.4 圆形载流回路轴线上的磁场分布,根据圆环磁场对 P 点的对称性，,图3.1.3 圆形载流回路,由于是无限大电流平面，所以选P点在 y 轴上。根据对称性 , 整个面电流所产生的磁感应强度为,例 3.1.3 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 , 求其所产生的磁感应强度。,解：在电流片上取宽度为 的一条无

4、限长线电流，它在空间引起的磁感应强度为,图3.1.5 无限大电流片及 B 的分布,3.2 磁通连续性原理 安培环路定律,3.2.1 磁通连续性原理,矢量恒等式,所以,表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立）,两边取散度,则,可以作为判断一个矢量场能否成为恒定磁场的必要条件。,图3.2.1 计算体电流的磁场,2. 磁通连续性原理,这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零， 称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律 (Gausss Law for the Magnetic field )。,仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用 B 线描绘，B 线的微分方程,在直角坐标系

5、中,图3.2.2 磁通连续性原理,图3.2.3 B 的通量,若要计算 B 穿过一个非闭合面 S 的磁通，则,3. 磁力线,B 线的性质：, B 线是闭合的曲线;, B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )；, 闭合的 B 线与交链的电流成 右手螺旋关系；, B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。,图3.2.4 一载流导线 I 位于无限大铁板上方的磁场分布（B 线）,图3.2.5 长直螺线管磁场的分布（B 线）,图3.2.6 一载流导线I位于无限大铁板内的磁场分布（H 线）,图3.2.7 两根异向长直流导线的磁场分布,图3.2.8 两根相同方向长直流导线的磁场分布,图3.2.9 两对上下放置传输线

6、的磁场分布,图3.2.10 两对平行放置传输线的磁场分布,3.2.2 磁通连续性原理,（1）安培环路与磁力线重合,（2）安培环路与磁力线不重合,（3）安培环路不交链电流,（4）安培环路与若干根电流交链,该结论适用于其它任何带电体情况。,强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。,图3.2.11 证明安培环路定律用图, 对上式等式两端取旋度；, 利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质， 得,在直角坐标系中，,2. 真空中的安培环路定律,斯托克斯定理,上式称为真空中的安培环路定律（Amperes Circuital Law ）, 电流 Ik 的正负取决于电流的方向与积分回路的绕行方向是否符

7、合右手螺旋 关系，符合时取正值，反之取负值。, 环路上的 B 不仅与环路交链的电流有关，它是整个系统中所有电流激励的结果。, 表明磁感应强度 B 沿任意闭合路径的线积分环量等于该回路所交链的电 流的代数和乘以真空的磁导率 。,或,图3.2.11 安培定律示意图,令 两边取旋度,令,矢量恒等式,则,由毕奥沙伐定律证明,将式（7）代入式（2），利用式（6）得,矢量恒等式,故,将式（6）代入式（4）,则,证毕。,例3.2.1 试求无限大截流导板产生的磁感应强度B,解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋）,解：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系，,应用安培环路定律,得,例 3.2.2 试求

8、载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。,图3.2.12 同轴电缆截面,取安培环路 交链的部分电流为,图3.2.1 无限大截流导板,应用安培环路定律，得,对于具有某些对称性的磁场，可以方便地应用安培环路定律得到 B 的解析表达式。,图3.2.13 同轴电缆的磁场分布,2. 媒质的磁化（Magnetization）,媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。,2）媒质的磁化,无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，,图3.2.14 磁偶极子,图3.2.15 磁偶极子受磁场力而转动,1）磁偶极子,在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， 转矩为 Ti=miB ， 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向

9、一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。,图3.2.16媒质的磁化,3）磁化电流,4）磁偶极子与电偶极子对比,体磁化电流,模型,电量,产生的电场与磁场,电偶极子,磁偶极子,面磁化电流,例 3.2.3 判断磁化电流的方向。,3. 一般形式的安培环路定律,有磁介质时,将 代入上式，得,移项后,定义磁场强度,则有,说明: H的环量仅与环路交链的自由电流有关。 环路上任一点的H是由系统全部载流体产生的。 电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否满足右手螺旋关系，是 为正，否为负。,恒定磁场是有旋的,图3.2.19 H 的分布与磁介质有关,图3.2.18 H 与I 成右螺旋关系,图示中 吗？它们的环量相等吗？

10、,4. B与H的构成关系,式中 相对磁导率，无量纲， ，单位 H/m。,构成关系,例3.2.4: 一矩形截面的镯环，如图示，试求气隙中的B和H。,图3.2.20 镯环磁场分布,解：,在镯环中, ， 有限，故H = 0。,取安培环路（与I交链），由 ，得,5. H的旋度,例 3.2.4 有一磁导率为 ，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（0 ），如图所示。试求圆柱内外的 B，H 与 M 的分布。,解：磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定律，得,磁场强度,图3.2.21 磁场分布,图3.2.22 长直导磁圆柱的磁化电流,导磁圆柱内 = 0 处有磁化电流

11、 Im 吗？ = a 处有面磁化电流 Km吗？为什么？,3.3 恒定磁场的基本方程 分界面上的衔接条件,3.3.1 恒定磁场的基本方程,媒质的性能方程,例 3.3.1 试判断 能否表示为一个恒定磁场？,F2不可能表示恒定磁场。,恒定磁场的基本方程表示为,（磁通连续原理）,（安培环路定律）,（无源）,（有旋）,恒定磁场是有旋无源场,电流是激发磁场的涡旋源,3.3.2 分界面上的衔接条件,1. B 的衔接条件,在媒质分界面上，包围P点作一小扁圆柱，,令 ，则根据 , 可得,B 的法向分量连续,2. H 的衔接条件,H 的切向分量不连续,3. 分界面上的折射定律,图3.3.1 分界面上 B 的衔接条

12、件,图3.3.2 分界面上 H 的衔接条件,例.3.3.2 分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。,解：,它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，那么在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。,图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射,解：,图3.3.4 含有K的分界面衔接条件,例 3.3.3 设x = 0 平面是两种媒质的分界面。 ,分界面上有面电流,A/m ，且 A/m，试求 B1，B2与 H2 的分布。, 若面电流 , 答案有否变化，如何变？,3.4 磁矢位及其边值问题,3.4.1 磁矢位 A 的引出,由,磁矢位A也可直接从 Biot Savart Law 导出。,3.4.2 磁矢位

13、 A 的边值问题,1. 微分方程及其特解,( 泊松方程 ),A 称磁矢位(Magnetic vector potential)，单位： wb/m（韦伯/米）。,使得A唯一确定。A是否具有物理意义是一个仍在争论的问题。,令无限远处A的量值为零（参考磁矢位），则各式的特解分别为,可见，每个电流元产生的磁矢位 A 与此元电流Idl，KdS，JdV具有相同的方向。,矢量合成后，得,在直角坐标系下， 可以展开为,面电流与线电流引起的磁矢位为,a）围绕 P点作一矩形回路，则,当 时, 即,b）围绕P点作一扁圆柱，则,当 时， 即,综合两个结论，有,表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。,根据 有,根据,

14、由于 ，,3.4.3 磁矢位 A 的应用,1) 矢量积分求A,解：取圆柱坐标,例3.4.1 空气中有一长度为 ，截面积为 S ，位于 z 轴上的短铜线，电流 I 沿 z 轴方向，试求离铜线较远处（R ）的磁感应强度。, 能否用安培环路定律来求解此问题?,图3.4.1 位于坐标原点的短铜线,例3.4.2 应用磁矢位 A，求空气中一长直载流细导线的磁场。,解 ：,例 3.4.3 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。,解：这是一个平行平面磁场。,由上例计算结果, 两导线在 P点的磁矢位,图3.4.3 长直载流细导线的磁场,图3.4.4 圆截面双线输电线,在工程数值中经常用此公式计算磁通，并由此得到其它等

15、效参数。,3) 在平行平面磁场中， ，等 A 线可表示磁感应强度B 线。,即平行平面磁场中的等 A 线可以代表 B 线。,可以证明：在轴对称磁场中， 代表 B 线。,2)从磁矢位 A 计算磁通,（韦伯）,在直角坐标系中，B 线方程为,等 A 线不是 A 线，只涉及 A的大小，不涉及方向。因此，等A线仅反映B的大小分布。,图3.4.2 A 线,等 A 线与 B 线关系,如前面例题，两线输电线的B线即等 A 线的方程为,等 A 线（B 线）是一束包围导线的偏心圆族。其圆心坐标是 圆的半径是 。,可见双线输电线的磁场的等 A 线 ( B 线 )的图形与静电场中两根线电荷的等电位线的图形是一致。,图3.4.5 双线输电线的磁场,图3.4.6 双线输电线的电场,解：采用圆柱坐标系， 且,例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，其电流面密度 , 试求导体内外的磁