环路定理电位

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1、2019/10/19,1,1.3 静电场的环路定理.电位,一. 静电力作功的特点,移动 实验点电荷qt ，,(L),(L),电场力作功：,要搞清静电力作功的规律，,（circuital theorem of electrostatic field）,2019/10/19,2,1、在点电荷q 的电场中移动 qt，由 P1 点P2 点过 程中电场力作功：,2、在点电荷系q1 , q2, 的电场中移动 qt，电场力作功：,3、对连续带电体有同样结论。,（分三步说明）,2019/10/19,3, 对点电荷：, 只与P1、P2位置有关，,而与L无关。,2019/10/19,4, 对点电荷系：,(L),(

2、L),(L),只与P1、P2位置有关，而与L无关。,2019/10/19,5,对任意有限大的带电体产生的电场,可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷 点电荷组,只与P1、P2位置有关，而与L无关。,2019/10/19,6,结论：在任何电场中移动试体电荷时，电场力所做的功除了与电场本身有关外，只与试体电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关.,静电场力做功与路径无关！,(L2),2019/10/19,7,二 . 环路定理（circuital theorem）, 静电场的 环路定理,称为静电场的“环流”（circulation）。,静电场中，电场强度沿任意闭合环路的有

3、向曲线积分恒等于0,适用范围：由能量守恒原理得来，无其他任何条件限制，环路定理适用于源电荷及电介质作任何分布情况的静电场；,2019/10/19,8,静电场的环路定理说明静电场为保守场，,静电场的电场线不能闭合。,至此，可以从静电场的两个积分形式的定理得出结论：静电场是有源场、无旋场。,由斯托克斯定理，得,哪两个？,2019/10/19,9,电势能、电势差、电势,电场力做正功，电势能将减少 电场力做负功，电势能将增加,电势能的改变量,qt在 P1点的电势能,qt在 P2点的电势能,电势能增量,静电场与 qt有能量交换,电场力做功,P2,2019/10/19,10,2,2019/10/19,11

4、,三、 电压 电位,1. 电压（电势差，电位差）,定义P1对P2的电压（P1、P2两点之间的电位差）：,U12为移动单位正电荷由P1P2电场力作的功。 与路径无关。,可引入电压的概念。,2019/10/19,12,2. 电位（electric potential），电势,则任一点P1处电势为：,设P0为电势参考点，即U0 = 0， 参考点又称为零电位点。,1) 某点的电位等于把单位正电荷从该点移到电位零点电场力作的功； 2) 电位是空间点的坐标函数，是标量； 3) 电位是描述电场能量性质的物理量，与试验电荷无关；,说明：,2019/10/19,13,4）参考点一经确定，空间中任意点都有一个确定

5、的电位值；电位是单值函数。 5）参考点选取不同，所得的电位相差一个常数；但两点之间的电位差，其大小不随参考点变化。,P0选择有任意性，习惯上如下选取电势零点。,理论中：对有限电荷分布，选 = 0 。,实际中：选大地或机壳、公共线为电势零点。,参考点的选取：, 同一个物理问题，只能选取一个参考点。, 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。,2019/10/19,14,外力将单位正电荷是由无穷远处移到A点，则A点和 无穷远处的电位差称为A点的电位。,为电荷源到A点的距离。,以无穷远处为零电位参考点：,电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。,2019/10/19,15,1）点电荷,

6、利用电位定义可以求得如下结果：,电位的计算：,多个点电荷的电位计算：,其中： 为第i个电荷源到A点的距离。,注意：电势零点P0必须是共同的。,2019/10/19,16,由,得：,注意：电势零点P0必须是共同的。, 对点电荷系：, 对连续电荷分布：,2019/10/19,17,2）.连续分布的电荷源的电位计算,线电荷分布：,面电荷分布：,体电荷分布：,例 计算无限长均匀带电直线电场的电位分布。,2019/10/19,18,2019/10/19,19,为了能求得P点的电位，可先应用电位差和场强的关系式，求出在轴上P点和P1点的电位差。无限长均匀带电直线在x轴上的场强为,过P点沿x轴积分可算得P点

7、与参考点P1的电位差,由于ln1=0，所以本题中若选离直线为r1=1m处作为电位零点，则很方便地可得P点的电位为,2019/10/19,20,由上式可知，在r1m处,VP为负值；在r1 m处,VP为正值。这个例题的结果再次表明，在静电场中只有两点的电位差有绝对的意义，而各点的电位值却只有相对的意义。,结论：无限长均匀带电直线,2019/10/19,21,3. 电场强度 与电位 之间的关系,电位的梯度,在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便地求得电场强度 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。,1）电位梯度的引出,根据矢量恒等式,2019/10/19,2

8、2,电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于这一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率的负值.,2）.推导,A,2019/10/19,23,图 把单位正点电荷从点A沿l搬至点P,电位为一空间点坐标的函数，在直角坐标系中表为 。现若将点A沿x方向，移动单位正点电荷，行经距离x至点P，则有,2）.推导,即,2019/10/19,24,选l方向分布为直角坐标轴x，y，z的方向，则,场中任意一点A的电场强度,记,称之为函数 的梯度。梯度的方向是标量函数增加率最大的方向。,电场强度亦可以用电位梯度表示,2019/10/19,25,方向 与 相反，由高电势处指向低电势处,大小,2019/10/19,26

9、,电场中某点的场强沿任一方向的分量等于该点的电位沿该方向的方向导数的负值。,矢量微分算符,直角坐标系表示,电位梯度 方向： 沿电势变化最快的方向 大小：,2019/10/19,27,第二种证明方式（数学）:,已知电荷分布，求电位：,（以点电荷为例）,2019/10/19,28,3).梯度的物理意义： 空间任意一点的电场强度，等于该点电位(函数)梯度的负值。电场强度 的方向总是由高电位指向低电位，而电位梯度的方向则是和电位函数增加率最快的方向一致，它总的方向是由低电位指向高电位，亦即指向电位升高的方向，故两者恰好反向，因而在表达式上相差一负号。,在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位

10、减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。,2019/10/19,29,与 的微分关系,在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。,在直角坐标系中：,与 的积分关系,设 为参考点,图 与 的积分关系,2019/10/19,30,四、等位面（电位图示法）,空间电位相等的点连接起来所形成的面称为等位面. 为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等位面间的电位差相等,在静电场中，电场强度E 总是与等势面垂直的，即电场线是和等势面正交的曲线簇.,dl是等位面上的线元,在直角坐标系中，等位面的微分方程：,2019/10/19,31,按规定，电场中任意两

11、相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小,性质1：等势面与电力线处处正交,2019/10/19,32,性质2：等势面密集处场强大，稀疏处场强小,因为相邻等势面电势差为一定值，所以有,半径之差r2,定值,证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以点电荷为例，其电势为,2019/10/19,33,+,电偶极子的电场线与等势面, 某些等势面：,2019/10/19,34,两个等量的正电荷的电场线和等势面,2019/10/19,35,点电荷的电场线与等势面,2019/10/19,36,电力线与等位线（面）的性质：, 线不能相

12、交;, 线起始于正电荷，终止于负电荷;, 线愈密处，场强愈大;, 线与等位线（面）正交；,图1.2.5 点电荷与接地导体的电场,图1.2.4 点电荷与不接地导体的电场,2019/10/19,37,结论： 空间两点的电位差只与两点所在位置有关，而与积分路径无关。,例：计算原点处一点电荷q 产生的电场中AP之间的电位差。,解：选取求坐标系，点电荷q 产生的电场,所以：,2019/10/19,38,2019/10/19,39,当rR时，由于球内外场强的函数关系不同，积分必须分段进行，,由此可见，一个均匀带电球面在球外任一点的电位和把全部电荷看作集中于球心的一个点电荷在该点的电位相同；在球面内任一点的

13、电位应与球面上的电位相等。故均匀带电球面及其内部是一个等电位的区域。,电位V随r的变化关系图。,2019/10/19,40,（2）用场源电荷分布与电位的关系式求解。 电荷面密度为,由图可知,对上式微分得,rR,2019/10/19,41,当P点在球内rR时,2019/10/19,42,结论：均匀带电球壳,2019/10/19,43,讨论： 在真空中,有一电荷为Q,半径为R的均匀带电球壳,其电荷是面分布的.试求 (1) 球壳外两点间的电位差; (2) 球壳内两点间的电位差; (3) 球壳外任意点的电位; (4) 球壳内任意两点的电位.,2019/10/19,44,解 (1) 均匀带电球壳外一点的

14、场强为,上式表明,均匀带电球壳外两点的电位差,与球上电荷全部集中于球心时, 两点的电位差是一样的.,2019/10/19,45,(2) 均匀带电球壳内部任意两点的电场强度为E=0 球壳内部任意两点的电位差为,表明, 带电球壳内各点的电位均为一等势体.,2019/10/19,46,(3)若取rB=+时,V =0,表明,均匀 带电球壳外一点的电位与球上电荷集中于球心一点的电位是一样的.,均匀带电球壳外一点电位为,2019/10/19,47,(4) 由于带电球壳为一等势体,故球壳内各处的电位与球壳表面的电位相等,球壳表面的电位为,所以球壳内各处的电位Vm为,由(3)和(4)可得均匀带电球壳内、外电位

15、分布曲线如图所示.,2019/10/19,48,解:如图(a)所示建立坐标系。在环上取一电荷元dq，其电荷线密度为，故有,例 求均匀带电圆环轴线上一点的电位（电量q ，半径R）,2019/10/19,49,点电荷的电位,叠加,2019/10/19,50,例：求半径为R的均匀带电圆盘Q轴线上一点的电位,解 （1）园环叠加法： 取微元细园环 rr+dr,P13，例题1-6,2019/10/19,51,(2)小扇形叠加法：取微元小扇形,2019/10/19,52,例：真空中有两个同心金属球壳，内球壳半径R1,带电荷q1，外壳的半径为R2，壳厚R2，带电荷q2，求场中各处的电场强度及电位。,与课后题1

16、-8，1-9相类似,2019/10/19,53,思考： 均匀带电球体。求：1) 球体外两点的电位差；2) 球体内两点的电位差；3) 球体外任意点的电位；4) 球体内任意点的电位。,解：1)球体外两点的电位差,2019/10/19,54,3）球体外任意点的电位,2)球体内两点的电位差；,2019/10/19,55,4)球体内任意点的电位：球表面,令,球心处电位：,2019/10/19,56,电场强度和电势,已知场强 可求电势 已知电势 可否求场强？,2019/10/19,57,例8-7 用电场强度与电位的关系,求半径为R的均匀带电细圆环轴线上一点的电场强度.,2019/10/19,58,解:我们已求得在x轴上点P的电位为,P点的电场强度为,2019/10/19,59,例8-16 将半径为R2的圆