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1、 第四章 随机变量的特征数每个随机变量都有一个概率分布（分布函数，或分布律、概率密度），这个分布完整地刻画了随机变量的统计规律性。然而在许多实际应用问题中，人们更关注这个概率分布的一些综合特征，这些综合特征是概率分布某方面信息的概括并且可用一个数值表示。这种由随机的分布确定的，能刻画随机变量某方面特征的常数统称为数字特征或特征数。 例如，考虑某种元件的寿命，如果知道了其寿命的概率分布，那么就把握了元件寿命的所有概率信息。比如可以计算出寿命在任一指定范围内的概率。根据这一分布，还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望，以及用以刻画寿命值的散布程度（或稳定程度）的特征数-方差.这些特征数虽
2、不能对寿命状况提供完整刻画,但却往往是人们最为关注的一个方面.无论在理论上还是在实用中，这些特征数都有着极重要的意义.尤其是实用中,概率分布虽很“完美”,但难以把握;而特征数则容易把握,并且特征数是以一个“醒目”的数值刻画随机变量的某种特征,这也使得应用方便.4.1 随机变量的数学期望 一. 数学期望的定义定义 设离散型随机变量的分布律为，如果则称为的数学期望，记为，即 若级数不绝对收敛，则称的数学期望不存在。 由以上定义可看出，若只取有限个值，则它的数学期望总是存在的。而若取可列个值，则它的数学期望不一定存在，是否存在就看级数是否绝对收敛，这个要求的目的在于使期望值唯一。因为若无穷级数只是条
3、件收敛，则可通过改变这个级数各项的次序，使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值，这意味着这个级数的和存在与否，以及等于多少，与的取值的排列次序有关，而作为刻画取值的平均水平的特征数，具有客观意义，不应与的取值的排列次序有关。 由定义，的期望值就是其所有可能取值的加权平均，每个可能值的权重就是取该值的概率，因此的数学期望又称为的均值。同时还可看出的数学期望只依赖于的概率分布，因此随机变量的期望又叫分布的期望。 期望的定义可以用概率的频率定义来解释:设想是一个机会游戏的某个参与者的所得,每次游戏,该参与者以概率赢得元.如果他连续多次玩这个游戏,比如次,赢得元的次数记为次,那么在次游戏中,他平均
4、所得为.由概率的频率定义,在很大时,频率近乎概率,那么上述平均值近乎于期望值.对于连续型随机变量,以积分代替求和,从而得到连续型随机变量的期望的定义.定义 设连续型随机变量的密度函数为，如果则称 为的数学期望，简称为期望或均值.若不收敛，则称的数学期望不存在. 注:期望这一概念可类比于质量分布的质心这一物理概念.把概率分布看作质量在轴上的分布.在离散场合,概率看作点处的质量,那么该质量分布的质心的坐标为，即为期望值.在连续场合,概率密度函数相应于质量分布密度,质量分布的质心的坐标为，同样是期望值.例4.1.1 (1)设随机变量的分布律为 的数学期望是否存在?例4.1.2 按规定，某车站每天8:
5、009:00,9:0010:00都各有一辆客车到站，且到站时刻是随机的，两者到站时间相互独立，其规律为到站时刻8:109:108:309:308:509:50概率 一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。解 设旅客候车时间记为（单位：min）,则的分布律为 1030507090因此的数学期望为(min).例4.1.3 在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此需抽验个人的血,可以用两种方法进行.(i)将每个人的血分别去验,这需要验次.(ii)按个人一组进行分组,把个人的血混在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,说明个人的血都呈阴性反应.这样, 个人的血液就只需验一次.若呈阳性,则再对这
6、个人的血液逐一检验.这样, 个人的血液就共需验次.假设每个人血液化验呈阳性的概率为,且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当较小时,选取适当的,按第二种方法可以减少化验次数,并说明取什么值时最适宜.解 设个人以为一组时, 个人共需化验的次数为,则的分布律为 这里.的数学期望为 ,由此可知,只需选取使得 ,即,便可使第二种方法减少平均化验次数.要使最大程度地减少平均化验次数,需选取使得 小于1且取到最小值.这时就能得到最好的分组方法. 例如, ,则当时得到最好的分组方法.若,则按第二次方法平均只需化验次数为 ,这样平均来说,可以减少40%的工作量.例4.1.4 随机变量的密度函数为求.解： .二
7、. 随机变量函数的期望如果知道了随机变量的概率分布（分布律或概率密度），我们可以利用其概率分布计算的数学期望。而计算的函数（比如）的期望是经常遇到的问题，既然本身也是一个随机变量，有自己的概率分布，这个分布可通过的概率分布确定，一旦确定了的概率分布，那么我们利用的概率分布计算出。容易想到的数学期望完全取决于的概率分布，那么我们很自然地希望能直接利用的概率分布去计算的数学期望.下面定理解决了这个问题。定理 设随机变量的函数.（1）设随机变量的分布律为，若绝对收敛，那么的数学期望为 .（2）设随机变量的密度函数，若，那么的数学期望为 .定理的证明超出了本书的范围.下面我们就是离散型随机变量的特殊情
8、形下给出证明.证明:设是离散型随机变量,其分布律为 ，那么的分布律为 ，,其中是的所有可能的取值,从而有 .由上述定理知,在求时,不必算出概率分布,可直接利用的概率分布去计算的期望.这种方法可推广至多个随机变量的函数的情形.我们以两个随机变量的函数的情形给出结论.设二维随机向量的联合分布律为 若，则的数学期望为.设二维随机向量的概率密度为，若，则的数学期望为.特别地，若二维连续型随机向量的概率密度为,求分量,或其函数的期望时，我们可以先求出的边缘密度,然后再计算或的的期望.也可以直接利用的概率密度为去计算: ,.对于离散情形也类似,具体计算时就看哪种方法更方便.例4.1.5 设随机变量的密度函
9、数为，(1)问的数学期望是否存在?(这种分布称为柯西分布)?(2)求.解 (1)由于所以的数学期望不存在.(2) .细心的同学可以发现，本例中随机变量既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，但我们可以利用的概率密度求出其数学期望。例4.1.6 设随机向变量的概率密度为求；解: ， .例4.1.7设随机变量独立同分布于指数分布，求。解:的分布函数为 从而的分布函数为 故的密度函数为所以 .注意：一般而言，求的概率分布并不方便。但有些场合下，的概率分布可以方便地求出来，此时也可考虑先求出的概率分布，然后求。比如，（1）为离散型随机向量时，的分布列可能很容易求出.（2）在独立同分布时，他们的最大
10、值，或最小值的概率密度可容易地求出.三. 数学期望的性质由随机变量函数的期望的计算公式，可以得到数学期望的重要性质.数学期望具有如下性质（以下我们假定涉及到的期望是存在的）.1.设是常数，则. 2. 设是常数，则. 3. .这一性质可推广至任意有限个随机变量的线性组合的情况： （4）若相互独立，则 这一性质可推广至任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。利用以上性质可以使复杂的计算变得简单.下面就是连续型随机向量情形证明（3）和（4）。证明 假设是是连续型随机向量，其概率密度为， 。若相互独立，则，从而 例 设独立同分布，且，求的期望。解：。例 设，求解: 另解:设独立同分布于，则，从而二项分
11、布的期望为 。例 将一骰子掷次,求次的点数之和的数学期望.本例中,如去求的分布列将会非常困难,即使求出了其分布列,再求期望时,其运算量也是非常大的.如能将表示为一些简单随机变量之和,就可以极大地简化计算.解:令表示第次的点数,则,且独立同分布,其共同的分布列为 所以 由期望的性质可得 ，例 设有件产品,其中有件不合格,从中不放回地取件,求其中不合格品件数的数学期望.易见服从超几何分布,我们可以利用其分布求出的数学期望，也可以利用期望的性质求出的数学期望，这里我们用两种方法求出的数学期望.解：的分布律为另解:令,即表示第次抽取的件产品中不合格品件数,则,且 由期望的性质,.例 服从负二项分布,即
12、的分布律为求解:先求超几何分布的期望,设,那么考虑幂级数 从而 设独立同分布于，则服从负二项分布,从而二项分布的期望为 。例 一个盒子中装有标上至的张票券,以有放回方式一张一张地取.如果想收集到张不同的票券,所需的抽取次数记为,求的期望.解:记依次表示对一张新票券的等待时间(次数),即表示在得到第张新票券后到得到第张新票券所需的抽取次数(.而,那么 由于服从参数为的几何分布,所以 ,故 下面看两种特殊情况:(假设为偶数), ,并假定足够大.时,时,可见收集到一半票券平均需要抽取次数大约是总票券数的70%,而收集全部票券,则平均需要总票券数的倍的抽取次数,可见越往后越难以收集.在结束本节前，我们
13、再看一个例子。例（快速排序算法）设有一组互不相同的数.将它们排成上升的序列.一种快速排序算法如下:随机地从中选一个数,设为,然后将其余的数都与作比较,将小于的数归入的左边一个集合,将大于的数归入的右边一个集合,然后再对左、右两个集合的数重复刚才的处理过程(如果集合是单点集就不用处理).直到把所有数排成上升序列为止.记表示为实现排序所需的比较次数,则是排序算法效率的一个度量,下面计算.先将最小的数命名为，第二小的数命名为，最大的数命名为，对于，令则由于故且。补充：试验序列中事件发生次数的矩对于给定的事件序列，求，其中表示这些事件在试验中的发生次数。引入每个事件的示性函数 ，则，可得 现在感兴趣于
14、“事件对”发生的次数.易见是事件对发生的次数。又由于表示这些事件在试验中的发生次数，故，从而类似地有，及，从而可求得的各阶矩。例（二项分布的各阶矩）考虑重贝努利试验，表示成功的次数，设每次试验成功的概率为，则，下面计算的各阶矩。令则， ，从而，得， ，从而，得 一般地有 。例（超几何分布的矩）设一盒子中有个球，其中个白球，个黑球。现从中随机地抽取个球，表示取出的白球数。下面计算的各阶矩。令则， ，从而，得。一般地有 。例（配对数的矩）表示配对数。下面计算的各阶矩。令则， ，从而，得。一般地有 .例(另一优惠券收集问题) 设有种不同的优惠券,每次收集到新优惠券均与以前收集到的优惠券相互独立.假设得到优惠券的概率为,当收集到张优惠券时,不同类型的优惠券的类别数记为,求的期望与方差.记表出未收集到的类别数,令则 ,从而,从而 由于,故 ,特别 当时, ,例（负超几何分布的矩）设一袋子中共有个球，其中个红球，个白球，每次从袋子中不放回地任取一个球，直至取出
