《高等数学在实际生活中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学在实际生活中的应用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学知识在实际生活中的应用高等数学知识在实际生活中的应用一、数学建模的应用一、数学建模的应用数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。特征。（一）数学建模的一般方法和步骤（一）数学建模的一般方法和步骤（ 1）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明
2、确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。的和要求，并按要求收集必要的数据。（ 2）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。能得出不同的模型和结果。（ 3）
3、建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学）建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。学方法，以便推广使用。（ 4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问
4、题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。改才能成功。（ 5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：问题 假设 建模 分析 应用检验、修改图 1（二）数学建模的范例（二）数学建模的范例例例 教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得教室的墙
5、壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？最清楚？这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？是坐得越近越好呢？先建立一个非常简单的模型：先建立一个非常简单的模型：模型模型 1：先对问题进行如下假设：先对问题进行如下假设：1假设这是一个普通的教室（不是阶梯假设这是一个普通
6、的教室（不是阶梯教室）教室） ，黑板的上、下边缘在学生水平视线，黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方的上方 a 米和米和 b 处。处。2看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。设学生设学生 D 距黑板距黑板 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为 。x ,A黑板aB bD C图 2.3-1由假设知：由假设知： abxabxtnxba 2)(1at)tn(, 2所以，当且仅当所以，当且仅当 时，时， 最大，从而视角最大，从而视角 最大。最大。)tn(从结果我们可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。从结果我们可以看出，最佳的座
7、位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。下面我们在原有模型的基础上，将问下面我们在原有模型的基础上，将问题复杂一些。题复杂一些。模型模型 2：设教室是一间阶梯教室，如图：设教室是一间阶梯教室，如图2.3-2 所示。为了简化计算我们将阶梯面看所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平面成成一个斜面，与水平面成 角，以黑板所在角，以黑板所在直线为直线为 轴，以水平线为轴，以水平线为 轴，建立坐标系轴，建立坐标系yx（见图（见图 2.3-2） 。则直线。则直线 OE 的方程（除原点）的方
8、程（除原点）为：为：tanxy)0(若学生若学生 D 距黑板的水平距离为距黑板的水平距离为 ，则，则 D 在坐标系中的坐标为在坐标系中的坐标为x，)tan,(x则：则： xbxatantan,t 所以所以 t1tn(）xbxatant1nyABDx O图 2.3-2 xxbax 2tan)ttn(设设 ，要使，要使 最大，只要最大，只要abxf 2)t()( )t(最小就可以了。对最小就可以了。对 求导得：求导得：)(f xf2 )tan1()bxf当当 时，时， ，则，则 随随 的增大而增大；当的增大而增大；当2tan1bx0(）xf)(xf时，时， ，则，则 随随 的增大而减小，由因为的增
9、大而减小，由因为2t0(）f)(f是连续的，所以当是连续的，所以当 时，时， 取最小值，也就是取最小值，也就是)(xf 2tan1bx)(xf时，学生的视角最大。时，学生的视角最大。2tan1b通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。模型几排。模型 1 和模型和模型 2 所应用的基本知识都是相同的，只是因为假所应用的基本知识都是相同的，只是因为假设的教室的环境不同，建立的模型有些细微差别，所以结果不同，设的教室的环境不同，建立的模型有些细微差别，所以结果不同，但这两个结果都是基本符合实际的。在解题过程中，我们只考虑了但这
10、两个结果都是基本符合实际的。在解题过程中，我们只考虑了一个因素，那就是视角，其实我们还可以考虑更多的因素，比如：一个因素，那就是视角，其实我们还可以考虑更多的因素，比如：前面学生对后面学生的遮挡，学生看黑板的舒适度（视线与水平面前面学生对后面学生的遮挡，学生看黑板的舒适度（视线与水平面成多少度角最舒服）成多少度角最舒服） ，等。我们考虑的因素越多，所的结果就会越合，等。我们考虑的因素越多，所的结果就会越合理。但有时如果考虑的因素过多、过细的话，解题过程就会相当繁理。但有时如果考虑的因素过多、过细的话，解题过程就会相当繁琐，有时甚至得不到结果。所以琐，有时甚至得不到结果。所以 “简化假设简化假设
11、 ”时就需要我们冷静的时就需要我们冷静的分析，在众多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的选择。因此在建分析，在众多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的选择。因此在建立模型时既要符合实际，又要力求计算简便。立模型时既要符合实际，又要力求计算简便。二、矩阵在实际生活中的应用二、矩阵在实际生活中的应用（一）有关矩阵的乘法（一）有关矩阵的乘法矩阵矩阵 A= 与与 = 相乘相乘cadbyx=Ax= = = =)(acdbycadbyxydcbadycxbaaAAA)( A2121)(（二）矩阵应用的范例（二）矩阵应用的范例 人口流动问题人口流动问题例例 假设某个中小城市及郊区乡镇共有假设某个中小城市及郊区乡镇共
12、有 40 万人从事农、工、商万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：（ 1） 在这在这 40 万就业人员中，目前约有万就业人员中，目前约有 25 万人从事农业，万人从事农业， 10 万万人从事工业，人从事工业， 5 万人经商；万人经商；（ 2） 在务农人员中，每年约有在务农人员中，每年约有 10%改为务工，改为务工， 10%改为经商；改为经商；（ 3） 在务工人员中，每年约有在务工人员中，每年约有 10%改为务农，改为务农， 20%改为经商；改为经商；（ 4） 在经商人员中，每年约有在经商人员中，每年约有
13、 10%改为务农，改为务农， 20%改为务工。改为务工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。从事各业人员总数之发展趋势。解：解： 若用三维向量若用三维向量 (xi,yi,zi)T表示第表示第 i 年后从事这三种职业的年后从事这三种职业的人员总数，则已知人员总数，则已知 (x0,y0,z0)T=(25， 10， 5)T。而欲求。而欲求 (x1,y1,z1)T， (x2,y2,z2)T 并考察在并考察在 n 时时 (xn,yn,zn)T的发展趋势。的发展趋势。依题意，一年后，从事农、工、商的人员
14、总数应为依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为0001 0001 7.2.1.8. zyxZYX 即即以以 (x0,y0,z0)T=(25， 10， 5)T代入上式，即得代入上式，即得 :即一年业人员的人数分别为即一年业人员的人数分别为 21.5 万万 10.5 万、万、 8 万人。万人。以及以及即两年后从事各业人员的人数分别为即两年后从事各业人员的人数分别为 19.05 万、万、 11.1 万、万、 9.85 万人。万人。进而推得：进而推得：即即 n 年之后从事各业人员的人数完全由年之后从事各业人员的人数完全由 决定。决定。在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。 000011 7.2.0.1.8. zyxAzZYX11.508XYZ 85.910.0021122 zyxAzyxZYX0011zyxAzyxZYXnnnnnn
