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1、0习题十二1写出下列级数的一般项：(1) ；1357(2) ；224648xx(3) ；3579aa解：(1) ；12nU(2) ；!nx(3) ；21nna2求下列级数的和：(1) ；11nxnx(2) ；12n(3) ；235解：(1) 112nuxnxxn 从而 1 1223112nSx xxnxnx 1因此 ，故级数的和为1lim2nSx12x(2)因为 nUnn从而 324321541212S nn所以 ，即级数的和为 lim1nS2(3)因为 251514nn从而 ，即级数的和为 limnS143判定下列级数的敛散性：(1) ；1n(2) ；116654n (3) ；23123n
2、(4) ；3155n 解：(1) 32121nSn从而 ，故级数发散limn2(2) 11156654nSn 从而 ，故原级数收敛，其和为 1lim5nS15(3)此级数为 的等比级数，且|q|0，取 ，则当 nN 时，对任何自然数 P 恒有N成立，由柯西审敛原理知，级数 收敛12nnp 1n(2)对于任意自然数 P，都有12212 coscoscos21212nnpnpnnppnpUxxx 于是， 0(0N 时，对任意的自然数 P 都有21log成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛12nnpU(3)取 P=n，则12111132332231612np nnnn 从而取 ，则对任意的 nN，都存
3、在 P=n 所得 ，由柯0 120nnpU西审敛原理知，原级数发散5用比较审敛法判别下列级数的敛散性4(1) ；11465735n (2) 222 (3) ； (4) ；1sin331n(5) ； (6) 10na12n解：(1) 2135nU而 收敛，由比较审敛法知 收敛21n1nU(2) 221n而 发散，由比较审敛法知，原级数发散1n(3)sisin33lmlnn而 收敛，故 也收敛13n1sin3(4) 3322nU而 收敛，故 收敛312n31n(5)当 a1 时， ，而 收敛，故 也收敛nnUa1na1na当 a=1 时， ，级数发散limli02n当 01 时，原级数收敛，当 0
4、a 时， 1，原级数发散；当 b=a 时， =1，无法判定其敛散性8判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1) ； (2) ；1234 1lnn(3) ；34155(4) ； (5) ；21!nn1nR(6) 1123nn解：(1) ，级数 是交错级数，且满足 ， ，1nnU1nU 1n1lim0n由莱布尼茨判别法级数收敛，又 是 P1 时，由级数 收敛得原级数绝对收敛1n当 00，N( )0，使得当 nN 时，x有1nV|Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x)|0，N( )0，使得当 nN 时，x有|Un+1(x)+Un+2(x)+Un+p(x)| Vn+1(x)+
5、Vn+2(x)+Vn+p(x) |Vn+1(x)+Vn+2(x)+Vn+p(x)|1 即|x|1 时，级数发散，故收敛半径 R=1当 x=1 时，级数变为 ，当 x=-1 时，级数变为 ，由1n12n知， 发散，从而 也发散，故原级数的收敛域为(-12lim0n12n1n1,1)(4)令 t=x-1，则级数变为 ，因为21nt 21limli1nan所以收敛半径为 R=1收敛区间为 -10，使|n 2Un|M，2lin即 n2|Un|M ，| Un| 2而 收敛，故 绝对收敛21n1n20证明，若 收敛，则 绝对收敛21n1n证：2221nn nU而由 收敛， 收敛，知21n21n收敛，故 收
6、敛，221nU1nU因而 绝对收敛1n21若级数 与 都绝对收敛，则函数项级数 在 R 上一1na1nb 1cosinnaxb19致收敛证：U n(x)=ancosnx+bnsinnx， xR 有cosicosinnnabxab由于 与 都绝对收敛，故级数 收敛1na1nb1n由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数 在 R 上一致收敛1cosinnaxb22计算下列级数的收敛半径及收敛域：(1) ； (2) ；13nnx1si2nnx(3) 21nn解：(1) 111lim3li 321lililim233ennnn nnnna ，R又当 时，级数变为 ，3x 1 133nnnnn因为3lim03
7、nne所以当 ，级数发散，故原级数的收敛半径 ，收敛域(- , )x 3R3(2) 111sin2limllim2nna20故 ，12R又 sin2limsnl02所以当(x+1)=2 时，级数 发散，1sin2nx从而原级数的收敛域为-22 时，有 2n由 知级数 收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数 在(2,+)12limn1n1nx上一致收敛(3)x R 有 22 243211nxnn而 收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数 在( -,+)上31n 22211nxn一致收敛25求下列级数的和函数：(1) ； (2) ；21nnx210nx(3) ； (4) 11!nn1n解：(1)可求得原级
8、数的收敛半径 R=1，且当|x|=1 时，级数 是收敛的交错12n级数，故收敛域为-1,1记 22111nnnxS xSx 则 S1(0)=0, 21 21n 所以 120darctxxx即 S1(x)=arctanx，所以 S(x)=xarctanx，x -1,1(2)可求得原级数的收敛半径 R=1，且当|x|=1 时，原级数发散记 则210nxS2201nSx，即 ，S(0)=020ddlnx x 1ln02xS22所以 ，(|x|1)1ln2Sx(3)由 知收敛域为( -,+)记 则1!limli0na11!nnSxx，所以101de!nnx xxS，( -x+ )eex(4)由 知收敛
9、半径 R=1，当 x=1 时，级数变为 ，由12limn 1n知级数收敛，当 x=-1 时，级数变为 是收敛的交错级数，故收21n1nn敛域为-1,1 记 则 S(0)=0， ，1nxS1nxx（x1）1nx所以 0dlS即 lnxx001ln1xx即 lxSx当 x0 时， ，又当 x=1 时，可求得 S(1)=11ln1（ ）limlinnS综上所述230, 011ln,xSx26设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在 (-,上的表达式为 320,.xfx试问 f(x)的傅里叶级数在 x=- 处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x=- 是它的间断点，在 x=- 处，f (
10、x)的傅里叶级数收敛于33122ff27写出函数 的傅里叶级数的和函数20xfx解：f(x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于 f(x)，在间断点 x=0，x= 处，分别收敛于 ， ，012ff21ff，综上所述和函数212ff22101xxSx28写出下列以 2 为周期的周期函数的傅里叶级数，其中 f(x)在 -,)上的表达式为：(1) 0,4;xfx(2) ；2xf(3) ,2,;2fxx24(4) .cos2xf25解：(1)函数 f(x)满足狄利克雷定理的条件，x=n ，nz 是其间断点，在间断占处 f(x)的傅里叶级数收敛于，在 xn，有04022ff
11、- 0111cosdcosdcosd044nafxnnx0- 0iini0,2,46,135.nbf x于是 f(x)的傅里叶级数展开式为(xn)1si21n(2)函数 f(x)在(-,+ )上连续，故其傅里叶级数在 (-,+ )上收敛于 f(x)，注意到 f(x)为偶函数，从而 f(x)cosnx 为偶函数， f(x)sinnx 为奇函数，于是， ，-sind0nb 22-1d3a(n=1,2,)22- 01 4cocosnafxxn所以，f(x) 的傅里叶级数展开式为：(-x)2214s3n(3)函数在 x=(2n+1)(nz)处间断，在间断点处，级数收敛于 0，当 x(2n+1) 时，由 f(x)为奇函数，有 an=0,（n=0,1,2,） 20022sidsindsind1i1,nnbfxxx所以(x(2 n+1),nz )121 sininnfx(4)因为 作为以 2 为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于 f(x)，cosxf注意到 f(x)为偶函数，有 bn=0(n=1,2,)，26- 00 01212cosdcosd11sinsin14,2nnxxannxxn所以 f(x)的傅里叶级数展开式为：x-,12cos4n29.将下列函数 f(x)展开为傅里叶级数：(1) 4f(2) sin02解：(1) 0-11cosdd42xafxn - -
