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1、计算机图形学,主讲：刘圣军 Email: shjliu.cg,1,第六章 曲线与曲面,2,表示形体的三种模型,计算机图形学中所要表示、处理和生成的物体，不仅包括客观存在的物体，还包括构造出来的虚拟物体，统称形体，表示形体有三种模型。 线框模型：以形体边界上的一组轮廓线来表示形体的，其核心是线。 表面模型：将形体表示成面的集合，它在线框模型的基础上增加了面的信息。 实体模型：用于表示实体。表示方法多样。,3,曲线表示,曲线的表示形式 非参数表示 包含显示表示和隐式表示两种形式。 参数表示 曲线上各点的坐标表示成参数方程的形式。一般采取规范化的参数，如记P(t)=x(t),y(t),z(t)T，得
2、曲线表示的矢量形式： P=P(t), t0,1,4,曲线表示,采用参数表示形式具有如下优点： 具有规范化参数区间，很容易确定曲线的边界。 参数方程的形式不依赖于坐标轴的选取，具有形式不变性。 对参数表示的曲线、曲面进行几何变换比较方便。 在非参数表示中，我们以斜率表示变化率，可能出现无穷大，在参数表示中，变化率以切矢量来表示，不会出现无穷大的值。 表示能力强(可以表示形状任意复杂的曲线、曲面)，易于离散生成，容易控制形状和人机交互。,5,曲线表示,简单曲线的参数表示与隐式表示之间可以相互转化。 例：将二次曲线ax2+2bxy+cy2+dx+ey=0参数化。 取t为参数，u为过渡变量，令x=u,
3、 y=ut. 可得: x=-(d+et)/(a+2bt+ct2); y=-t(d+et)/(a+2bt+ct2),6,7,参数曲线基础,参数曲线的切矢量、弧长、法矢量、曲率与挠率 在三维坐标系Oxyz中，设P(t)=x(t),y(t),z(t)T，P=x,y,zT， 曲线的参数方程写成矢量形式： P=P(t), t0,1 定义P(t)的导数：,8,参数曲线基础,切矢量 在曲线的参数表示，切矢量表示当参数t递增一个单位时三个坐标变量的变化量。定义为：,9,而s(t)的定义表示了连接P(0)到P(t)两点内接折线的长度的极限。即记P(0)为P0 ，P(t)为Pn，在曲线上P0与Pn之间沿t递增方向
4、，取n-1个点P1, P2, Pn-1，用直线段连接相邻点得到曲线的内接折线，其长度：,参数曲线基础,弧长 对正则曲线P=P(t)，定义曲线从参数0到参数为t的点的弧长为,10,显然弧长s是t的可微函数，且：,从弧长的定义看，它既与参数t的选取无关，也与坐标系无关，从而以弧长为参数表示曲线易于讨论曲线固有性质。,参数曲线基础,11,参数曲线基础,法矢量 设曲线的参数方程为P=P(s)，其上任一点的单,12,当k(s)0时，(s)=1/k(s)为曲线在P(s)点的曲率半径。,参数曲线基础,曲率 曲线上P(s)点处的单位切矢量为T(s)，P(s+s)处的单位切矢量为T(s+s)，它们的夹角为。由于
5、s为弧长，故|/s|反映了曲线在s,s+s的平均弯曲程度，称为平均曲率。 当s0时，得到曲线上P(s)点的曲率k(s)，即,13,既然曲率反映的是曲线的弯曲程度，那么对于直线，它的弯曲程度处处为零，从而其曲率为零。而对于圆，其上各点的弯曲程度相等，从而其曲率为常数，其曲率半径等于它的半径。,参数曲线基础,14,参数曲线基础,挠率 设曲线上P(s)点处的单位副法矢量为B(s)，P(s+s)处的单位副法矢量为B(s+s)，它们的夹角为。 | / s|反映了曲线在法平面内的平均扭曲程度，称为曲线在s,s+ s中的平均挠率。 当s0时，得到曲线上P(s)点的挠率(s)，即：,15,对于平面曲线来说，曲
6、线所在平面为密切平面，它的副法矢量的方向不变，因此 即其挠率处处为零。由此得到一条曲线是平面曲线的充要条件是：曲线上任一点处挠率为零。,参数曲线基础,16,其中k和N分别为曲率和单位主法矢量。,参数曲线基础,(1),(2),(3),以上给出的是具有弧长参数s的法矢量、曲率、挠率的定义。那么对具有任意参数t的曲线P=P(t)，它的法矢量、曲率、挠率的定义呢？ 假定弧长s关于参数t的表达式s=s(t)，则,17,对上式两端叉乘dP/dt，有,其中B为单位副法矢量。对上式两端取模：,参数曲线基础,(4),(5),18,将(5)代入(4)得单位副法矢量：,对(1)的最后一个式子关于t求导，有：,将上式
7、代入(3)，有：,参数曲线基础,19,其中：,为三矢量的混合积。,参数曲线基础,同样的道理，可以推出挠率的表达式,20,若曲线在0,1内处处是Cn的，则称该曲线是Cn,曲线在t0处零阶参数连续(C0)的充要条件是：,参数曲线基础,参数连续性和几何连续性 连续性是曲线的重要性质，讨论参数曲线在两种意义上的连续性，曲线方程: P=P(t) t0,1 参数连续性： 称曲线在t=t0处是n阶参数连续(Cn)的，如果曲线在t0处的左右n阶导数存在，且满足：,21,参数曲线基础,几何连续性 称曲线在t=t0处零阶几何连续(GC0)，如果它在该点位置连续，即： 称曲线在t=t0处一阶几何连续(GC1)，如果
8、它在该点是GC0，并且切矢量方向连续，即存在常数0： 称曲线在t=t0处二阶几何连续(GC2)，如果它在该点是GC1，并且副法矢量方向连续，曲率连续，即,22,参数多项式曲线,最简单、理论和应用最成熟的参数曲线 定义与矩阵表示 下面方程表示的曲线称为n次参数多项式曲线,23,为了建立曲线的参数方程与其几何性质(如形状)之间的联系，将C看成n+1个三维矢量，即C=P0, P1, , Pn，其中Pi =xi, yi, ziT，则 P(t)=CT=P0+tP1+ +tnPn,P(t)=G M T,参数多项式曲线,24,例如: 对于参数表示的直线段P(t)=P0+tP1(t0,1)，将它化成上式的情形
9、：,其中，几何矩阵G=P0, P0+ P1，组成它的两个矢量分别代表直线段的两个端点，基矩阵为：,参数多项式曲线,参数多项式曲线,参数多项式曲线的生成 计算出曲线上有限几个型值点，然后用折线近似代替原曲线。,25,参数曲面,曲面也有显示表示、隐式表示、参数表示。 定义在矩形域上的参数曲面,26,参数曲面,27,参数曲面,28,参数曲面,29,30,即Hermite曲线两个端点为P0, P1, 端点处切矢量R0, R1。,下面求它的方程，其几何矩阵和基矩阵为GH和MH，取GH=P0, P1, R0, R1 ，现在求MH。,三次Hermite曲线,定义 给定矢量P0, P1, R0, R1 ,称满
10、足下列条件的参数三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线：,31,将(1)代入方程，有：,三次Hermite曲线,32,从而得到Hermite曲线方程： P(t)=GH MH T 而MH T确定了一组Hermite基函数(调和函数)，有,以这组基函数为权，Hermite曲线被表示成P0, P1, R0, R1 ,的加权和： P(t)=P0G0(t)+ P1G1(t)+ R0H0(t)+ R1H1(t),三次Hermite曲线,33,三次Hermite曲线,形状控制 根据定义，Hermite曲线由其两端点及其切矢量唯一确定，控制其形状可通过以下方法： 改变端点位置矢量P0, P1； 调节切矢量
11、R0, R1的方向； 改变切矢量R0, R1的长度；,34,为了便于调节切矢量，不妨再取两个点Q0, Q1，使 R0= Q0- P0 , R1 = Q1- P1 这样，只要改变P0, P1 , Q0, Q1四个点的位置就可随意调节Hermite曲线的形状。,三次Hermite曲线,35,而将：R0= Q0- P0 , R1 = Q1- P1代入由加权和表示的曲线方程，有： P(t)=P0G0(t)+ P1G1(t)+ (Q0- P0 )H0(t)+ (Q1- P1) H1(t) 可以证明，对Hermite曲线做几何变换，等价于对P0, P1 , Q0, Q1做几何变换，即对任意几何变换A有：
12、AP(t)=AP0G0(t)+ AP1G1(t)+ AQ0-AP0H0(t)+ AQ1-AP1 H1(t) 这说明Hermite曲线的表达式在几何变换下具有形式不变性。,三次Hermite曲线,三次Hermite曲线,36,Bzier曲线,Bzier曲线和曲面是由法国工程师Pierre Bzier（1910-1999）首先使用了这个样条逼进方法为雷诺设计汽车。Bzier样条在各种CAD系统、大多数的图形系统、相应的绘图和图形软件包都有广泛的应用。采用相互连接的向量表示一条曲线。,37,Bzier曲线,1972年，Forrest发表了一篇著名的文章，他指出Bezier曲线可以利用控制顶点和Ber
13、nstein多项式进行定义。 国内的专家：梁友栋，常庚哲，刘鼎元，胡事民，韩旭里等。,38,Bzier曲线,Bzier曲线是一种直观的曲线设计形式，它用折线来勾画曲线形状。 基本构型原理是： 两点P0、P1确定一条直线，表示为一次参数方程：p=p0+(p1-p0)t 三点确定一条二次曲线p=(1-t)2p0+2t(1-t)p1+t2p2，三个点p0，p1，p2称作顶点，中间顶点p1不但控制曲线的首末端切矢（方向和大小），而且唯一确定曲线的形状。,39,Bzier曲线,给定空间n+1个点位置矢量Pi(i=0,1,2,n),则Bzier参数曲线上各点坐标的插值公式： Pj(j=0,1, ,n)是B
14、zier曲线的控制点，形成曲线的控制多边形。Bj,n(t)是基函数，,40,Bzier曲线,称为n次伯恩斯坦（Bernstein）基函数，也是曲线上n个点位置矢量的基函数。其实它就是二项式t+(1-t)n的展开式。 0到3次Bernstein基函数的图形,41,Bzier曲线,下面分别观察当n=1,2,3时，贝塞尔曲线的具体形式,42,Bzier曲线,Bernstein基函数性质 先观察几个简单的Bernstein基函数的图形，设n=3，我们得到四个Bernstien基函数，分别是BEZ0,3(u)，BEZ1,3(u)，BEZ2,3(u)，BEZ3,3(u)。 n=3时，四个Bernstien
15、基函数如图,43,Bzier曲线,性质 正性 权性 对称性,44,Bzier曲线,递推性 降阶 升阶,45,Bzier曲线,导数 积分 1/(n+1) 线性无关性,46,Bzier曲线,Bzier曲线的定义与性质 端点位置 Bzier曲线以给定的控制点V0为起点，以给定的控制点Vn为终点,47,Bzier曲线,Bzier曲线的定义与性质 端点切矢量,48,Bzier曲线,Bzier曲线的定义与性质 端点切矢量,49,Bzier曲线,Bzier曲线的定义与性质 端点曲率 现在再来看看端点处的二阶导数,50,Bzier曲线,Bzier曲线的定义与性质 端点位置 端点切矢量 端点曲率 所以：由前面的
16、0、1、2次求导可知，n次Bzier曲线在起点处的m阶导数仅与离起点最近的m + 1个向量V0，V1，Vm有关，在终点处的m阶导数仅与离终点最近的m+ 1个向量Vn，Vn1，Vnm有关。,51,Bzier曲线,Bzier曲线的定义与性质 对称性 保持全部控制顶点位置不变，但次序颠倒，即Pi变作Pn-i，则Bezier曲线形状不变，参数变化方向相反。,52,Bzier曲线,Bzier曲线的定义与性质 放射不变性（几何不变性） 根据Bzier曲线的生成方法, Bzier曲线的生成不需要借助任何坐标系的选择,Bzier曲线的形状仅与控制多边形的顶点有关，而与坐标系的选择无关。 所有的变换只要作用于控制顶点即可。,53,Bzier曲线,Bzier曲线的定义与性质 凸包性 Bzier曲线必定落在其特
