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1、应力解平衡方程：，几何方程：，物理方程：，边界条件1、如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为g，试写出边界条件解：在x=0上，l= -1，m =0， (sx )x=0× (-1) +(tyx)x=0×0 = gy (txy)x=0× (-1) +(sy)x=0×0 = 0 (sx)x=0=gy (txy)x=0× 在斜边上 l= cosa，m = -sina sx cosa - tyx sina = 0 txycosa -sy sina = 02、半无限空间体受均布荷载作用根据问题的对称性，位移应只是z的函数 uz=w(z)体积应变是代入平衡
2、微分方程 ，应力是，应用边界条件求待定常数：l=m=0，n=1，边界条件是：szïz=0=q得A=q/rg ，B代表刚度位移，应由位移边界条件确定3、用应力函数j=dxy+bxy 求解悬臂梁一端受集中力作用下问题的应力解（不考虑体积力）。解：（1）显然满足变形协调方程（2）满足静力边界条件由应力函数求应力分量， （a）边界条件：在处， （b） （a）代入（b）得： （c）在x=0的边界（l = -1，m = 0）上，力边界条件要求，应用圣维南原理近似满足： （d）联立（c）和（d）得， （e）将（e）代入（a）并由，得，sy = 0 ，4、简支梁收均匀分布荷载作用，梁高度h，跨度2L
3、，试求应力分量和跨中挠度设y仅是y的函数，y=f(y)，即，得代入协调方程得，对于-LxL，上面方程都成立，所以=0，=0，=0积分得： f(y)=Ay3+By2+Cy+D， f1(y)=Ey3+Fy2+Gy+R， 因此得： 由x，y，是x的偶函数，xy是x的奇函数得：E=F=G=0上下边界条件：，将x，y，xy代入得A=2q/h3 ，B=0，C=3q/2h，D=q/2由对称性，两端边界条件：，由圣维南原理， ， 将x，y，xy代入得 ，K=0，将以上常数代入x，y，xy得出应力解为，其中，RITZ法1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示， 试写出挠度表示的各边边界条件：解：简支边OC的边界条件
4、是：自由边AB的边界条件是：，两自由边的交点B：是点支座的被动反力。2.如右图所示，矩形板在四个角点作用分别作用大小为F的集中力，其中A点和C点的集中力向上，B点和D点的集中力向下，四条边均为自由，求板的挠度。解：板边的边界条件为：，4个角点的边界条件均为：由于横向分布荷载，因此基本微分方程变为：假定坐标圆点的挠度为零，上式的解是式中的是待定常数。使用则有：，显然板边的边界条件能自然满足，为满足角点的边界条件，应有，因此得：挠度解就是：3. 设矩形薄板的边长分别为和，四边固支，受垂直于板面的横向均布荷载作用，设弯曲挠度为其中是待定系数。试证明它满足所有边界条件。解：在板的固定端，挠度和转角为零
5、。显然：满足故满足所有的边界条件。1用Ritz 法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度（位移变分原理）步骤：（1）设挠度的试验函数 w(x) = c1x(l-x)+c2x2(l2-x2)+显然，该挠度函数满足位移边界w(0) = 0，w(l) = 0。（2）求总势能仅取位移函数第一项代入，得（3）求总势能的极值 代入挠度函数即可2设变长为a的正方形薄板，四边均固定，受均布横向荷载q作用，求板弯曲内力（应力变分原理）步骤：对于线弹性力学问题，应变余能与应变相等，本题位移边界位移均为零，因此外力余势能为0. 总余势能用内力表示 （1）所设内力试验函数应满足平衡方程和力边界条件。本问题没有力边界，仅需满
6、足平衡方程 设 （2）满足平衡方程代入（1）求出总余势能。使用，得代入（2）得弯矩3 一边固定三边自由的薄板，三自由边受均布剪应力作用，不计体力，设位移分量基于位移变分原理求薄板位移 所设位移满足边界条件 对于平面问题，应变能 ，将本构方程代入，并将应变分量用位移分量表示，得仅取第一项作为近似位移解，代入上式得板的上边 下边 右边的力边界条件是； 外力势总势能 由，代入位移公式的位移4 正方形薄板，三边固定另一边受均匀压力q作用，应力函数取为，基于应力辩分原理Ritz 法求解（v=0.3）步骤：有应力函数求得应力，满足力边界条件，一定满足平衡方程。由于位移边界已知位移为0，外力余势能为0，总余
7、势能就是应变余能，平面应力与线弹性情况下，应变余能为，将应变由应力表达得,将所求应力代入方程，求,即得应力路径求应变1.已知材料在单轴拉伸时的应力应变关系为 （a）若采用Mises等向硬化模型，求该材料在纯剪时的表达式。解 （1）求塑性模量。使用上式，得塑性应变与应力的关系为它就是任意加载路径下的等效应力与累积塑性应变的关系，因此有 (b)上式两边取增量，再代入式，得 （2）在1、2方向施加剪应力，使之处于纯剪状态，使用正交流动法则，则产生的塑性剪应变增量应该是 (c)对于纯剪的加载情况，加载过程中任意瞬间的应力状态和应力增量分量为如下 对于Mises等向硬化模型，将式代入式（c）,并代入上述
8、分量，得由于，而在加载过程中，上式化简得加上弹性应变后，有最后可得2 薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变ez与gqz(1) 首先沿z轴加载至sz=ss，并保持sz不变，然后再增加剪应力至tqz=ss/Ö3；(2) 先增加剪应力至tqz=ss/Ö3，并保持tqz不变，然后再增加拉应力至sz=ss；(3) 比例加载，按sz:tqz=Ö3:1增加应力至sz=ss，tqz=ss/Ö3。解：（1）求塑性模量：在单轴应力状态下， 弹性应变是 。而塑性应变是 塑性模量应是 （2）加载判别：当应
9、力状态达到初始屈服后，下一步应力增量是否产生塑性变形，取决于 (¶f/s¶ij) dsij是否大于零。该题各路径下的应力状态偏量均可表示为： sz= sz，sx= sy = - sz，sqz= szq=tqz，由于sz、dsz同号，tq、dtqz同号，因此，（3）使用流动法则求塑性变形 （4）按上述路径进行积分，塑性变形 路径（1）：sz=ss，材料屈服，再增加剪应力dtqz¹0，dsz=0， 路径（2）：当剪应力tqz=ss/Ö3，材料屈服，增加应力sz，即dsz ¹0，dtqz=0，tqz=ss/Ö3 路径（3）：在加载中sz =
10、 Ö3tqz，sz=ss/Ö2材料屈服，且dsz = Ö3dtqz， 塑性变形与加载路径有关 三种应力路径下的弹性应变都是 3若材料为Mises硬化材料，已知它在纯剪作用下的剪应力与塑性剪应变关系为。且已知其剪切屈服应力为，试写出塑性模量和加载面的表达式。解：Mises材料的加载面方程可写成如取内变量为累积塑性应变，则上式变为纯剪状态下的等效应力为因为 所以 加载面的方程为4已知某材料在纯剪作用下应力应变关系如图所示，弹性剪切模量为G，Poisson比为，剪切屈服极限为，进入强化后满足。若采用Mises等向硬化模型，试求（1）材料的塑性模量（2）材料单轴拉伸下的应
11、力应变关系。解：（1）因为 所以 （2）弹性阶段。 因为，所以由于是单轴拉伸，所以 塑性阶段。 屈服条件1.岩土材料处于平面应力状态，一点的应力分量为，假设为中主应力，试：（1）使用已知应力分量写出Mohr-Coulumb屈服条件的具体表达式。（2）应用关联流动法则写出塑性应变增量的表达式，并写出塑性体积应变增量。（3）讨论流动关联法则对岩土材料是否合适，并指出为什么？（提示：用主应力表示的Mohr-Coulumb屈服条件为：）解：（1）根据应力状态求出主应力大小。，根据，解得主应力大小为分别为，将以上三个主应力代入，即得。（2），塑性体积应变为（3）不合适，因为岩土材料的体积变形并非与静水压
12、力无关，而且其塑性体积也并不是保持不变的。（个人理解）有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。解：直径不变，则环向应变，轴向伸长靠薄壁圆筒变薄实现，个应变分量为或将上述应变状态代入Levy-Mises流动理论在这里，Mises屈服条件可表示为将偏应力分量之间的关系代入上式，得偏应力为设平均体积应力为，则应力分量为在本题中，因此有在内水压力作用下，最后2.薄壁圆筒平均半径为R，壁厚为t，轴线方向为z，轴部受轴向拉力T和扭矩M共同作用，材料的弹性模量为
13、E，剪切模量为G，拉伸屈服条件为。试：写出单位体积弹性应变能的表达式；分别写出Mises以及Tresca屈服条件的具体表达式；使用Mises屈服条件给出：轴向拉力T和扭矩M满足何种关系时，圆筒处于加载状态。解：应力状态为，根据=0得出其三个主应力分别为，第一不变量，第二不变量单位体积应变能，将，代入此式即可。其中，化简此式得（2）Mises屈服条件为，代入即得。Tresca屈服，将代入即得。（3）不会，别人的答案。时加载，反之卸载，上式等于零时中性变载。3.一处在平面应变状态下（）的理想刚塑性体，其材料的应力应变关系服从Levy-Mises增量理论，即，且材料体积是不可压缩的，考察其中的一个微单元体，试证明：（1）其应力状态分量可分解为静水压力状态与纯剪应力状态之和：（2）Tresca和Mises屈服条件重合。解：（1）其中，上式第一项的第一不变量为0，故是纯剪状态，第二项为静水压力状态，得证。（2）z=0，所以Sz=0, z=0=x+y+z3 所以z=12(x+y)平面应变状态：1,3=x+y2±(x-y2)2 +xy21-3=2(x-y2)2 +xy2=2sJ2=16x-y2+x-z2+y-z2+6xy2= (x-y2)2 +xy2=s2 故屈服条件重合
