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1、第二十二章 一元二次方程,22.2.5根与系数关系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,1. 填表，观察、猜想,合作帮助,交流展示,问题：你发现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。,根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是 , ,则:,根与系数关系的应用,例1：不解方程，求出方程两根之和与两根之积：,（1）x2+ 3x-5=0 ( 2)2x2-3x-5=0,解：（1）设两根为x1,x2,由上述二次项系数为1 的一元二次方程根与系数的关系，可得：,（2）方程的两
2、边同时除以2，得,设方程的两根分别为x1 和 x2 得 ，,口答下列方程的两根之和与两根之积。,1.,2.,3.,4.,5.,随堂练,根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是 , ,则:,如果方程二次项系数不为1呢?,问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； 用语言叙述发现的规律； ax2+bx+c=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规 律：,（1） x1+x2= （2） x1x2=,猜 想 结 论,合作帮助,交流展示,学主题 探 究 所 得 结 论 的 证 明,设x1、x2为方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根， 证明：,x1+x2= x1x2=,x1+x2= x1x2=,
3、利 用 求 根 公 式 。,证 明 过 程,利用求根公式证明：,结论归纳，语言叙述。,任何一个一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1 + X2= , X1 X2=,-,（韦达定理）,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴 黎。年青时学法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变
4、换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的应用于三角形的数学定律（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文“截角术“，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n11等于任意正整数的倍角表达式了.,数学知识介绍 韦达（Viete，Francois，
5、seigneurdeLa Bigotiere）是法国十六 世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。,根与系数的关系的应用,例2、不解方程，求下列方程两根的和与积. （1）x2- 6x-15=0 （2）3x2+7x-9=0 （3）5x-1=4x2 （4）3x2-1=0,一、直接运用根与系数的关系,说一说：,说出下列各方程的两根之和与两根之积：,1、 x2 - 2x - 1=0,2、 2x2 - 3x + =0,3、 2x2 - 6x =0,4、 3x2 = 4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,
6、x1x2= -,随堂，在使用根与系数的关系时，应注意： 要先化成一般形式，并找出a,b,c； 确认a0，b2-4ac0； （3）在使用X1+X2= 时，注意 “ ”不要漏写.,知识源于悟,结论,特例,返回,例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的：（1）平方和；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1 x2，那么,返回,二、求关于两根的对称式或代数式的值,设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.,随堂练,变式 练： 设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。,（2）,（1）,（）（x1- x2）2,随堂练,关于两根几种常见的
7、求值,小组合作，方法交流， 把所求关系式转化为x1+x2、x1x2的形式。,例4：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求方程的另一个根及K的值.,交流展示,解：设方程的另一个根为x1，那么,三、求方程中的待定系数,已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。,解：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得 k= - 2,由根与系数关系，得x123k,即 2 x1 6, x1 3,答：方程的另一个根是3 , k的值是2。,随堂练,你会做吗？,你会做吗？,例5：已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，
8、 分别根据下列条件求出p和q的值:,(1) x1 = 1, x2 =2,(2) x1 = 3, x2 = -6,(3) x1 = - , x2 =,(4) x1 = -2+ , x2 = -2-,由根与系数的关系，得,解：,x1+x2= - , x1 x2=,p= -3(x1+x2) q=3 x1 x2,(1)p= -9 q= 6,(2)p= 9 q= -54,(3)p= 0 q= -21,(4)p= 12 q= -3,公式的特例,公式的应用,返回,例6、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1, (x1-x
9、2)2=(x1+x2)2-4x1x2=12=1,由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3,当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0,2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,经检验
10、， k2=4不合题意，舍去。, k=0,随堂练,例7、甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。则这个一元二次方程为_,四、构造新方程,x2-5x+6=0,练：在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为1与-3；乙同学看错了q，解得方程的根为4与-2，你认为方程中的p=_,q=_ .,随堂练,四、构造新方程,例 8、求一个一元二次方程，使 它的两个根是2和3， （1）且二次项系数为1. 变式：（2）且二次项系数为5,五、求未知系数的取值范围,例9:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求证:
11、无论m取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当m取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?,分析:,(1)列出的代数式,证其恒大于零 (2)(x1-1)(x2-1)0,解:(1)=(m+7)2-49(m-3)=(m-12)2+130 方程总有两个不相等的实数根,(2)由题意得:,解得:,当 时方程的一根大于1,另一根小于1,方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围.,解:由题意得：,=,即,m0 m-10,0m1,随堂练,一正根，一负根,0 X1X20,两个正根,0 X1X20 X1+X20,两个负根,0 X1X20 X1+X20,补充规律：,两根均为负的条件： X1+X2=-b/a0
12、; 且X1X2 =c/a0 .,两根均为正的条件： X1+X2=-b/a0; 且X1X2=c/a0.,两根一正一负的条件： 0 ；且X1X2=c/a0 . 当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0,所以,引申:若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个不相等的实数根.,方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？,随堂练,解:(m1)
13、24(2m1)m26m5 两根互为相反数 两根之和m10,m1,且0 m1时,方程的两根互为相反数.,两根互为倒数 m26m5, 两根之积2m11 m1且0, m1时,方程的两根互为倒数. 方程一根为0, 两根之积2m10 且0, 时,方程有一根为零.,归纳小结：,通过本节课的学你学到了那些知识？,今天我学会了,1、一元二次方程根与系数关系及其推论,2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.,3、利用此关系解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意两个隐含条件：,（1）二次项系数a0,（2）根的判别式b2-4ac0,本堂课结束了，望同学 们勤于思考，学有所获。,Goodbye! See you next time!,布置作业,再见,
