土木工程测量-第五章测量误差的基本知识

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1、第五章 测量误差,土木工程测量,教学课件,的基本知识,通过前几章的学习,我们掌握了角度、距离和高差的测量方法,对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识,包括衡量精度的标准、误差传播定律和直接观测平差。,对未知量行测量的过程,称为观测。测量所获得的数值称为观测值。行多次测量时,观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异,这种差异称为测量误差 或 观测误差。,观测,观测值,真实值,测量误差,观测误差,用Li代表观测值,X代表真值,则有 i=Li-X (5-1) 式中i就是观测误差,通常称为 真误差,简称误差。,i=L

2、i-X (5-1),真误差,一般情况下,只要是观测值必然含有误差。,观测误差来源于三个方面: 观测者视觉鉴别能力和技术水平; 仪器、工具的精密程度; 观测时外界条件的好坏。 三个方面综合起来,称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测;观测条件不相同的各次观测,称为非等精度观测。,观测条件,一般认为,在测量中人们总希望测量误差越小越好,甚至趋近于零。 在实际生产中,据不同的测量目的,允许含有一定程度的误差,根据性质不同,观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三种,即 =1+2+3 (5-2),粗差是一种大级量的观测误差,例如超限的观测值中往往含有粗差。粗差

3、也包括测量过程中各种失误引起的误差。 产生的原因:疏忽大意、失职;仪器自身或受外界干扰发生故障等。 含有粗差的观测值都不能使用。在观测中应尽量避免出现粗差,发现粗差的有效方法是,行必要的重复观测,通过多余观测条件,采用必要而又严密的检核、验算等。,=1+2+3 (5-2),系统误差在一定的观测条件下行一系列观测时,符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差,称为系统误差。 系统误差具有积累性,对测量结果影响很大。,在测量工作中,应尽量设法消除和减小系统误差。方法有: 在观测方法和观测程度上采用必要的措施,限制或削弱系统误差的影响。如角度测量中盘左、盘右观测,水准测量中限制前后视视距差等。,找出产

4、生系统误差的原因和规律,对观测值行系统误差的改正。如对距离观测值行尺长改正、温度改正和倾斜改正,对竖直角行指标差改正等。,将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改正,又不能采用一定的观测方法加以消除,例如,经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响,对于这类系统误差,则只能按规定的要求对仪器行精确检校,并在观测中仔细整平将其影响减小到允许范围内。,偶然误差在一定的观测条件下,对某量行一系列观测时,符号和大小均不一定,这种误差称为偶然误差。,产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以控制的,如观测者的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。

5、,粗差可以发现并被剔除,系统误差能够加以改正,而偶然误差是不可避免的,并且是消除不了的。它在消除了粗差和系统误差的观测值中占主导地位,从单个偶然误差来看,其出现的符号和大小没有一定的规律性,但对大量的偶然误差行大量统计分析,就能发现规律性,并且误差个数越多,规律性越明显。 例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差,故平面三角形内角之和不一定等于真值180(表5-1),从表5-1中可以看出,该组误差的分布表现出如下规律:小误差比大误差出现的频率高,绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近,最大误差不超过24。,统计大量的实验结果,表明偶然误差具有如下特

6、性: 特性1 在一定观测条件下的有限个观测中,偶然误差的绝对值不超过一定的限值。(范围) 特性2 绝对值较小的误差出现的频率大,绝对值较大的误差出现的频率小。(绝对值大小) 特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号) 特性4 当观测次数无限增多时,偶然误差平均值的极限为0,即(抵偿性) (5-3) 本章此处及以后“ ”表示取括号中下标变量的代数和,即i=,(5-3),用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据,以误差大小为横坐标,以频率k/n与区间d的比值为纵坐标,如图5-1所示。这种图称为频率直方图。,可以设想,当误差个数n,同时又无限缩小误差区间d,图5-1

7、中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线,如图5-2所示。该曲线称为误差分布曲线。,其函数式为:,(5-4),即正态分布曲线上任一点的纵坐标y均为横坐标的函数。标准差大小反映观测精度的高低,定义为:,(5-5),上式可知,的大小决定于一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。,在图5-1中各矩形的面积是频率k/n。由概率统计可知,频率k/n就是真误差出现在区间d上的概率p()(图5-2),记为:,(5-6),式(5-4)和式(5-6)中f()是误差分布的概率的概率密度函数,简称密度函数。,在相同观测条件下,对某一量所行的一组观测,对应着同一种误差分布,因此,这一组中的每一个观测值,都具有同样的精度。

8、为了衡量观测值的精度高低,显然可以用前一节方法,绘出频率直方图或误差分布表加以分析来衡量。但这样做实际应用十分不便,又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差分布的密集或离散程度,即应反映其离散度的大小,作为衡量精度的指标。 下面介绍几种常用的衡量精度的指标。,由式(5-5)定义的标准差是衡量精度的一种标准,但那是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多,因此实际应用中定义中误差m作为衡量精度的一种标准:,(5-7),在式(5-4)中,当=0时,以中误差m代替标准差(图53),(5-4),因此在一组观测值中,当小误差比较集中时,m1较小,则曲线形状较陡峭,如图5-3中f

9、1(),表示该组观测精度较高;f2()的曲线形状较平缓,其误差分布比较离散,m2较大,表明该组观测精度低。,如果令f()的二阶导数等于0,可求得曲线拐点的横坐标:,=m 也就是说,中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。,=m (5-8),中误差和真误差都是绝对误差。在衡量观测值精度时,单纯用绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如,分别测量了长度为100m和200m的两段距离,中误差皆为0.02m。显然不能认为两段距离测量精度相同。为了客观地反映实际精度,必须引入相对误差的概念。相对误差K是误差m的绝对值与观测值D的比值:,(5-9),上式中当m为中误差时,K称为相对中误差。

10、在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来行检核。相对较差定义为:,(5-10),相对较差是相对真误差,它反映往返测量的符合程度。,极限误差 由偶然误差的特性1可知,在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。标准差或中误差是衡量观测精度的指标,它不能代表个别观测值真误差的大小,但从统计意义来讲,它们却存在着一定的联系。根据式(5-4)和式(5-6)有:,表示真误差落在(-,+)内的概率等于0.683。同理可得:,(5-11),(5-12),(5-13),(5-4),(5-6),极限误差,上列三式结果的概率含义是:在一组等精度观测值中,真误差在范围以外的个数约占

11、误差总数的32%;在2范围以外的个数约占4.5%;在3范围以外的个数只占0.3%。,绝对值大于3的真误差出现的概率很小,因此可以认为3是真误差实际出现的极限,即3是极限误差: 极限=3 (5-14),极限=3 (5-14),容许误差,测量实践中,是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的大小行数量限制的。在实际应用的测量规范中,常以2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许值,称为容许误差,即 容=22m (5-15) 或 容=33m (5-16),容=22m (5-15),容=33m (5-16),前者要求较严,后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差,则认为该观测值不可靠,应舍去不用

12、,并重测。,前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标,并指出在测量工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中,某些未知量不可能或不便于直接行观测,而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如,欲测量不在同一水平面上两点间的距离D,可以用光电测距仪测量斜距S,并用经纬仪测量竖直角,以函数关系D=Scos来推算。显然,在此情况下,函数D的中误差与观测值S及的中误差之间,必定有一定的关系。阐述这种函数关系的定律,称为误差传播定律。,设有一般函数 Z=f(X1,X2,,Xn) (5-17) 式中X1、X2、,Xn为可直接观测的未知量;Z为不便于直接观测的未知量。 其中函数Z的中误

13、差为mZ,各独立变量X1、X2,Xn对应的观测值中误差分别为m1,m2,mn,如果知道了mz与mi之间的关系,就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观测值中误差与共函数的中误差之间的关系式,称为误差传播定律。,Z=f(X1,X2,,Xn) (5-17),设(i=1、2、n)的独立观测值为 li,其相应的真误差为。由于的存在,使函数Z亦产生相应的真误差Z。将(5-17)取全微分,因误差及Z都很小,故在上式中,可近似用及Z代替dx及dz,于是有,式中 为函数f对各自变量的偏导数。将=li代入各偏导数中,即为确定的常数,设,则上式可写成 Z=f1x1+f2x2+fnxn 为了求得函数

14、和观测值之间的中误差关系式,设想对各行了k次观测,则可写出k个类似上式的关系式,Z=f1x1+f2x2+fnxn,将上式各式等号两边平方后,再相加,得,上式两端各除以k,设对各的观测值li为彼此独立的观测,则xj当ij时,亦为偶然误差。根据偶然误差的特性 4 可知,上式末项当k时趋近于零,即,故,根据中误差(标准差)的定义(5-5),上式可写成,当k为有限值时,可写为:,上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时,必须注意:各观测值是相互独立的变量,而当li为未知量的直接观测值时,可认为各li之间满足相互独立的条件。 利用它不难导出表5-2所列简单函数的误差传播定律。,(5-26),除了标准

15、实体,自然界中任何单个未知量(如某一角度,某一长度等)的真值都是无法确知的,只有通过重复观测,才能对其作出可靠的估计。在测量中,重复测量的目的还在于提高观测成果的精度,同时也为了发现和消除粗差。,重复测量形成了多余观测,加之观测值必然含有误差,这就产生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾,必须依据一定的数据处理准则,采用适当的计算方法,对有矛盾的观测值加以必要而又合理的调整,给以适当的改正,从而求得观测值的最佳估值,同时对观测行质量评估。人们把这一数据处理的过程称作测量平差。,对一个未知量的直接观测值行平差,称为直接观测平差。据观测条件,有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。平差结果是得到未知量最可靠的估值(最可靠值),最接近其真值,称为“最或是值”。,测量平差,直接观测平差,最或是值,在等精度直接观测平差中,观测值的算术平均值是未知量的最或是值。,即 x=(l1+l2+ln)/n=l/n (5-27),x=(l1+l2+ln)/n=l/n (5-27),观测值与最或是值之差,称为“最或是误差”,用符号vi(i=1,2,n)来表示。 Vi=li-x (i=1,2,n) (5-28) 将n 个最或是误差vi相加,有:

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