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1、,二次函数,复习课,内黄县五实验,二次函数一般考点：,1、二次函数的定义 2、二次函数的图象及性质 3、求二次函数的解析式 4、a，b，c符号的确定 5、抛物线的平移法则 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数的综合运用,1、二次函数的定义,定义：y=axbxc （ a 、b 、 c 是常数， a 0 ） 条件：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式,1、y=-x， ， y=100-5x，y=3x-2x+5, 其中是二次函数的有_个。,其中二次项为ax，一次项为bx，常数项c,二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c,2，函数 当m取何值时，,（1）它是二次函数？,（1）若是二次函
2、数，则 且 当 时，是二次函数。,2、二次函数的图象及性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,a0,开口向上,a0,开口向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,(0,c),(0,c),二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_ 对称轴是_。,1：,(-2,0),(3,0),增减性:,当 时,y随x的增大而减小 当 时,y随x的增大而增大,
3、最值:,当 时,y有最 值,是,小,函数值y的正负性:,当 时,y0 当 时,y=0 当 时,y0,x3,x=-2或x=3,-2x3,练习,x=-2,(-2，-1),0,3、,（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）求MAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y0？,已知二次函数,3、抛物线的三种求法:,已知顶点坐标、对称轴或最值,已知任意三点坐标,已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0),注意：三种形式中
4、的a都不等于0,1、根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；,(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；,(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。,2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2
5、+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x a=-2,b=4,c=0,综合创新: 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状 相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5,4、a，b
6、，c符号的确定,a决定开口方向和大小：a时开口向上， a时开口向下,a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b时对称轴是y轴,c决定抛物线与y轴的交点：c时抛物线交于y轴的正半轴 c时抛物线过原点 c时抛物线交于y轴的负半轴,决定抛物线与x轴的交点：时抛物线与x轴有两个交点 时抛物线与x轴有一个交点 时抛物线与x轴没有交点,(上正、下负）,(左同、右异),(上正、下负),= b2-4ac,-2,练习 1）、当x=1 时， 2）、当x=-1时， 3）、当x=2时， 4）、当x=-2时，,y=,y=,y=,y=,6）、2a+b 0.,o,1,-1,2,
7、5）、b-4ac 0.,a+b+c,a-b+c,4a+2b+c,4a-2b+c,已知二次函数yax2bxc （a0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） Aa0 B当x1时，y随x的增大而增大 Cc0 D3是方程ax2bxc0的一个根,D,练习:已知二次函数的图象如图所示，下列结论： a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,D,x,-1,1,0,y,小明从右边的二次函数yax2bxc的图象观察得出下面的五条信息： a 0； c0； 函数的最小值为-3； 当x0时，y0； 当0x1x22时，y1 y2 你认为其中
8、正确的个数有（ ） A2 B3 C4 D5,C,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,x,在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）,B,学如逆水行舟，不进则退；心似平原奔马，易放难收,6、函数 与 的图象可能是 （ ） A B C D,二次函数的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、 a-b+c这四个代数式中，值为正数的有 （ ） A4个 B3个 C2个 D1个,5、抛物线的平移法则,左加右减，上加下减,练习 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2
9、的图象。 二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。,下,3,右,3,左,1,上,2,基础练习,1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 _,2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 为_,y=2(x+2)2-3,=2x2+8x+5,y= - 3(x-1-4)2+2+3,=-3x2+30x-70,3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为_;,y=2(x+1)2-8,
10、4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.,逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.,2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点,=b2 4ac 0,= b2 4ac= 0,= b2 4ac 0,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则,= b2 4ac,0,6、二次函数与一元二次方程的关系,1、二次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的解,(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-
11、2x+m与x轴有个交点.,(2)已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在 x轴上,则c=.,1,1,16,(3)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是.,（-2、0）（5/3、0）,练习,当涨价为20元时，即定价为70元时，利润最大，最大利润为9000元。 答：定价为70元/个，利润最高为9000元.,解：,设售价涨价为x元时，赚得最大利润 由题意得 y=(50+x-40)(500-10x),=-10 x2 +400x+5000,(0 x50 ,且为整数 ),=- 10（x-20）2 +9000,某商场将进价
12、40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？,7、二次函数的综合应用,问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。,解：,(1) AB为x米、篱笆长为24米 花圃另一边为（244x）米,(3) 墙的可用长度为8米,(2)当x 时，S最大值 36（平方米）,
13、Sx（244x） 4x224 x （0x6）, 0244x 8 4x6,当x4m时，S最大值32 平方米,小试牛刀 如图，在ABC中，AB=8cm，BC=6cm，B90， 点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米秒的速度 移动，如果P,Q分别从A,B同时出发， 几秒后PBQ的面积最大？ 最大面积是多少？,P,Q,解：根据题意，设经过x秒后PBQ的面积y最大,则：,AP=2x cm PB=（8-2x ） cm,QB=x cm,则 y=1/2 x（8-2x）,=-x2 +4x,=-（x2 -4x +4 -4）,= -（x - 2）2 + 4,所以，当
14、P、Q同时运动2秒后PBQ的面积y最大最大面积是 4cm2,（0x4）,P,Q,如图，在ABC中，AB=8cm，BC=6cm，B90，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后PBQ的面积最大？最大面积是多少？,在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？,D,C,A,B,G,H,F,E,10,6,再显身手,解：设花园的面积为y 则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）,=-2x2 + 16x,（0x6）,=-2（x-4）2 + 32,所以当x=4时 花园的最大面积为32,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,4. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。,解：,(1)
