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1、第六章 一阶电路,1、零输入响应，零状态响应，全响应,本章重点掌握：,3、阶跃响应和冲激响应,2、稳态分量 暂态分量,6-1 动态电路的方程及其初始条件,K未动作前,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,一. 什么是动态电路,稳态分析：,K接通电源后很长时间,动态电路概述,初始状态,过渡状态,新稳态,?,a. 动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时 需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。 习惯上称为电路的过渡过程,b. 动态电路与电阻电路的比较：,动态电路换路后产生过渡过程 ，描述电路的方程为微分方程,电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程,
2、二.过渡过程产生的原因,1. 电路内部含有储能元件L 、C,能量的储存和释放都需要一定的时间来完成,2. 电路结构、状态发生变化,支路接入或断开; 参数变化,三.稳态分析和动态分析的区别,稳 态,换路发生很长时间后重新达到稳态,换路刚发生后的整个变化过程,微分方程的特解,动 态,微分方程的一般解,恒定或周期性激励,任意激励,四. 一阶电路,换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。,经典法,时域分析法,复频域分析法,时域分析法,拉普拉斯变换法,状态变量法,数值法,五. 动态电路的分析方法,激励 u(t),响应 i(t),六、 电路的初始条件,1. t = 0+与t = 0-的概念,换路在 t=0时
3、刻进行,0- 换路前一瞬间,0+ 换路后一瞬间,初始条件为 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值,0-,0+,2.换路定律（开闭定则）,q =C uC,t = 0+时刻,当i()为有限值时,q (0+) = q (0-),uC (0+) = uC (0-),电荷守恒,结论 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,1）,当u为有限值时,L (0+)= L (0-),iL(0+)= iL(0-),磁链守恒,结论 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,2）,换路定律：,换路定律成立的条件,注意:,换路瞬间，若电感电压保持为有限
4、值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,3. 电路初始值的确定,(2) 由换路定律,uC (0+) = uC (0-)=8V,(1) 由0-电路求 uC(0-)或iL(0-),+ -,10V,+ uC -,10k,40k,uC(0-)=8V,(3) 由0+等效电路求 iC(0+),iL(0+)= iL(0-) =2A,先求,由换路定律:,求初始值的步骤:,1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。,2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,3. 画0+等值电路。,4. 由0+
5、电路求所需各变量的0+值。,b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a. 换路后的电路,取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。,(1),(2),已知,(3) 0+电路,iL(0+) = iL(0-) = IS,uC(0+) = uC(0-) = RIS,uL(0+)= - RIS,求 iC(0+) , uL(0+),6-2 一阶电路的零输入响应,零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由储能元件初始储 能作用于电路产生的响应。,一 、RC放电电路,已知 uC (0-)=U0,解:,uR= Ri,特征根,设,特征方程,则,初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0,A=U0,令
6、=RC , 称为一阶电路的时间常数,电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = R C,电压初值一定：,R 大（ C不变） i=u/R 放电电流小,C 大（R不变） w=0.5Cu2 储能大,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,一 次切距的长度 t2-t1 = ,t1时刻曲线的斜率等于,按此速率，经过 秒后uc减为零,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,能量关
7、系：,设uC(0+)=U0,电容放出能量,电阻吸收（消耗）能量,二. RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根 p =,由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A,A= i(0+)= I0,i (0+) = i (0-) =,令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数,i(0)一定： L大 起始能量大 R小 放电过程消耗能量小,iL (0+) = iL(0-) = 1 A,t=0时 , 打开开关K，求uv。,现象 ：电压表坏了,电压表量程：50V,分析,小结：,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 ,
8、都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,时间常数 的简便计算：,R1,R2,L, = L / R等 = L / (R1/ R2 ),例2, = R等C,6-3 一阶电路的零状态响应,零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用 下产生的响应,列方程：,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,齐次方程的通解,非齐次方程的特解,一. RC电路的零状态响应,与输入激励的变化规律有关，周期性激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量,变化规律由电路参数和结构决定,全
9、解,uC (0+)=A+US= 0, A= - US,由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,齐次方程 的通解,：特解（强制分量）,= US,：通解（自由分量，暂态分量）,强制分量(稳态),自由分量(暂态),能量关系,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量 储存在电容中。,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,二. RL电路的零状态响应,解,三 . 正弦电源激励下的零状态响应（以RL电路为例）,i (0-)=0,求：i (t),接入相位角,强制分量(稳态分量),自由分量(暂态分量),用相量法计算稳态解,解答为,讨论几种情况：,1）合闸 时u = ，,电路直接进入稳态，不产生
10、过渡过程。,2） u = /2 即 u - = /2,则 A = 0, 无暂态分量,u = -/2时波形为,最大电流出现在 t = T/2时刻。,6-4 一阶电路的全响应,全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应,一. 一阶电路的全响应及其两种分解方式,稳态解 uC = US,解答为 uC(t) = uC + uC“,uC (0-)=U0,非齐次方程,=RC,暂态解,1、全响应,uC (0+)=A+US=U0, A=U0 - US,由起始值定A,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),(1). 全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),2、全响应的两种分解方式,(2).
11、全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,(3).两种分解方式的比较,物理概念清楚,便于叠加计算,全响应= 零状态响应 + 零输入响应,全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),二. 三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶微分方程：,令 t = 0+,其解答一般形式为：,已知： t=0时合开关 求 换路后的uC(t) 。,解：,已知：电感无初始储能 t = 0 时合 k1 , t =0.2s时合k2 求两次换路后的电感电流i(t)。,解： 0 t 0.2s,t 0.2s,例3. 脉冲序列分析,1. RC电路在单个脉冲
12、作用的响应,1. 0tT,2. t T,(a) T, uR为输出,uR,输出近似为输入的微分,(b) T, uc为输出,输出近似为输入的积分,2. 脉冲序列分析,(a) T,(a) T,6-5 一阶电路的阶跃响应,一 单位阶跃函数,1. 定义,t = 0合闸 u(t) = E,t = 0合闸 i(t) = Is,2. 单位阶跃函数的延迟,3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号,例 1,二、阶跃响应：单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应,激励在 t = t0 时加入， 则响应从t=t0开始。,例 求图示电路中电流 iC(t),分段表示为,6-6 一阶电路的冲激响应,一 单位冲激函数,1. 单位
13、脉冲函数 p(t),2. 单位冲激函数 (t),定义,例, 0,uCE (t),iC CE (t),3. 单位冲激函数的延迟 (t-t0),t = t0,4. 函数的筛分性,同理有：,f(0)(t),例,* f(t)在 t0 处连续,uc 不可能是冲激函数 , 否则KCL不成立,1 . 分二个时间段来考虑冲激响应,零输入响应,uC(0-)=0,电容充电,电容中的冲激电流使电容电压发生跳变,二、冲激响应：单位冲激函数激励下电路中产生的零状态响应,例1.,(2). t 0+ 零输入响应 （RC放电）,iL不可能是冲激,定性分析：,(2). t 0+ RL放电,2. 由单位阶跃响应求单位冲激响应,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激, (t),单位阶跃, (t),证明：,注意：s(t)定义在（- ，）整个时间轴,先求单位阶跃响应 令 is (t)=,uC(0+)=0,uC()=R, = RC,已知：,求： is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t),iC(0+)=1,iC()=0,再求单位冲激响应 令 i s (t)=,冲激响应,阶跃响应,
