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1、初中圆复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都
2、相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分
3、弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆
4、中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边是内接四边形 九、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一
5、不可 即：且过半径外端 是的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 ；平分十一、圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， 2
6、、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。即：在中，、是割线 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，
7、：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：3、圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：十六、内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）ABC中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 B OA D（3）SABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
8、 如图，BC切O于点B，AB为弦，ABC叫弦切角，ABC=D。 C练习题1若O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与O的位置关系是( )A点A在圆内 B点A在圆上 c点A在圆外 D不能确定2已知O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是 3如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则求PA+PB的最小值_N_M_B_A_P_O4如图2，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为 5与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是_6已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径R=
9、_，内切圆半径r=_7O的半径为6，O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是 8PA、 PB是O的切线，切点是A 、B，APB=50，过A作O直径AC，连接CB，则PBC=_9如图4，AB是O的直径，弦AC、BD相交于P，则CDAB等于AsinBPCBcosBPCCtanBPCDcotBPC图4 图510如图5，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PCOP，PC交O于C，若AP=4， PB=2，则PC的长是AB2C2D311圆的最大的弦长为12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么Ad6 cmB6 cmd12 cm12如图6，在以O为圆心的两个同心圆中，大
10、圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为_ 图6 图7 13如图7，PE是O的切线，E为切点，PAB、PCD是割线，AB=35，CD=50，ACDB=12，则PA=_14如图8，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在O上，CAB=30，求证：DC是O的切线 图815.如图，AB既是C的切线也是D的切线，C与D相外切，C的半径r=2，D的半径R=6，求四边形ABCD的面积。16如图10，BC是O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：(1) AC是O的切线(2)若ADDB=32，AC=15，求O的直径(12分) 图1017如图1
11、1，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦CDAB，垂足为E，且PC2=PEPO(1)求证：PC是O的切线；(2)若OEEA=12， PA=6，求O的半径；(3)求sinPCA的值(12分) 图1118如图，O的两条割线AB、AC分别交圆O于 D、B、E、C，弦DF/AC交 BC于C （1）求证：；（2）若CFAE求证：ABC为等腰三角形19.如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C， （1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径。20如图，ABC内接于O，AB是O的直径，PA是过A点的直线，PACB （l）求证：PA是O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC8，CE：ED6：5，AE：EB2：3，求AB的长和ECB的正切值 21如图，在RtABC中，B90，A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D，求证：（l）AC是D的切线；（2）ABEBAC
