目 录 第一章 数的整除 . 1 1.1 整数和整除的意义 1 1.2 因数和倍数 2 1.3 能被 2、5 整除的数 4 1.4 素数、合数与分解素因数 7 1.5 公因数和最大公因数 9 1.6 公倍数和最小公倍数 12 第二章 分数 . 17 2.1 分数的意义和性质 17 2.2 分数的基本性质 20 2.3 分数大小的比较 23 2.4 分数的加减法 26 2.5 分数的乘法 30 2.6 分数的除法 32 2.7 分数与小数的互化 35 2.8 分数、小数的四则混合运算 37 2.9 分数运算的应用 41 第三章 比和比例 . 47 3.1 比的意义 47 3.2 比的基本性质 48 3.3 比例 52 3.4 百分比 55 3.5 百分比的应用 58 3.6 等可能事件 62 第四章 圆和扇形 . 65 4.1 圆的周长 65 4.2 弧长 67 4.3 圆的面积 70 4.4 扇形的面积 73 《上外附中教学手册·数学》 六年级第一学期 1 第第一一章章 数的整除数的整除 1.1 整数和整数和整除的意义整除的意义 一、教学目标一、教学目标 1. 理解自然数、整数的定义. 2. 理解整除的意义，知道整除的要素，掌握整除的两种表述方法. 3. 在对整数概念的梳理中渗透分类思想、集合思想. 二、教学重点与难点二、教学重点与难点 1. 理解整除的意义. 三、典型三、典型例题例题 1. 基础题基础题 例题 1 在31、9、0.3、 2 3 、0、0.85中，正整数有________，负整数有_________， 整数有____________，自然数有__________. 解 正整数31，负整数9，整数31、0、9，自然数31. 知识点 自然数和整数的概念. 例题 2 下列算式属于整除的是（ ）. （A）35 . 25 . 7 （B）4312 （C）45 . 210 （D）020 解 （B）. 知识点 整除的概念.整除与除尽的区别与联系. 例题 3 判断： （1）最小的正整数是0（ ）. （2）所有的自然数都是整数（ ）. 解 （1）错误. （2）正确. 例题 4 能整除18的数有哪些？其中哪个数同时也能被18整除？ 《上外附中教学手册·数学》 六年级第一学期 2 解 1、2、3、6、9、18；18. 知识点 整除的两种表述方法. 2. 提高题提高题 例题 5 两个整数a、b都能被c整除，那么它们的和、差、积、商分别是否一定能被c整 除？ 答：和、差、积一定能被c整除. 例题 6 三个连续自然数之和是42，则这三个数是_____________. 答：13、14、15. 例题 7 判断： （1）两个连续自然数的乘积能被2整除（ ）. （2）三个连续自然数的乘积能被6整除（ ）. 解 （1）正确. （2）正确. 3. 拓展拓展题题 例题 8 已知六位数9□□□□□能被7整除， （1）求满足要求的最小六位数； （2）求满足要求的六位数有几个； （3）若要求五个框中填入的数字各不相同，求满足要求的最小六位数. 解 （1）900000除以7的余数为3，因此满足要求的最小六位数为900004. （2）满足要求的最大六位数为999999， 因此满足要求的六位数有9999999000047 1 14286 个. （3）901234除以7的余数为5，因此满足要求的最小六位数为901236. 1.2 因数和倍数因数和倍数 一、教学目标一、教学目标 《上外附中教学手册·数学》 六年级第一学期 3 1. 通过操作长方形纸片的拼图过程，感受、体验求一个数的因数的方法. 2. 理解因数与倍数的意义及它们之间的相互依存关系，渗透对立统一的辩证思想. 3. 会求一个整数的因数和倍数，知道一个整数的因数有有限个，倍数有无限个，以此培养 思维的有序化和条理化. 二、教学重点与难点二、教学重点与难点 1. 理解及掌握因数和倍数的关系. 2. 写全一个数的因数. 三、典型例题三、典型例题 1. 基础题基础题 例题 1 判断： （1）一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大； （2）一个正整数的因数至少有两个； （3）一个正整数的倍数一定能被它的因数整除； （4）甲数的最大因数正好等于乙数的最小倍数，则甲数一定大于乙数. 解 （1）错误. （2）错误. （3）正确. （4）错误. 知识点 因数和倍数的基本概念. 例题 2 写出48的所有的因数. 方法 1：采用从小到大试商法，若所得的商是整数，则除数即为48的因数48 148 ， 48 224，48 3 16 等等…… 解 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48. 方法 2：也可以把48写成两个整数的积，在写的时候注意按从小到大的顺序写. 481 482 243 164 126 8 . 解 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48. 例题 3 写出18的倍数. 解 18的倍数有：18、36、54、72、90、…… 知识点 一个数因数的个数是有限的， 但是倍数的个数是无限的.所以用省略号表示其余的 倍数. 《上外附中教学手册·数学》 六年级第一学期 4 2. 提高题提高题 例题 4 一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？ 方法 先找出48的所有因数，然后再把其中3的倍数找出. 解 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48. 其中3的倍数有：3、6、12、24、48. 答：既是48的因数，又是3的倍数的数可以是3、6、12、24、48. 例题 5 已知一个长方形的面积是240，它的长于宽都是整数且都是两位数，求它的长. 解 2401 2402 1203 804 605 486 408 3010 2412 2015 16 其中，因数都是两位数的有三种情况. 答：这个长方形的长是10，12，15，16，20或24. 3. 拓展题拓展题 例题 6 96位同学站成一排进行“1，2，1，2，1……”报数，报到奇数的同学离开队伍， 按照这样的方法继续下去， 问5次报数之后站在第一位的同学是原来队伍中的第几位同学？ 解 5 232 答：是原来队伍中的第32位同学. 1.3 能被能被 2、、5 整除的数整除的数 一、教学目标一、教学目标 1. 经历观察与思考的过程，概括出能被2、5整除的数的特征，并会运用判断一个自然数 能否被2、5整除. 2. 在具体情境中理解奇数和偶数的意义，并会判断一个自然数是否为奇数或偶数. 二、二、教学重点与难点教学重点与难点 1. 知道奇数和偶数的概念，能区分奇数和偶数. 2. 知道能被2、5整除的数的特征，能够判断一个数是否能被2、5整除. 《上外附中教学手册·数学》 六年级第一学期 5 3. 知道能被3、9、4（或25） 、8（或125） 、1 1整除的数的特征，能够判断一个数是否 能被3、9、4（或25） 、8（或125） 、1 1整除. 4. 知道一些规律：奇数±奇数＝奇数 偶数±偶数＝偶数 奇数±偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数 偶数×偶数＝偶数 奇数×偶数＝奇数. 三、典型例题三、典型例题 1. 基础题基础题 例题 1 在大于90小于125的整数中： （1）能被5整除的是____________；在这些能被5整 除的数中，有_________个奇数； （2）能同时被2和5整除的是______________. 解 （1）95、100、105、110、115、120；3. （2）100、110、120. 知识点 能被5整除的整数的个位数字是0或5. 能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的整数叫奇数. 能同时被2、5整除的整数的个位数字是0. 例题 2 判断题： （1）任何一个偶数加1之后，得到的都是一个奇数（ ） ； （2）奇数和偶数的积一定是奇数（ ） ； （3）在自然数中最小的偶数是2（ ） ； （4）能被3整除的数一定是奇数（ ）. 解 （1）正确. （2）错误. （3）错误. 在自然数中最小的偶数是0. （4）错误. 可能是奇数或偶数. 知识点 相邻的奇数和偶数相差1. 奇数与偶数的积是偶数. 例题 3 在□3□的方框内分别填上哪些数字，能使得这个三位数同时能被2、3、5整除？ 解 因为能同时被2、5整除，所以个位数字只能是0， 又因为能被3整除，所以各位数字之和必须能被3整除， 所以百位数字可以是3、6、9. 《上外附中教学手册·数学》 六年级第一学期 6 知识点 能被3（或9）整除的数各位数字之和能被3（或9）整除. 2. 提高题提高题 例题 4 写出能同时被2、3、5、9整除的最小四位数. 解法一 因为能同时被2、5整除，个位数字只能是0， 能同时3、9整除，各位数字之和必须能被3、9整除， 从千位数字最小为1开始考虑，百位数字可以为0， 所以满足条件的最小四位数为1080. 解法二 能被这四个数同时整除的最小整数为90，四位数中90的倍数最小的为1080. 例题 5 写出一个五位数，它的各个数位上的数只能用1、3、5、7、9这几个数字，且不 重复，并且使它是125的倍数，且是最大的，这个数是几？ 解 91375. 知识点 能被125（或8）整除的数，末三位数能被125（或8）整除. 例题 6 用0、6、7、8能写出几个能被4整除的四位数？ 解 8个，分别是 6780、7680、7068、7860、8760、8076、7608、6708. 知识点 能被4（或25）整除的数其末两位数能被4（或25）整除. 例题 7 一个五位数， 去掉万位和个位上的数字是一个能被2、3、5同时整除的最小三位数， 而这个五位数又能被11整除，求满足条件的最大的五位数. 解 当中三位数字为120，又因为能被11整除，所以是91201. 知识点 能被11整除的数的特征：若一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和 的差是0或11的倍数，则这个数能被11整除. 例题 8 一个六位数23 56AB是88的倍数，求这个六位数. 解 88811 ，因此23 56AB既是8的倍数，又是11的倍数. 由23 56AB是8的倍数可知0B或8， 由23 56AB是11的倍数可知0B时0A，8B 时8A. 因此这个六位数是230560或238568. 《上外附中教学手册·数学》 六年级第一学期 7 3. 拓展题拓展题 例题 9 已知一个3987位数： 19939 9999 个 □ 19933 3333 个 能被7整除，则□里的数字应该是几？ 解 考虑到999999、333333都能被7整除，所以只需9□3能够被7整除即可，□里的数 字应该是7. 知识点 1. 能被7、11、13整除的数的特征： （1）任何一个三位数连着写两次，得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13 整除； （2） 若一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差 （或反过来） 能被7（或11、 13）整除，则这个数就能被7（或11、13）整除. 2. 和、差、积的整除性质： （1）如果两个加数分别都能被同一个数整除，那么它们的和也能被这个数整除； （2）如果被减数与减数分别都能被同一个数整除，那么它们的差也能被这个数整除； （3）如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整数倍也一定能被另一个数整除. 1.4 素数、合数与分解素因数素数、合数与分解素因数 一、教学目标一、教学目标 1. 理解素数、合数的意义，并掌握正整数可以分为1、素数、合数三类. 2. 能用求因数的方法或查素数表的方法判断一个正整数是否为素数. 3. 熟记100以内的全部素数. 二、教学重点与难点二、教学重点与难点 1. 理解素数与合数的概念，能区分素数和合数. 2. 理解分解素因数的概念，会用短除法分解素因数. 三、典型例题三、典型例题 1. 基础题基础题。