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1、第六节 函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期课前检测1下列函数为偶函数的是()Aysin
2、xByx3Cyex Dyln 解析：选D四个选项中的函数的定义域都是R.ysin x为奇函数幂函数yx3也为奇函数指数函数yex为非奇非偶函数令f(x)ln ，得f(x)ln ln f(x)所以yln为偶函数2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab 的值是()A B.C. D解析：选Bf(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.3已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1 B0C1 D2解析：选Bf(x)为奇函数且f(x4)f(x)，f(0)0，T4.f(8)f(0)0.4若函数f(
3、x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：法一：f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0，对于xR恒成立，故a0.法二：由f(1)f(1)，得|a1|a1|，故a0.答案：05设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.解析：观察可知，yx3cos x为奇函数，且f(a)a3cos a111，故a3cos a10.则f(a)a3cos a11019.答案：9 1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x
4、)在x0处有定义，则f(0)0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期一、函数奇偶性的判断例1设Q为有理数集，函数f(x)g(x)，则函数h(x)f(x)g(x)()A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答当xQ时，xQ，f(x)f(x)1；当xRQ时，xRQ，f(x)f(x)1.综上，对任意xR，都有f(x
5、)f(x)，故函数f(x)为偶函数g(x)g(x)，函数g(x)为奇函数h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，函数h(x)f(x)g(x)是奇函数h(1)f(1)g(1)，h(1)f(1)g(1)1，h(1)h(1)，函数h(x)不是偶函数答案A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)注意判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，
6、只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性以题试法1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)3x3x；(3)f(x)；(4)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(3)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0的解集为()A(2,0)(2，
7、)B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)自主解答(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.(2)f(x)为偶函数，0.xf(x)0.或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，故x(0,2)或x(，2)答案(1)1(2)B本例(2)的条件不变，若n2且nN*，试比较f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解：f(x)为偶函数，所以f(n)f(n)，f(1n)f(n1)又函数yf(x)在(0，)为减函数，且0n1nn1，f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(n)f(2
8、a)，则实数a的取值范围是_解析：(1)当x0，所以f(x)x2x，f(x)ax2bx，而f(x)f(x)，即x2xax2bx，所以a1，b1，故ab0.(2)因为f(x)x22x在0，)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3a2)f(2a)，只需3a22a，解得3a0时，x0，则h(x)x2x(x2x)h(x)，当x0，则h(x)x2x(x2x)h(x)x0时，h(0)0，故h(x)为奇函数5已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xm(m为常数)，则f(1)的值为()A3 B1C1 D3解析：选A函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0，即f(0)20m0，解得m1.则f(x)2x2x
