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1、第5章 弯曲内力,5.1 弯曲的概念和实例 5.2 梁的支座和载荷的简化 5.3 剪力和弯矩 5.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 5.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,5.1 弯曲的概念和实例,弯曲的概念 杆件受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时，轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 受力特征：外力是作用线垂直于杆件轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。梁是一类常用的构件，几乎在各类工程中都占有重要地位。,5.1 弯曲的概念和实例,起重机大梁,火车轮轴,5.1 弯曲的概念和实例,以弯曲变形为主的杆件通常称为梁,5.1
2、弯曲的概念和实例,5.1 弯曲的概念和实例,工程中常用的梁，其横截面多是采用对称形状（如矩形、圆形、梯形等）。因而整个杆件具有一个包含轴线的纵向对称面。,平面弯曲（对称弯曲）,5.1 弯曲的概念和实例,当外力作用在纵向对称面内，且垂直于轴线，梁发生弯曲变形后，其轴线成为纵向对称面内的一条平面曲线。这是弯曲问题中最常见而且最基本的情况，叫平面弯曲或对称弯曲。,5.1 弯曲的概念和实例,若梁不具有纵对称面，或者梁虽具有纵对称面，但外力并不作用在纵向对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。 本章及以后两章将主要研究对称弯曲，讨论梁的内力、应力和变形计算。,常见弯曲构件截面,5.1 弯曲的概念和实例,梁
3、的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析与计算，应对实际结构进行必要的简化，抽象出计算简图。 简化的基本原则：按计算简图计算的结果应符合客观实际；同时，应尽可能使计算简单、方便。梁的简化通常是从梁的结构形状、支座、载荷三方面进行。,1. 梁本身结构形状的简化：通常取梁的轴线来代替梁。 2、支座的简化 3. 载荷的简化,5.2 梁的支座和载荷的简化 梁的计算简图,按实际支座对梁的约束情况，将其简化三种基本形式。固定铰支座、可动铰支座、固定端支座。,5.2.1 支座的几种基本形式,支座：把结构或构件与支承物（如桥墩、墙、柱、机座等）连接起来的约束，称为支座。 作用：产生反力（支座反力）以平
4、衡梁产生的载荷，同时阻止梁对基础的相对运动。,5.2.1 支座的几种基本形式,1、 固定铰支座,限制梁在支座处的截面沿水平方向和铅垂方向移动，但并不限制梁绕铰中心转动。故其对梁在支座处的截面有2个约束，相应有2个支反力，即水平支反力FRx和铅垂支反力FRy。,2、可动铰支座,FR,可动铰支座只限制梁在支座处的截面沿垂直于支承面方向的移动,不限制梁绕铰中心转动和沿支承面运动。故它对梁在支座处的截面仅有1个约束，相应地也只有1个支反力，即垂直于支承面的支反力FR。,3、固定端支座,固定端支座使梁的端截面既不能移动,也不能转动。故它对梁的端截面有3个约束，对应有3个支反力，即水平支反力FAx、铅垂支
5、反力FAy和支反力偶MA。,5.2.2 载荷的简化,1. 集中力：若力的作用面积远小于构件的整体尺寸，或力的线性分布长度远小于轴线长度。 2. 集中力偶 3. 分布荷载：载荷分布长度相对于杆件轴线来说比较大，不能简化为集中力。,载荷分布均匀时称为均布载荷。若长为L0的长度范围内的载荷为F，则载荷集度q为,梁的载荷与支座,集中载荷,分布载荷,集中力偶,通过对支座和载荷的简化，得到梁的计算简图。,5.2.3 静定梁,FRA,FRB,A,B,梁的支座反力可由静力平衡方程求出，这种梁称为静定梁。,1、简支梁 两端皆为铰支座。,工程上常用到的三种基本形式的静定梁，分别称为悬臂梁、简支梁和外伸梁。,5.2
6、.3 静定梁,FAx,FAy,FBy,5.2.3 静定梁,2、外伸梁 梁的一端或两端伸出支座之外。,FAx,FAy,FBy,5.2.3 静定梁,3、悬臂梁 一端为固定端，另一端为自由端。,FAx,FAy,MA,4、静定梁与超静定梁,静定梁：由静力学方程可求出支反力的梁。 超静定梁：有时为了工程上的需要，对一个梁设置较多的支座，因而梁的支反力数目多于平衡方程的数目。由静力学方程不可求出支反力，或不能求出全部支反力，这种梁称为超静定梁。,5、跨度 梁在两支个座间的距离称为跨度(或跨长)。悬臂梁的跨度指固定端到自由端的距离。,q,P,qL/2,3L/4,解: 在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有2个
7、，即矩为mA的支反力偶和铅垂支反力FA。设mA和FA的转向和指向如图所示。,例 计算右图所示悬臂梁的支反力。,q,P,qL/2,3L/4,解: 将梁上的均布荷载以其合力qL/2代替，合力的作用线通过均布荷载图形的形心，即到固定端的距离为3L/4。由平衡方程:,例 计算右图所示悬臂梁的支反力。,q,P,qL/2,3L/4,由平衡方程:,例 计算右图所示悬臂梁的支反力。,q,P,qL/2,3L/4,这一平衡方程能得到满足，因而计算结果是正确的。,结果,mA,FA,均布载荷 的力偶,所得结果为正，表示原假设的支反力和支反力偶的指向和转向正确。 为了校核计算结果，可将所得的FA 和mA与梁上的荷载一起
8、对B点取矩得到:,如果已知静定梁上的载荷，且支座反力已用静力平衡方程求出（作用于梁上的外力皆为已知量）。此时，可求梁横截面上的内力。以下图为例：,5.3 剪力和弯矩,为了求截面m-m上的内力，还是应用截面法。从m-m面截开，取左部分来研究。,5.3 剪力和弯矩,FS剪力，平行于横截面的内力系的合力，只与有关,M 弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩，只与有关,5.3 剪力和弯矩,FS剪力和M 弯矩同为截面上的内力。它们可由梁的平衡方程来确定。,对比以上两式可以看出：在数值上 剪力FS等于m-m截面以左所有外力在Y轴上的投影的代数和。 弯矩M等于m-m截面以左所有外力对截面形心的力偶矩的代数和。
9、 所以：剪力FS和弯矩M可以用截面m-m左侧的外力来计算。,5.3 剪力和弯矩,如果用m-m截面右侧来计算，所得的数值是一样的，只是它们的符号是相反的。为了使其正负号一致，规定：,5.3 剪力和弯矩,内力的正负号规定:,剪力FS: 截面左段相对于右段向上运动时为正（或绕研究对象顺时针转动时为正剪力）；反之为负。,弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。,FS(+),FS(),FS(),FS(+),M(+),M(+),M(),M(),5.3 剪力和弯矩,左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。,用截面法求任意截面上的内力时：,解题指导,（1）先求出全部约束力（支反力）。,（2）用
10、截面法切开，取任意一半为分离体，截面上的各未知内力分量设为正向。,（3）列平衡方程求出各内力分量的大小。,（4）注意内力分量的正负符号规定：以变形定正负，与外力分量以坐标轴方向定正负不同。,例 已知：如图，F，a，l。 求：距A端x处截面上内力。,l,A,A,B,B,解：（1）求约束反力,（2）求内力截面法,A,M,M,C,C,结论： 剪力FS为 弯矩M为,例：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。,解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。,图（a）,FS1,A,M1,图（b）,2-2截面处截取的分离体如图（c）,图（a）,q,FS2,B,M2,图（c）,内力的直接求
11、法： 求任意截面A上的内力时，以 A 截面左侧部分为研究对象，内力计算式如下。,其中Fi 、 Fj 均为 A 截面左侧的所有向上、向下的外力。,左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。,若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力和正号的弯矩。,（1） 求截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。 （2） 在解题时，一般在需要求内力的截面上把内力（Fs、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的Fs、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示
12、该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。,基本规律,（3） 梁内任一截面上的剪力Fs的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。 （4）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对这个截面形心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩。,基本规律,5.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图
13、和弯矩图,梁的横截面上的剪力和弯矩是随着梁横截面位置的变化而变化的。 为了能找到FSmax、Mmax的值及其所在截面（危险截面），以便对梁进行强度、刚度计算，须建立梁的剪力方程与弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。,5.4.1 剪力方程和弯矩方程,若我们以坐标x表示横截面在梁上的位置，则梁上的FS，M 可表示为x的函数:,FS=FS(x),剪力函数，也叫剪力方程,M=M(x),弯矩函数，也叫弯矩方程,在建立剪力方程和弯矩方程时，一般是以梁的左端为坐标的原点。有时，为了方便计算，也可将坐标的原点取在梁的右端或梁的其它位置。,仿照轴力图或扭矩图的作法，作出剪力图和弯矩图。这种 表示剪力、弯矩变化规律
14、的图形称为剪力图和弯矩图。 即：按选定的比例尺，以平行于梁轴线的横坐标x表示截面的位置。 以纵坐标表示FS( 向上为正)，则由剪力方程所作图形叫剪力图。 同样，以纵坐标表示M(向上为正)，则由弯矩方程所作图形叫弯矩图。 绘图时将正值的剪力和弯矩画在x轴的上侧；负值的剪力和弯矩画在x轴的下侧。,5.4.2 剪力图和弯矩图,剪力图和弯矩图可以确定梁的剪力和弯矩的最大值，以及其所在的截面位置。所以，它们是梁的强度计算和刚度计算的重要依据。,5.4.2 剪力图和弯矩图,5.4.3 剪力图和弯矩图的特点,例1：图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,F
15、AyFb/l FByFa/l,2写出剪力方程和弯矩方程,AC段,CB段,3. 依方程画出剪力图和弯矩图,AC段,CB段,4. 确定最大剪力与弯矩,由FS图可见：当ab时，FS的最大值为Fb/L。 由M图可见：在C截面处，M有最大值Fab/L。,特点1： （1）在集中力作用处，FS图有突变（不连续），突变的数值等于该集中力的大小。集中力向下作用时，剪力图向下突变，向上时向上突变。 （2）在集中力作用处，M图有一转折点，形成尖角。（M图的切线斜率有突然变化）。,例2 悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1. 任选一截面x，写出剪力和弯矩方程,2. 依方程画出剪力
16、图和弯矩图,3. 由剪力图、弯矩图可见:最大剪力和弯矩分别为。,特点2： 对悬臂梁，有时不用求支反力就能直接列出平衡方程。 在梁的外伸自由端点处：如果没有集中力偶的作用，则端点处的弯矩等于零；如果没有集中力的作用，则剪力等于零。,例3：图示简支梁C点受集中力偶作用，试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM / l FBy -M / l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3依方程画出剪力图和弯矩图,AC,CB,特点3： 在集中力偶作用下: （1）弯矩图发生突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力偶矩的大小。顺时针力偶作用时，弯矩图向上突变。逆时针力偶作用时，向下突变。 （2）但剪力图没有突变。（FS图连续，并不改变斜率）。,例4 简支梁受均布载荷作用，试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAy FBy
