《微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第三章习题 3-11 设 s= gt ，求 22dts解： 2214()limlit tt gsdt 21li()tg2 设 f(x)= ，求 (x0) (x00)f解： 12)002()fx3 （1）求曲线 上点（2，4）处的切线方程和法线方程；y（2）求过点（3，8）且与曲线 相切的直线方程；2yx（3）求 上点（2， ）处的切线方程和法线方程；xye2e（4）求过点（2，0）且与 相切的直线方程。xy解：略。4 下列各题中均假定 f(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么：(1) =A;0limx(f(2) f(x0)=0, A；0lix)f(3) =A0lih(f
2、h解：(1) 00000)()(limlim()x xffxffxxA AA0(f(2) 0000()lili ()xxffx20()Afx(3) 0()limhfh000()(fxffx00()( )li limh hxfh002)fffx2()Ax5 求下列函数的导数：(1) y= ；(2) y = ；(3) y = x321x325xA解：(1)122()yxx(2) 322513352()yxx(3)21536A1665()yxx6 讨论函数 y= 在 x=0 点处的连续性和可导性32解： 0lim()xf332000() 1lililimxxxf函数 在 点处连续但不可导。3y7 试
3、由倒数定义，证明：若 f(x)为可导的奇（偶）函数，则 f(x)是偶（奇）函数。证： 为偶函数()fx3()fxf00()()limlixxfff ，即)f2(0)f故 ()f8 求下列函数在 x0处的左、右导数，从而证明函数在 x0处不可导：(1) y ； (2) y= 3sin,2,1解：(1)32000()()limlilimxxxff 00snlili1xxff ()f函数在 处不可导。(2) 2111()()limlilim()2xxxff 111()()lililixxxffff函数在 处不可导。9 设函数f(x)= 2,1.abx为了使函数 f(x)在 x=1 点处连续且可导，a
4、，b 应取什么值?解：为使 在 处连续，必须 ，f1(0)()(1fff1(0)lim()lixxfab，21f()f(1)ab为了使 在 处可导，必须()fx(1)ff4111()()limlilimxxxfabaf2111lilili()2xxxff，代入（1）式得2ab当 ， 时 在 处连续且可导。()f10 证明： 双曲线 xy a 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a2证：设 是双曲线 上任一点，则 ，该双曲线在0(,)p220xya处切线的斜率 该双曲线在0,xy0202x ykyx处切线的方程为：0(,)p00()令 得该切线在 轴上的截距为 ，xy02y令
5、得该切线在 轴上的截距为 ，于是，它与两坐标轴构成的三角0yxx形的面积 。20012syya11 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间 t 的关系式为 h(t)10t gt (m)，求：12(1) 物体从 t=1(s)到 t=12(s)的平均速度；(2) 速度函数 v(t)；(3) 物体何时到达最高点解：(1)2211(0.29.8)(09.8)(1.2) .h0.78m/s(2) ()1vthgt(3)当 时，物体到达最高点。由 即 得()0vt1gt105()49s即上抛 时物体到达最高点。549512 设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,t 内，转过角度 ，从而转角 是 t 的函数； (t)
6、如果旋转是匀速的，那么称 为该物体旋转的角速度如果旋转是t非匀速的，应怎样确定该物体在时刻 t0的角速度?解：设从时刻 到 间转过的角度为 ，则0tAA0()(tA物体在时刻 的角速度为 。t 00)limttdA13 已知 f(x)在 x=x 点可导，证明：=( )f (x 0)00()(limhffxh证：当 ， 时，00()()lihfxfxh000()(fxhfx0000() )limlimh hfxfffh00()()(fffx习题 3-21 求下列函数的导数：(1) s=3lnt+sin ； (2) y = lnx;7(3) y=(1-x )sinx(1-sinx);(4) y=
7、； (5) y=tanx +e ；in1cos(6) y= -3secx; (7) y=lnx-2lgx+3log2x;e(8) y= 2解：(1) 3st(2) (ln)(l(ln)yxxx122(3) 2(1)sin(i)()sin(1i)yxxx A62(1)sin(i)xxA2 21cos(in)(1)sin(co)xx2sisixx(4) 2(1n)(co)(si)(cs)1xy 2 2s()(in)1inoscs(c)xxx(5) 2(tan)(e0cy(6) 2secstanse3s)3ctanxxx(7) (l)2(lg(loy11)ln0lln02xx(8) 22()()y2
8、 求下列函数在给定点处的导数：(1) y=xsinx+ cosx，求 ；14dxy(2) f(x)= + ,求 f(0)和 f(2);352(3) f(x)= 求 f(1)24,1x解：(1) 1sincosinsicos2dyxx413i()42x(2) 223(5)(5)fxx17(0,()ff7(3) 111()(54)5()()limlilimxxxff2111341lililixxxf xfli(4)5x()fff3 设 p(x)=f1(x)f2(x)fn(x)0,且所有的函数都可导，证明12()(nfxfxpf 证： 12123()()()()n npxfxff 12nfx()xp
9、1212311()()()()()()n nnffxfxffxffx .12()()nffxfx4 求下列函数的导数：(1) y= ; (2) y=arctanx2；3ex(3) y= (4) y=(1+x2)ln(x+ );21 21(5) y=x2sin ; (6) y=cos2ax3(a 为常数)；(7) y=arccos ; (8) y=(arcsin )2;(9) y= ; (10) y=sinnxcosnx;21lnx(11) y= ； (12) y=a rcsin ；1(13) y=lncosarctan(shx); (14) y= arcsin （a0 为常数） 2x28解：(
10、1) ;33()xxyeeA(2) ;2441(3) 2121()(21)xxyeex AA;21 21x x (4) 2222()ln()()ln()yxx AA21l 1xx2222ln()()xxxA22211l()x;22lnx(5) 221()si(sin)yxAcoxA23sinsx221cx(6) 3333os()os(in)(yaaxa ;2inx(7) 22211()xxyx AA(8) ;22arcsin1arcsin(ri)2arcsin()4xxxy AA9(9) ;22 2211ln(ln)ll ln1xyxx A(10) 1sicosi(si)n A(xxx;1si
11、nc)(11) 2(1(1)(1)xxxxy 21()()()2 21)x xx2222(1)()21(1)xxxxA;22221()1x(12) 1()1xxy A2(1)2xxA21()xx;()2()(13) 1cosartn()cosartn()yhxhx Airt()arctn()rt() shxA21ancshxshxA10221shxshxcctA(14) 2221()ayaaxx A222xaxx;25 y=arccos ，求 3x6x3xy解： 2116()()29xx AA22()36()1xxx29(3)xxA32161930xy6 试求曲线 y= 在点(0，1)及点(-
12、1，0)处的切线方程和法线方程e解： 2331(1)()xxeAA323()xe故曲线在(0,1)点的切线斜率0xy23k曲线在(0,1)点的切线方程为 即213yx0y法线方程为 即 2又 此时，曲线具有垂直于 x 轴的切线 x=-1,其法线为 y=0.1xy117 设 f(x)可导，求下列函数 y 的导数 ：dx(1) y=f(x2)；(2) y=f(sin 2x)+f(cos2x)解：(1) )dA(2) 2222(sini)(cos)ffxx Acs(in)x 22si(i)(cs)ff8 求下列隐函数的导数：(1) x3+y3-3axy=0; (2) x=yln(xy);(3) xe
13、y+yex=10； (4) ln (x2+y2)=2arctan ;(5) xy= 解：(1)方程两边对 x 求导，得：2330yayA解得 2x2()x(2) 方程两边对 x 求导，得：11ln()()yyA即 lx即 1ln()y(1ln)0xy(3) 方程两边对 x 求导，得：yxeyeA解得 (0)xyxy(4) 方程两边对 x 求导，得：2211()xyyAA12即 即22xyyAxyA即 (0)xy(5) 方程两边对 x 求导，得：(1)ye解得 xy 0xy9 用对数求导法求下列函数的导数：(1) y= ； (2) y= ;452(3)1xAcosinx(3) y= 2e()4x解：(1)两边取得对数，得：1lnl(2)ln(3)5
