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1、大学数学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是_.3 方程的基本解组是_.4 一个不可延展解的存在区间一定是_区间.5 方程的常数解是_.6 方程 一个非零解为 x1(t) ,经过变换_7 若4(t)是线性方程组的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=_.8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为_.9 满足_条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_.11 一阶线性方程有积分因子( ).12 求解
2、方程的解是( ).13已知(为恰当方程,则=_.14 ,由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).15方程的通解是( ).16方程的阶数为_.17若向量函数在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=_.18若P(X)是方程组的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_.19方程所有常数解是_ 20方程的基本解组是_21方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是_22函数组在区间I上线性无关的_条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零23若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们_共同零点二 单项选择:1 方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).(A)上半平面 (B)平面 (C)
3、下半平面 (D)除y 轴外的全平面2 方程( ) 奇解. (A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个3 在下列函数中是微分方程的解的函数是( ).(A) (B) (C) (D)4 方程的一个特解形如( ). (A) (B) (C) (D)5 连续可微是保证方程解存在且唯一的( )条件（A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ). (A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间7 方程过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解
4、 (D)只有三个解 8 初值问题 x , 在区间,上的解是( ). (A) (B) (C) (D) 9 方程是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程10 方程的通解是( ). (A) (B) (C) (D)11 方程的一个基本解组是( ). (A) (B) (C) (D)12 若y1和y2是方程的两个解,则 （e1,e2为任意常数）(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解 (C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解13 方程过点(0,0)的解为,此解存在( ). (A) (B) (C) (D)14 方程是( ) . (A) 可分离变量
5、方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程15 微分方程的通解是( ).(A) (B) (C) (D)16 在下列函数中是微分方程的解的函数是( ).(A) (B) (C) (D)17 方程的一个数解形如( ). (A) (B) (C) (D)18 初值问题 在区间上的解是( ).(A) (B) (C) (D) 19方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D） 20. 方程过点共有（ ）个解（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三21阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个 （A） （B）-1 （C）+1 （D）+222一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解
6、之差（ ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解23如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（ ） （A）必为 （B）必为 （C）必为 （D）将因解而定三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分: (1) (2) (3) (4) (5)2 求方程的解 3 解方程:并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解4 求方程: 5求方程: 的通解6 求的通解.7 求解方程: 8 求方程: 的解9 求方程的通解10 求下列方程组的通解11求初值问题 的解的存在区间并求出第二次近似解12 求方程的通
7、解 (1) (2) (3) (三种方法) (4)13 计算方程 的通解14计算方程 15 求下列常系数线性微分方程: 16 试求 x的基解矩阵17 试求矩阵 的特征值和对应的特征向量.18 试求矩阵 的特征值和特征向量19 解方程组 20求下列方程组的通解 四 名词解释 1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程 4伯努利方程 5条件 6 线性相关五 证明题1在方程中已知p(x);q(x)在上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.2 设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程 证明：x1(t)+x2(t)是方程的解。3设f (x)在0；+上连续且f (x)=0求
8、证：方程的一切解y(x)；均有y (x)=04 在方程中p(x)、q(x)在（）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（）上的严格单调函数。5证明：x1(t)+x2(t)是方程的解。6证明：函数组（其中当时）在任意区间（a ,b）上线性无关。7在方程中，已知，在上连续，且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为8在方程中，已知，在上连续求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切练习题答案一 填空题:1、 22、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、 ex ; xex4、 开5、 6、 7、 ,c为常数列向量8、 y=x2+c9、 初
9、始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c ; c为任意正常数13、/14、15、16、417、018、；其中c是确定的n维常数列向量19 2021，（或不含x 轴的上半平面） 22充分 23没有 二 单项选择 1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D 19D 20B 21A 22.C 23D三 求下列方程的解1 (1）解：当时，分离变量取不定积分，得 通积分为 1ny= Cex（2）解：令y= xu , 则代入原方程，得 分离变量，取不定积分，得 （） 通积
10、分为：（3） 解： 方程两端同乘以 y-5,得 令y -4= z ，则代入上式，得 通解为 原方程通解为 （4） 解： 因为 ， 所以原方程是全微分方程。 取（x0,y0）=（0，0）原方程的通积分为 即 （5） 解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c32 解：设则方程化为 ，积分后得y = ct 即 于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5 其中 c1 , c2 , c3 , c4 , c5为任意常数= = f1(t) + f2(t)故x1(t)+x2(t)为方程=f1(t)+f2 (t)的解。 3 解： 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里c是任意常数。以x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数c，得到 c = -1 因而，所求特解为 4 解：以 及 代入，则原方程变为 即 将上式分离变量,即有 两边积分,得到 这里是任意函数,整理后,得到 令,得到 sinu = cx 5 解: 令z = y-1得 代入原方程得到 这是线性方程,求得它的
