第2章 信号和频谱

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1、简明通信原理 Concise Principles of Communications,武汉理工大学计算机学院,第2章 信号和频谱,学 习 目 标,信号的分类与特性。 傅里叶级数和傅里叶变换。 能量（或功率）谱与相关函数。 平稳、高斯、窄带随机过程的统计特性。 高斯白噪声和低通（或带通）白噪声。 带宽的概念与定义。,2.1 信号分类,信号（signal）是指表示消息的某种电（物理）量，如电压、电流或电磁波等。 为方便研究不同问题，可将信号进行如下分类： 模拟信号与数字信号（详见第1章） 基带信号与已调信号（详见第1章） 确知信号和随机信号 周期信号和非周期信号 能量信号和功率信号,2.1.1

2、确知信号和随机信号 确知信号是可以预先确知其变化规律的信号。例如， 。 随机信号（不确知信号），其在定义域内的任意时刻都没有确定的函数值。例如，通信系统中的接收信号、热噪声等。 2.1.2 周期信号和非周期信号 周期信号是定义在（ ）区间上，且每隔固定的时间按同样规律重复变化的信号，即满足： T0为信号的周期。 提问：冲激函数、正弦信号、Sa(x)函数、矩形脉冲序列、语音信号，哪些是周期信号？,2.1.3 能量信号和功率信号 电压v(t)或电流i(t)在电阻R上所产生的瞬时功率为 或 “归一化”瞬时功率（取R=1欧姆）： s(t)代表v(t)或i(t) s(t)的（归一化）总能量为 （归一化）

3、平均功率为： 若E有限 ，而P0，则称为能量（有限）信号。如单个矩形脉冲。 若P有限，而E，则称为功率（有限）信号。如周期信号和随机信号。,确知信号的分析方法是信号分析的基础。 信号的特性可从时域和频域来描述。 时域特性反映信号随时间变化的特性，可借助示波 器观察信号的波形。 频率特性反映信号各个频率分量的分布情况，可借助频谱仪观察信号的频谱。 在数学上，周期信号的频谱可用傅里叶（Fourier）级数来分析；非周期信号的频谱可用傅里叶变换来分析。,2.2 确 知 信 号,2.2.1 傅里叶级数 周期信号s(t)可展成（指数型）傅里叶级数： 其中，傅氏系数Cn为 式中，f0 = 1/T0为信号的

4、基频，nf0为 n次谐波频率。 由于Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，故称Cn为信号的频谱。可记为 幅度 随频率（nf0）变化的特性称为信号的幅度谱， 相位 n 随频率（nf0）变化的特性称为信号的相位谱。,【例2-1】 一个周期矩形脉冲信号的时域波形与幅度谱如图2-2所示，简述周期信号频谱的特点，并确定该信号需要占用的频带宽度（即信号带宽）。 解：周期信号的频谱具有“离散性（谱线）、谐波性和收敛性”的特点。 幅度谱的主瓣宽度（指第一个零点频率范围）定义为信号带宽(零点带宽)： 可见，脉宽 越窄，B 越宽。,2.2.2 傅里叶变换 一个非周期确知信号s(t)的傅里叶（Fourier）变

5、换： （2-2-5） 称为该信号的频谱密度，简称频谱。 的傅里叶反变换就是原信号： （2-2-6） 这对傅里叶变换关系可简记为 当引入冲激函数之后，傅里叶变换对周期信号和非周期信号都适用。,【例2-2】试求幅为A，宽为 的单个矩形脉冲（门函数）的频谱。 解：对该信号进行傅里叶变换可得其频谱为 式中， 称为抽样函数，且有 。谱的第1个零点频率为 。 图2-3 矩形脉冲信号及其频谱函数,第一零点f=1/,评注： （1）非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与图2-2所示的周期矩形脉冲信号的离散频谱的包络线相似。 （2）信号带宽与脉冲持续时间（脉宽 ）成反比，即 。这意味着，若要压缩信号的持续时

6、间则以展宽频带为代价。 【例2-3】 已知 ，求 的频谱（密度）。 解：利用欧拉公式可得 根据傅里叶变换的频移特性可得 另一解法：利用傅里叶变换的频域卷积性质求解。 评注：上式通常称为调制定理，它在通信系统中的调制与解调过程中经常用到。,2.2.3 冲激函数和冲激序列 1、单位冲激函数(t) (t)是一个幅值无限大、宽度无穷小、面积为1的脉冲，可表示为 （1）筛选特性（采样特性） 或 （2）搬移特性 （3）傅里叶变换和反变换 2、单位冲激序列,2.2.4 能量谱密度和功率谱密度 意义：。 1能量谱密度（ESD） ESD是指信号的能量在频域上的分布情况。表示为 或 式中的S()为能量信号 s(t

7、) 的傅里叶变换。 信号能量为 上式称为Parseval（帕塞瓦尔）能量守恒定理。,2功率谱密度（PSD） PSD是指信号的功率在频域上的分布情况。设 是功率信号s(t)的截短信号， 是 的傅里叶变换，则s(t)的功率谱密度为 或 信号功率为 对于周期性功率信号来说，其平均功率由下式给出： 式中， =1/ f0为信号周期； |Cn|2是第n次谐波的功率。|Cn|2随nf0分布的特性称为周期信号的（离散）功率谱密度，可表示为 或,3.能量（功率）带宽 对于能量信号，可利用能量谱E(f)，由下式求出带宽B ： 式中，为百分比，可取90%、95%或99%等。 对于功率信号，则可利用功率谱P(f)，由

8、下式求出带宽B ： 2.2.5 波形的互相关和自相关 相关函数用于研究信号波形之间的关联程度或相似程度。,1相关函数 表2-3 不同类型信号相关函数的表达式 其中， 为时间差；T0为周期。,2互相关函数的性质 ，表示两个信号互不相关; 越大，说明无时差时的两个信号越相似; 3自相关函数的性质 能量信号的R(0)=E(能量)；功率信号的R(0)=P(功率)。,2.2.6 相关函数与谱密度 能量信号的自相关函数和其能量谱密度是一对傅里叶变换，即 功率信号的自相关函数和其功率谱密度是一对傅里叶变换，即 以上关系称为维纳-辛钦定理。该定理为谱密度的求解提供了另一条途径，即通过自相关函数来求得信号的谱密

9、度。 【例2-5】 求余弦信号 的PSD和平均功率。 解：余弦（或正弦）信号都是周期性功率信号，它的自相关函数为,利用积化和差三角函数公式，可得 利用维纳-辛钦定理 ，可得信号的PSD： 信号的平均功率为 或 正弦信号与余弦信号具有相同的PSD、自相关函数和平均功率。 习惯把 和 统称为正弦信号。,2.3 随 机 过 程,本节内容是本课程的数学基础，因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，需要用随机过程的理论来描述。 随机过程的基本概念和数字特征； 平稳、高斯、窄带过程的统计特性； 随机过程通过线性系统； 高斯白噪声的统计特性。,2.3.1 何谓随机过程？ 随机过程可定义为所有样本函数的集合

10、。其在任意时刻上的取值是一个随机变量，因此又可定义为在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。 图2-4 随机过程的样本 2.3.2 数字特征 分布函数或概率密度函数可充分地描述随机过程的统计特性。 数字特征可描述随机过程的基本特性。常用的数字特征有均值、方差和相关函数。,1均值或数学期望 含义：均值 表示随机过程n个样本曲线的摆动中心（见图2-4中虚线）。 2方差 含义：方差反映了随机过程在任意时刻的取值偏离均值的程度。 3自相关函数 若 并令 ，则相关函数 可写成 含义：描述随机过程在不同时刻的取值之间的关联程度。,2.4 平稳随机过程,2.4.1 平稳性 严（狭义）平稳：随机过程的统计特

11、性不随时间的推移而改变。 宽（广义）平稳：随机过程的数字特性不随时间的推移而改变： 均值与 t 无关 自相关函数仅与时间间隔有关 严平稳必然宽平稳，反之不一定（高斯过程例外）。 通信系统中的信号与噪声大多可视为宽平稳过程。,2.4.2 各态历经性 如果平稳过程 的统计平均等于它的任意一个样本 的时间平均，即 则称该平稳随机过程 具有各态历经性。 各态历经性的意义： 可用一个样本的“时间平均”替代随机过程的“统计平均（需要对随机过程的所有样本求平均）”，使得测量和计算的问题大大简化。,2.4.3 自相关函数的性质 平稳随机过程 的自相关函数只是时间差 的函数，即 它具有如下性质： （1） 的平均

12、功率 （2） 的直流功率 （3） （方差） 的交流功率 当均值为0时，有 （4） 的偶函数 （5） 时有最大值,2.4.4 功率谱密度 平稳过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换关系，即 简记为 称为维纳-辛钦定理。它建立了平稳过程频域和时域的联系。 （1）当 时，有 即功率谱密度（PSD）的积分面积等于归一化平均功率。 （2）功率谱密度（PSD）具有非负性和实偶性，即,2.5 高斯随机过程,2.5.1 定义与特性 高斯过程的n维（n=1，2，）分布都服从正态分布。 高斯过程的统计特性完全由它的数字特征决定。 它的一维分布完全可由均值和方差来描述。 （1）若高斯过程是宽平稳的，则也是严平

13、稳的。 （2）若高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 则它们也是统计独立的。 （3）高斯过程经过线性系统后的过程仍是高斯过程。 以上几个性质在对高斯过程进行数学处理时十分有用。,2.5.2 一维高斯（或正态）分布 高斯过程在任意时刻上的取值都是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数为 具有如下特性： 曲线对称于 这条直线。 的图形将随 的减小 而变得尖锐，说明随机变量X 落在a点附近的概率越大。,在分析数字通信系统的抗噪声性能时，往往需要计算高斯随机变量X小于或等于某一取值 的概率 ，记为 式中， 称为分布函数，是概率密度函数 的积分，即 （2-5-3） 为了便于计算上式积分的结果，常引用一些在

14、数学手册上可查函数值的特殊函数来表示F(x)。例如，误差函数和互补误差函数，其公式与性质如表2-4所示。,表2-4 误差函数和互补误差函数,若对式（2-5-3）的积分区间进行处理（如 ），然后进行变量代换，令 ，并与式（2-5-4）或式（2-5-5）联系，则有 （2-5-8） 利用函数 或函数 表示F(x)的好处是，其简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。,2.6 随机过程通过线性系统,对于线性时不变系统，其输出过程 是输入过程 与系统单位冲激响应 的卷积，即 根据上式，若给定 的统计特性，则可求得 的统计特性，结果如表2-5所示。 表2-5 平稳随机过程通过线性系统 表2-5中， 为线性系统的频率响应，且 ；H(0)是线性系统在 处的频率响应，即直流增益； 是线性系统的功率增益。,2.7 窄带随机过程,窄带随机过程概念。例子：调频（FM）信号、数字调相（2PSK）信号、白噪声通过带通滤波器后的噪声等。 谱特征： 频带宽度 （中心频率），且 0。