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1、第4章 粘性流体动力学基础 4.1、流体的粘性及其对流动的影响 4.2、雷诺实验、层流与湍流 4.3、粘性流体的应力状态 4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系） 4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程 4.6、流动相似及相似准则*,工程中遇到的问题大多是粘性流体运动问题，实际的粘性流体运动现象远比理想流复杂，从而控制粘性流体运动的基本方程及其求解也相对复杂 以下两章的任务是： 介绍粘性流体运动的基本概念、流动现象和流动特征 建立控制粘性流体运动的基本方程 得到解决粘性流体运动问题的基本思路、方法和途径,4.1、流体的粘性及其对流动的影响 流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗
2、剪切变形能力。 流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相对运动能力。 在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流体所承受剪力大小是不同的。,4.1、流体的粘性及其对流动的影响 粘性流体抵抗剪切变形的能力，可通过流层间的剪切力表现出来（这个剪切力称为内摩擦力）。粘性流体在流动过程中必然要克服内摩擦力做功，因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。 牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年） F=AU/h,4.1、流体的粘性及其对流动的影响 流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。 设 表示单位面积上的内摩擦力
3、（粘性切应力），则 -流体的动力粘性系数（单位：Ns/m2=Pa.s） =/-流体的运动粘性系数（单位：m2/s ） 水= 1.13910-6 (m2/s) 空气= 1.46110-5 (m2/s),4.1、流体的粘性及其对流动的影响,一般流层速度分布不是直线，如图所示。 y u 0 du/dy - 表示单位高度流层的速度增量，称为 速度梯度,4.1、流体的粘性及其对流动的影响,速度梯度 du/dy 物理上也表示流体质点剪切变形速度或角变形率。 如图所示： u+du dy d u dudt,4.1 流体的粘性及其对流动的影响,流体切应力与速度梯度的一般关系为： 1 . =0+du/dy，bin
4、ghan流体，泥浆、血浆、牙膏等 2 . =（du/dy）0.5 ，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等 3 . =du/dy ，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等 4 . =(du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等 5 . 0，0，理想流体，无粘流体。,1、理想流体和粘性流体作用面受力差别,4.3、粘性流体的应力状态,静止或理想流体内部任意面上只有法向力，无切向力 粘性流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力,在粘性流体运动中，过任意一点任意方向单位面积上的表面力不一定垂直于作用面，可分解为法向应力和切向应力 如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，分别为法应力分量和切应
5、力分量,4.3、粘性流体的应力状态,2、粘性流体中的应力状态,从而三个面的合应力可表示为 x面 : y面: z面:,4.3、粘性流体的应力状态,由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。,如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。,上述九个应力分量可写为：,这九个应力分量并不全部独力，其中的六个切向应力是两两相等的，所以独立的一共是三个法向的，三个切向的。,这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明，思路是：一对剪应力对微元产生的力矩将
6、与彻体力力矩和微元质量的动量矩平衡，而后二者都正比于微元的体积乘以微距离，是一个高阶小量可略去，从而得到这一对剪应力相等。,4.3、粘性流体的应力状态,注：有的教材将法向应力记为:,关于应力的几个要点： （1）在理想流体及静止流体中不存在切应力，三个法向应力相等（各向同性），等于该点压强的负值。即： （2）在粘性运动流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即： （3）在粘性运动流体中，任意面上的切应力一般不为零。,4.3、粘性流体的应力状态,4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）,Stokes（1845年）根据牛顿内摩擦定
7、理的启发（粘性流体作直线层状流动时，层间切应力与速度梯度成正比），在一些合理的假设下将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理-应力应变率关系（本构关系）：,这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线性关系）。满足上述关系的流体称为牛顿流体。,对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为：,4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）,本构关系满足：,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,1、流体运动的基本方程 利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方程。像推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体进行分析，以x方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流体，作用在
8、中心P点处不仅有法向应力，而且还有切向应力，控制面上的应力可用中心点处应力泰勒召开表示。,作用在ABCD和ABCD两个侧面的法向力差是：,作用在ABBA和CDCD两个侧面的切向力差是：,作用在ADAD和BCBC两个侧面的切向力差是：,仍然设单位质量彻体力分量为：fx , fy , fz , 按照牛顿第二定律：,是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,或：,同理：,将反映粘性应力与应变率关系的广义牛顿内摩擦定理代入上式右端，即得到粘性流动的运动方程 NS 方程： （纳维Navier, C. L. M. H. 1785-1836, 法国力学
9、家、工程师；斯托克斯Stokes, G. G. 1819-1903, 英国力学家、数学家）,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,其中 是拉普拉斯算子：,可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,当不可压时，根据连续方程：,则不可压粘流的 NS方程写为：,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,用 三个方向的单位向量 i 、j、k 分别乘上三式并相加，可得不可压粘流 N-S方程比较简捷的向量形式：,其中 为速度分量 为哈密顿算子 为拉普拉斯算子,4.5、粘性流体运动方程-Navier-S
10、tokes方程,与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性：,4.5、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程,事实上速度随体导数中迁移加速度项也可以直接应用向量导数运算公式得到：,定常、不可压、彻体力有势时格罗米柯方程可化为：,2、伯努利(Bernoulli)积分 伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家族。其中， Bernoulli, Nocholas(尼古拉斯.伯努利，1623-1708 ），瑞士伯努利数学家族第一代。Bernoulli, Johann（约翰.伯努利，1
11、667-1748 ），伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。Bernoulli, Daniel（丹尼尔.伯努利，1700-1782 ），伯努利数学家族第三代， Johann.伯努利的儿子，著有流体动力学（1738），将微积分方法运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,将定常、不可压、彻体力为重力（=gy）条件下的格罗米柯方程沿流线 投影得：,上式与第二章中得到的有粘性损失一维能量方程形式相同。其中 为单位质量流体所具有的机械能， 是从12流动过程中粘性力做功使每单位质量流体损失的能
12、量。 写为高度量纲：,如果令: 方程变为:,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,沿着同一条流线积分，得到：,上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上无论势能、压能和动能如何转化，总机械能是沿程减小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方，不能保持守恒，减小的部分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的能量。下图是理想流和粘流沿流线（管）的能量关系几何意义对比。,4.5、粘性流体运动方程- Bernoulli积分,应该指出，由于粘性流体必然存在剪切层是有旋的，上述对N-S方程的积分只能沿流线成立。,例：进出口面积相等高度相同的管道, 体积流量Q=30m3/s, 测得两端压降为 p1-
13、p2=5kpa , 求流动的粘性损失功率N损 解：设流动定常、一维， 由N-S方程的伯努利积分： 得从1-2每单位质量流体损失的能量为： 则1-2的损失功率为： (注：上述管道围起来可看成风洞的一段，因此1-2压差可看成由风扇提供用于克服管道损失，故所求即风扇功率，可由风扇两端的有机械功输入的能量方程验证。),NS方程为非线性偏微分方程，它的求解一般需要借助计算机用数值方法求解。而在一些简单的粘流问题上，NS方程也有解析解。 例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，二壁固定。,解: 设流动定常，彻体力可略。 二维不可压 NS 方程写为：,3. N-S方程的解析解举例*,4.5、粘性流体运动方程
14、- N-S方程的解析解举例*,由于 ，第二个方程化为：,即在流动横截面压强不变。 又第一个方程化为：,对 y 积分，注意到 不是 y 的函数，对 y 积分时当常数看,4.5、粘性流体运动方程- N-S方程的解析解举例*,由边界条件定常数 C1 和 C2 ：y=b 处，u=0，定得 C10， C2b2/2，于是：,即 u 在y 向作抛物线分布。中心点流速为： 表明沿x轴 是个负值，即压强是逐步下降的。一段长度 L 上的压降是：,这个压降是用于克服壁面摩擦阻力的。,4.5、粘性流体运动方程- N-S方程的解析解举例*,璧面间平均流速为：,壁面摩擦应力为：,一段长 L 的壁面上摩擦应力是： 两侧壁面
15、上的总摩擦力是:,这个力刚好等于压降乘以通道面积，说明流动的损失完全消耗在克服壁面摩擦上了。,4.5、粘性流体运动方程- N-S方程的解析解举例*,例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，其中底璧固定不动，上璧以速度U向右运动。璧面间距为h。这种流动称为古艾特流。,解：此题和例1的前半部分相同，只是边界条件不同，有：,由边界条件 y=0，u=0，定得 c20; 由 y=h,u=U，定得,于是速度分布为：,如果压强在x方向无压强梯度，则,这种压强梯度等于零的流动称为简单的古艾特流或简单剪切流，速度分布在y向为一直线。如果压强梯度不为零就是一般的古艾特流，一般的古艾特流等于简单古艾特流与例1的抛物线分布流动的叠加。,定义一个无量纲的压强梯度：,则无量纲的速度分布可写为：,P=0是简单剪切流。P0表示压强在运动方向是下降的，这时一个截面上的流速全都指向正x方向，除了y=0和y=h的两端外其他流速都比简单剪切流为大（图中P1，2，3）， P0表示压强在运动方向是上升的，这时无量纲速度分布较简单古艾特流为小，当P绝对值足够大时可出现倒流（P=-2、-3）。,剪应力分布为：,该剪应力分布可看成简单剪切流的常数分布和例1中的线性分布的叠加。,工
