弯曲度的计算

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1、 68 第二十章第二十章 弯曲的强度计算弯曲的强度计算 第一节 概述 第一节 概述 如图如图 20-1 所示的车轴，图所示的车轴，图 20-2 所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑 中的梁等。受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯 曲变形为主的杆件通常称为梁。 所示的桥式吊车梁，以及桥梁中的主梁，房屋建筑 中的梁等。受力后这些直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯 曲变形为主的杆件通常称为梁。 一般说来，当杆件受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用 时，杆将发生弯曲变形。我们先来研究比较简单的情况，即梁的横截面具有对称轴

2、一般说来，当杆件受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用 时，杆将发生弯曲变形。我们先来研究比较简单的情况，即梁的横截面具有对称轴图图 20-3（a），全梁有对称面，并且所有外力都作用在对称面内的情形。在这种情形下梁 的轴线弯成位于对称平面内的一条平面曲线 ，全梁有对称面，并且所有外力都作用在对称面内的情形。在这种情形下梁 的轴线弯成位于对称平面内的一条平面曲线图图 20-3（b），这种弯曲属于平面弯曲。本 章就是讨论平面弯曲时横截面上的内力、应力和变形问题。 ，这种弯曲属于平面弯曲。本 章就是讨论平面弯曲时横截面上的内力、应力和变形问题。 l aa d1 b A B YA Y

3、B P P P q ( a ) ( b ) 图图 20-1 图图 20-2 d2 P/2 P/2 P/2 P/2 69 第二节 静定梁的基本形式第二节 静定梁的基本形式 梁是一种常用的构件，几乎在各类工程结构中都占有重要地位。本章只讨论以下几 种最基本的梁。 梁是一种常用的构件，几乎在各类工程结构中都占有重要地位。本章只讨论以下几 种最基本的梁。 一、简支梁 一、简支梁 图 20-4（ 图 20-4（a）所示为某型内燃机凸轮轴的结构示意图，挺杆作用于轴的力）所示为某型内燃机凸轮轴的结构示意图，挺杆作用于轴的力 P 垂直于 轴线，在 垂直于 轴线，在 P 力作用下，凸轮轴将产生弯曲变形。一般情况

4、下，凸轮轴两端滑动轴承可近 似简化为铰支座，而右支座只限制轴在垂直方向的位移，则简化为活动铰支座。通常轴 本身用轴线表示。其计算简图如图 20-4（ 力作用下，凸轮轴将产生弯曲变形。一般情况下，凸轮轴两端滑动轴承可近 似简化为铰支座，而右支座只限制轴在垂直方向的位移，则简化为活动铰支座。通常轴 本身用轴线表示。其计算简图如图 20-4（b）所示。这种一端为固定铰支座、另一端为 活动铰支座的梁，称为简支梁。 ）所示。这种一端为固定铰支座、另一端为 活动铰支座的梁，称为简支梁。 二、悬臂梁 二、悬臂梁 图图 20-5（a）所示摇臂钻床的悬臂，一端套在立柱上，另一端自由。空车时悬臂除 受自重外，还有

5、立轴箱的重力作用而产生弯曲。由于立柱的刚性较大，且悬臂套在立柱 上也有一定的长度，使悬臂左端可简化为固定端，这样就得到如图 ）所示摇臂钻床的悬臂，一端套在立柱上，另一端自由。空车时悬臂除 受自重外，还有立轴箱的重力作用而产生弯曲。由于立柱的刚性较大，且悬臂套在立柱 上也有一定的长度，使悬臂左端可简化为固定端，这样就得到如图 20-5（b）所示的计 算简图。这种一端固定，另一端为自由的梁，称为悬臂梁。 ）所示的计 算简图。这种一端固定，另一端为自由的梁，称为悬臂梁。 三、外伸梁 三、外伸梁 某机械主传动箱内的传动轴，其外伸端装有锥形齿轮某机械主传动箱内的传动轴，其外伸端装有锥形齿轮图图 20-6

6、（a），作用于齿轮的，作用于齿轮的 x ( a ) ( b ) y q m m P YA YB 对称面 图 20-3 图 20-3 70 力除轴向力力除轴向力 Pa外，还有径向力外，还有径向力 Pr和圆周力和圆周力 P（图中（图中 Pr和和 P 未画出） ，如果单独研究未画出） ，如果单独研究 Pa 对轴的作用，可将对轴的作用，可将 Pa平移至轴上，则可简化为一沿轴线作用的平移至轴上，则可简化为一沿轴线作用的 Pa和一力矩和一力矩 Mo=Par，轴 向力 ，轴 向力 Pa使轴产生压缩变形（这里暂不考虑） ，而力偶使轴产生压缩变形（这里暂不考虑） ，而力偶 Mo将使轴产生弯曲变形。因为力将使轴产

7、生弯曲变形。因为力 Pa向左，轴必向左移动。现假定右轴承限制轴在水平和垂直两方向的位移，故可简化为 固定铰支座。此时左轴承仅限制轴在垂直方向的移动，则简化为活动铰支座。于是得到 如图 向左，轴必向左移动。现假定右轴承限制轴在水平和垂直两方向的位移，故可简化为 固定铰支座。此时左轴承仅限制轴在垂直方向的移动，则简化为活动铰支座。于是得到 如图 20-6（b）所示的计算简图。这种由一个固定铰支座和一个活动铰支座支承，而且 有一端（或两端）伸出支座以外的梁，称为外伸梁。 ）所示的计算简图。这种由一个固定铰支座和一个活动铰支座支承，而且 有一端（或两端）伸出支座以外的梁，称为外伸梁。 上述简支梁、悬臂

8、梁和外伸梁，都可以用平面力系的三个平衡方程来求出其三个未 知反力，因此，又统称为静定梁。有时为了工程上的需要，为一个梁设置较多的支座， 因而使梁的支反力数目多于独立的平衡方程数目，这时只用平衡方程就不能确定支反 力。这种梁称为超静定梁。本章将仅限于研究静定梁。 上述简支梁、悬臂梁和外伸梁，都可以用平面力系的三个平衡方程来求出其三个未 知反力，因此，又统称为静定梁。有时为了工程上的需要，为一个梁设置较多的支座， 因而使梁的支反力数目多于独立的平衡方程数目，这时只用平衡方程就不能确定支反 力。这种梁称为超静定梁。本章将仅限于研究静定梁。 M0 =Par Pa Pa r 图 20-6 图 20-6

9、Pq 主轴箱 (a) 主杆 悬臂 (b) 图图 20-5 凸轮轴 凸轮 挺杆 P (b) (a) 图图 20-4 P P 71 梁上的载荷有集中力、集中力偶和分布载荷（分布力） 。分布载荷即为作用线垂直 于梁轴线的线分布力，常以载荷集度 梁上的载荷有集中力、集中力偶和分布载荷（分布力） 。分布载荷即为作用线垂直 于梁轴线的线分布力，常以载荷集度 q 表示。其常用单位为表示。其常用单位为 N/m 或或 kN/m。 第三节第三节 平面弯曲时梁横截面上的内力 平面弯曲时梁横截面上的内力 一、内力 一、内力 为了计算梁的应力和变形，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。 这个问题可以利用截面法

10、解决。 为了计算梁的应力和变形，首先应该确定梁在外力作用下任一横截面上的内力。 这个问题可以利用截面法解决。 如图如图 20-7（a）所示的简支梁，承受集中力）所示的简支梁，承受集中力 P1、P2、P3作用。先利用平衡方程求出 其支座反力 作用。先利用平衡方程求出 其支座反力 YA、YB。现在用截面法计算距。现在用截面法计算距 A 为为 x 处的横截面处的横截面 C 上的内力，将梁在上的内力，将梁在 C 截 面假想截开，分成左右两段，现任选一段，例如左段 截 面假想截开，分成左右两段，现任选一段，例如左段图图 20-7（b），研究其平衡。在左 段梁上作用着外力 ，研究其平衡。在左 段梁上作用着

11、外力 YA和和 P1，在，在 C 截面上一定存在着某些内力以维持其平衡。截面上一定存在着某些内力以维持其平衡。 现将左段梁上所有外力向现将左段梁上所有外力向 C 截面形心截面形心 O 简化， 得主矢量简化， 得主矢量 Q和主矩和主矩 M图图 20-7 （b） 中虚线所示 ） 中虚线所示。 由此可知， 为了维持。 由此可知， 为了维持 AC 段梁的平衡，段梁的平衡， C 截面上必然存在着两个内力分量： 与主矢量 截面上必然存在着两个内力分量： 与主矢量 Q平衡的内力平衡的内力 Q 和与主矩和与主矩 M平衡的内力偶矩平衡的内力偶矩 M。称内力。称内力 Q 为剪力，内力 偶矩 为剪力，内力 偶矩 M

12、 为弯矩。为弯矩。 由左段梁的平衡条件可得由左段梁的平衡条件可得X截面的剪力和弯矩，即截面的剪力和弯矩，即 = 0Y 0 1 =QPYA 1 PYQ A = )(a 0 0 = m ()0 1 =+xYaxPM A ()axPxYM A = 1 )(b ( )b式为向式为向 C 截面形心截面形心 O 取矩。取矩。 同理，如以右段为研究对象同理，如以右段为研究对象图图 20-7（c），并根据，并根据 CB 段梁的平衡条件计算段梁的平衡条件计算 C 截面 的内力，将得到与式（ 截面 的内力，将得到与式（a） 、 （） 、 （b）数值相同的剪力和弯矩，但其方向均相反。这一结果是 必然的，因为它们是作

13、用力与反作用力的关系。 ）数值相同的剪力和弯矩，但其方向均相反。这一结果是 必然的，因为它们是作用力与反作用力的关系。 P1 P P1 1 P2 P3 b B C x l A (a) (b) YA YB B A (c) P2 P3 Q M Q M M 图 20-7图 20-7 a YA C O O YB c 72 二、应力 二、应力 剪力和弯矩是由分布在横截面上的应力构成的。 虽然我们还不知道应力在横截面上 的分布规律，但可将它们分解成正应力 剪力和弯矩是由分布在横截面上的应力构成的。 虽然我们还不知道应力在横截面上 的分布规律，但可将它们分解成正应力 和剪应力和剪应力 。由图。由图 20-8

14、（b）可看出，剪力）可看出，剪力 Q 是由剪应力是由剪应力 组成的。而弯矩组成的。而弯矩 M 的出现可以这样来说明：图的出现可以这样来说明：图 20-8（a）的梁在）的梁在 P 力作用 下将向下弯，这时横截面的下部区域作用着拉应力，上部区域作用着压应力，它们分别 合成为拉力 力作用 下将向下弯，这时横截面的下部区域作用着拉应力，上部区域作用着压应力，它们分别 合成为拉力 N2和压力和压力 N1，而，而 N1和和 N2大小相等，平行反向，从而构成一力偶，这就是 弯矩 大小相等，平行反向，从而构成一力偶，这就是 弯矩 M。 下面介绍剪力和弯矩的符号规定。与拉、压、扭转类似，弯曲时也是根据变形来确

15、定它们的内力符号。自梁内取出 下面介绍剪力和弯矩的符号规定。与拉、压、扭转类似，弯曲时也是根据变形来确 定它们的内力符号。自梁内取出 dx 小段，其错动趋势如图小段，其错动趋势如图 20-9（a）所示，即“左上右 下”时剪力为正，反之为负 ）所示，即“左上右 下”时剪力为正，反之为负图图 20-9（b）。至于弯矩的符号，则为当。至于弯矩的符号，则为当 dx 小段弯成下凸 时弯矩为正 小段弯成下凸 时弯矩为正图图 20-9（c），反之为负，反之为负图图 20-9（d）。按上述符号规定，计算某截面内 力时，无论保留左侧或右侧，所得结果的数值与符号都是一样的。 。按上述符号规定，计算某截面内 力时，

16、无论保留左侧或右侧，所得结果的数值与符号都是一样的。 例例 20-1 图图 20-10（a）所示简支梁）所示简支梁 AB，试计算，试计算 C 、B 截面上的内力（截面上的内力（B 截面是指 无限接近于 截面是指 无限接近于 B 截面并位于其左侧的截面） 。截面并位于其左侧的截面） 。 解解 首先计算其约束反力，设其方向如图首先计算其约束反力，设其方向如图 20-10(a)所示。由平衡方程得：所示。由平衡方程得： 0= A m 0 2 =+lY l Pm B PYB 2 5 = 0= B m 0 2 =+ l PmlYA PYA 2 3 = Q0 Q= =)(3 .143 101190 105 .170 3 6 max MPa MPa140= max 虽大于许用应力虽大于许用应力,但超出值在但超出值在 5%以内，工程中是允许的。以内，工程中是允许的。 当不考虑梁自重时，当不考虑梁自重时，