《清华概率统计课件(第三章-条件概率与事件的独立性)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华概率统计课件(第三章-条件概率与事件的独立性)（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019/10/18,皖西学院 数理系,1,第三章 条件概率与事件的独立性,第一节 条件概率,2019/10/18,皖西学院 数理系,2,例:一个家庭有两个小孩，求下列事件的概率. (1)事件A为“至少有一个女孩”发生的概率. (2)在事件B为“至少有一个男孩”发生的条件下，事件A发生的概率.,2019/10/18,皖西学院 数理系,3,一、条件概率的概念,含义：在事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率，,对于古典概型，如图所示 ，有,称为在事件B发生条件下事件A的条件概率，,2019/10/18,皖西学院 数理系,4,即把B作为新的样本空间.,缩减样本空间法,条件概率的定义：,对于古典概型
2、，条件概率可以如下计算：,2019/10/18,皖西学院 数理系,5,例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的 概率; （2）求第二次取到红球的概率； （3）求两次均取到红球的概率.,设A第一次取到红球,B第二次取到红球,思考：任一次取到红球的概率都相同吗？,2019/10/18,皖西学院 数理系,6,二、 概率乘法公式,注：（1）由条件概率定义直接可推出，,（2）由（1）可推出.,2019/10/18,皖西学院 数理系,7,例2 一批零件共有100个，其中10个不合格品，从中不放回抽取，每次一个，求第三次
3、才取到不合格品的概率.,解：记Ai表示“第i次取出的为不合格品”，则所求概率为,2019/10/18,皖西学院 数理系,8,第二节 全概率公式,例 设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；乙袋装有4个白球、2个红球.现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取出一球.求从乙袋取出白球的概率.,分析：对于较复杂事件概率的计算，首先要选择适当的符号把已知、所求事件表示出来；再根据概率法则、性质进行计算.,解：设A从甲袋取出白球；B从乙袋取出白球；,所求问题是什么？,2019/10/18,皖西学院 数理系,9,P(B)的取值显然与P(A)有关系，且P(A) =2/5.,另外，在A发生与否的条件下，B发生的
4、条件概率可求.,利用乘法公式可以计算：,即有,2019/10/18,皖西学院 数理系,10,全概率公式,其中B1，B2，Bn为样本空间的一个分割（或称划分、完备事件组），则对任一事件A，有：,注：全概率公式解决的问题是，由A的条件概率 求A的概率（部分 整体）.,常用形式,条件可减弱为,2019/10/18,皖西学院 数理系,11,例1 某工厂两个车间生产相同型号的的产品，生产的产品混合放在一个仓库里。第一车间产品的次品率为0.15；第二车间产品的次品率为0.12；且两个车间产品的数量比是2：3.现从仓库里任取出一件产品，求它是次品的概率.,解：记取出的一件是次品；,2019/10/18,皖西
5、学院 数理系,12,例2摸彩模型或抽签问题设n张彩票中有k张中奖券，求第二人（任一人）摸到中奖券的概率 .,类似可求出第3、4人摸到中奖券的概率 .,2019/10/18,皖西学院 数理系,13,例2摸彩模型或抽签问题设n张彩票中有k张中奖券，求第二人（任一人）摸到中奖券的概率 .,注：对于摸彩、抽签等问题中全概率的计算， 直接利用古典概率方法，可以简化计算.,任一人摸中概率都相同,2019/10/18,皖西学院 数理系,14,例 某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化
6、验结果99.9呈阴性（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多大？,解：设B为“被检查者患有肝癌”，A为“检查结果呈阳性”，则由题意知,所求问题是？,第三节 贝叶斯公式（逆概率公式）,2019/10/18,皖西学院 数理系,15,2019/10/18,皖西学院 数理系,16,补充说明,若对首次检查结果呈阳性的人再次复查，这时， P(B)0.284，代入上式计算可得：第二次检查又呈 阳性的人患肝癌的概率则为0.997,说明了此检查方法 的有效性.若把B“患病”看作“原因”,把A“阳性” 看作“结果”.,由产生的结果对原因重新认识修正.,2019/10/18,皖西学院 数理系,17
7、,贝叶斯公式（逆概率公式）,2019/10/18,皖西学院 数理系,18,例1 狼来了通过计算说明为什么村民后来不再信他呢？,2019/10/18,皖西学院 数理系,19,补充说明,这里， 称为先验概率，即原来村民,对他的印象. 称为后验概率，,即小孩撒谎一次后，村民对他的新印象.,若小孩再次撒谎，则以 替换,作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到,在实际生活中，人们总是根据,已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率.,2019/10/18,皖西学院 数理系,20,第四节 事件的独立性,2019/10/18,皖西学院 数理系,21,一、两个事件的独立性,1、独立性的一般含义 事件A与事件
8、B发生的概率没有关系、影响.,2、定义 设A、B是两事件，若满足 P(AB)P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立.,2019/10/18,皖西学院 数理系,22,例1 在52张扑克牌中任取一张，记A为“取到黑 桃”，B为“取到爱司”，A、B是否独立？,例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”， B为“至多一个女孩”， A、B是否独立？,2019/10/18,皖西学院 数理系,23,补充说明,（1）独立性的判定必须严格按定义来确定，而不能 凭主观想像和猜测，也不能与互不相容的概念混淆.,（2）具有类似关系的事件在不同条件下是否独立 也是有区别的.把例2中的三个小孩改为两个小孩， 则A、B
9、不相互独立.,2019/10/18,皖西学院 数理系,24,例2 在有三个小孩的家庭，记A为“男女都有”， B为“至多一个女孩”， A、B是否独立？,若把条件中的“三个小孩”改为“两个小孩”，,则有：,2019/10/18,皖西学院 数理系,25,3.独立性的性质,2019/10/18,皖西学院 数理系,26,一些特殊情形：,2019/10/18,皖西学院 数理系,27,二、多个事件的独立性,2019/10/18,皖西学院 数理系,28,例3 从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张,以事件A表示“取到1或2号卡片”;事件B表示“取到1或3号卡片”;事件C表示“取到1或4号卡片
10、”.则事件A,B,C两两独立但不相互独立.,2019/10/18,皖西学院 数理系,29,例4 甲、乙二人同时独立向同一目标射击一次，甲击 中率为0.9，乙击中率为0.8，求目标被击中的概率.,解：设A甲击中，B乙击中，C目标被击中.,2019/10/18,皖西学院 数理系,30,例5 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的.若你每周买一张彩票，坚持十年（520周），你从未中奖的可能性是多少？,2019/10/18,皖西学院 数理系,31,第五节 伯努利试验和二项概率,2019/10/18,皖西学院 数理系,32,一、伯努利试验,定义：设有随机试验E1和E2，
11、若E1的任一结果（事件）与E2的任一结果（事件）都独立，则称这两个试验相互独立.如分别掷两枚硬币的试验. 类似地可以定义n个相互独立的试验. 特别地，如果n个相互独立的试验是相同的，则称之为n重独立重复试验；如果每次试验的结果都是两个，则称之为n重伯努利试验. 如：掷n个骰子、检查n个产品的试验是n重独立重复试验，而掷n个硬币的试验则是n重伯努利试验.,2019/10/18,皖西学院 数理系,33,二、二项概率,问题：在n重伯努利试验中，若事件A在每次试验中出现的概率都是p，求在n次试验中恰出现k次A的概率.,分析：若指定某k次出现A，则另外n-k次出现 .,由独立性知，该事件的概率为,再由组
12、合数知识知，在n次试验中恰出现k次A的概率为,该公式与二项式定理的一般形式相同，故称之为二项概率.,2019/10/18,皖西学院 数理系,34,补充说明,应用二项概率时应注意：,1、涉及的试验是n重伯努利试验；,2、所求的事件是只知次数，不知位置；,3、二项概率在实际中的应用非常广泛；,4、当n较大时，二项概率的计算比较困难.,2019/10/18,皖西学院 数理系,35,例1 从次品率p=0.2的一批产品中，有放回地抽取5次，每次取1件.分别求5件中恰有3件次品和至多3件次品的概率.,解：记k抽取的5件中的次品数,2019/10/18,皖西学院 数理系,36,例2 设有1000个人购买了某项人身意外保险，每年支付投保金额300元.若在一年内发生意外，可获得的平均赔付金额为10000元.根据资料统计，该类投保人在一年内发生意外的比例为1求： 1、保险公司能够获利的概率； 2、保险公司每年获利不少于10万元的概率.,分析：保险公司获利的多少与发生意外的投保人数有关，而所有1000人发生意外的概率是相同的，且他们是否发生意外是相互独立的.因此，可以利用二项概率来解决这个问题.,2019/10/18,皖西学院 数理系,37,解：记k出现意外的投保人数；A获利； B获利不少于10万元.,2019/10/18,皖西学院 数理系,38,课后作业,
