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1、第三章 能量原理（习题解答）3-1 写出下列弹性元件的应变能和余应变能的表达式。（a）等轴力杆；（b）弯曲梁；（c）纯剪矩形板。解：（a）等轴力杆应变能余应变能其中为杆的长度，为杆的截面积，为杆的变形量，为材料的弹性模量。（b）弯曲梁应变能余应变能（c）纯剪矩形板应变能余应变能3-2 求图3-2所示桁架的应变能及应变余能，应力应变之间的关系式为（a） （b） 解：取节点2进行受力分析，如图3-2a所示。根据平衡条件，有 （1） （2）（a） 时 （3） （4） （5）联立（1）、（2）、（3）、（4），得到桁架的应变能为联立（1）、（2）、（3）、（5），得到桁架的余应变能为（b） 时 （6）
2、联立（1）、（2）、（4）、（6），得到桁架的应变能为联立（1）、（2）、（5）、（6），得到桁架的应变能为3-3 一种假想的材料遵循如下二维的应力应变规律其中E、G和是材料常数。导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度。解：应变能密度 余应变能密度 总应变能密度而所以应变能密度为3-4 试用虚位移原理或最小位能原理确定题3-4图所示平面桁架的节点o的位置和各杆内力。各杆材料相同，弹性常数为E。，各杆截面积，。解：设o点的位移为、，则各杆的变形量如下：o-1杆：o-2杆：o-3杆：系统位能令，则，从而：解得由，得 3-5 试用最小位能原理导出承受均布载荷的弯曲等截面梁（图3-5）的平衡方程式。
3、解：由教科书例3-2知悬臂梁的边界条件为：在处，在处，剪力，弯矩又知（直法线假设）在处，弯矩所以，当时，又知所以在处，剪力所以，当时，由以上，如果则有受均布载荷悬臂梁的平衡方程为03-6 试用最小余能原理求解图3-6所示圆框的弯矩表达式，并给出弯矩图。圆框的截面弯矩刚度为EJ、。 解： 根据圆框的对称性可知，在图3-6a的受力分析图中，只有轴力和弯矩，而无剪力。取右半部分的一段进行受力分析如图3-6a所示。根据平衡条件，可得到弯矩表达式余应变能外力余能故根据最小余能原理 （1） （2）联立（1）、（2）解得则圆框截面的弯矩为3-7 试用瑞利李兹法确定图3-7所示梁的点处横向挠度。解：梁两端简支
4、，其位移边界条件为， 选取正弦函数为基函数，取前两项，则梁的应变能为梁的外力势能梁的总位能由最小位能原理 因此当时 3-8 沿直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，只受重力作用，如图3-8所示。设，试取位移分量的表达式为用瑞利李兹法或伽辽金法求解。解：运用伽辽金法求解。本题中的四边形薄板四边固支，因此是一个平面应力问题。其基本方程为 （1）当只取项和项时，位移分量的表达式为 （2）因为，所以（1）式可简化为 （3）将，及（2）式代入（3）式，得即简化为由此解得代入位移表达式，得由物理方程，得3-9 用李兹法求解受均布载荷作用双简支梁的最大挠度和最大弯矩，挠度函数选下列两种形式，比较其计算结果。（a）（b）解：双简支梁两端的位移边界条件是在处，弯矩的表达式为（a）时梁的总位能由最小位能原理有所以挠度函数的表达式最大挠度最大弯矩（b）时梁的总位能由最小位能原理有所以挠度函数的表达式最大挠度最大弯矩 3-10 用李兹法求解受均布载荷悬臂梁的挠度，挠度函数选下列各种形式，并比较两种计算所得的最大挠度。（a）（b）解：悬臂梁的边界条件是在x=0处，（a）时梁的总位能由最小位能原理有 （1） （2）联立（1）、（2）解得所以挠度函数的表达式最大挠度（b）时梁的总位能根据最小余能原理有所以挠度函数的表达式最大挠度
