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1、激光原理与应用,本章主要内容：,1. 光学谐振腔的衍射理论 2. 对称共焦腔内外的光场分布 3. 高斯光束传播特性 4. 稳定球面腔的光束传播特性 5. 激光器的输出功率 6. 激光器的线宽极限 7. 激光光束质量的品质因子M2,3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式,1.惠更斯菲涅耳原理,图3-1 惠更斯-菲涅耳原理,菲涅耳引入了干涉的概念，补充了惠更斯原理，认为子波源所发出的波应该是相干的，空间光场是各子波干涉叠加的结果。,为描述波的传播过程惠更斯提出了关于子波的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。,3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
2、,2. 菲涅尔基尔霍夫衍射公式,设波阵面上任一源点 的光场复振幅为 ，则空间任一观察点P的光场复振幅 由下列积分式计算：,图3-1 惠更斯-菲涅耳原理,式中 为源点 与观察点 之间的距离； 为源点 处的波面法线 与 的夹角； 为光波矢的大小， 为光波长； 为源点 处的面元。,基尔霍夫进一步用格林函数的方法求解了波动方程，于是得到了惠更斯菲涅耳原理的数学表达式。,3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程,1. 自再现模概念,图3-2 镜面上场分布的计算示意图,实验和数值模拟都可证明，当光波在光学谐振腔内多次传播后，光场分布在腔内往返传播一次后能够“再现”出来，只是强度发生变化。,3.1.2 光学
3、谐振腔的自再现模积分方程,2. 自再现模积分方程,图3-2 镜面上场分布的计算示意图,图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面 和 上分别建立了坐标轴两两相互平行的坐标 和 。利用上式由镜面 上的光场分布可以计算出镜 上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。,假设 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布， 表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则 与 之间应满足如下的迭代关系：,图3-2 镜面上场分布的计算示意图,考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外， 应能够将 再现出来，两者之间应有关系：,综合上两式可得：,对
4、于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于反射镜的线度a，而a又远大于光波长 。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分方程：,其中 ，称为积分方程的核。,umn 和mn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。,umn代表了自再现模的光场分布，mn代表了光场分布的强度变化和相位移动情况。,3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程,3. 积分方程解的物理意义,本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通
5、常叫做“横模”，m、n称为横模序数。,(1)本征函数 和激光横模,图3-3 横模光斑示意图,3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程,3. 积分方程解的物理意义,(2)本征值 和单程衍射损耗、单程相移,本征值 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗，包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用 表示：,本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。,自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为：,自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移，它们的关系为：,3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模,1. 谐振条件、驻波和激光纵模
6、,(1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件,(2) 每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。,(3),图(3-4) 腔中允许的纵模数,3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模,2. 纵模频率间隔,腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔：,图(3-4) 腔中允许的纵模数,3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模,10cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数量？,30cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数量？,图(3-4) 腔中允许的纵模数,激光谐振腔的谐振频率公式：,纵模频率间隔公式：,应用举例： He-Ne激光器荧光谱的中心
7、频率04.74l014Hz，荧光线宽F1.5l09 Hz ，设=1，求：,小结：,本征函数 和本征值 所代表的含义：,激光谐振腔的谐振频率公式：,（1）本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。,（2）本征值 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗，幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。,3.2.1 共焦腔镜面上的场分布,1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解,(1)设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为，并把x，y坐标的原点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有本征函数近似解析解
8、：,本征值近似解：,Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：,3.2.1 共焦腔镜面上的场分布,2. 镜面上自再现模场的特征,(1)振幅分布:令 ,则有,图(3-5)画出了m = 0，1，2和n = 0，1的 的变化曲线，同时还画出了相应的光振动的镜面光强分布：,图(3-5) 的变化曲线及相应的光强分布,基横模TEM00场分布为高斯线型：,基横模TEM00光斑有效截面半径：,(2)位相分布：本征函数 为实函数，镜面本身构成光场的一个等相位面。,(3)单程衍射损耗：一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑单程衍射损耗 （4.1节） 。,(4)单程相移与谐振频率：,图(3-6
9、) 方形镜共焦腔的振荡频谱,3.2.1 共焦腔镜面上的场分布,图3-7 计算腔内外光场分布的示意图,1.腔内的光场可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得。腔外的光场则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率t。,3.2.2 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布,2.如图3-7所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：,其中 为无量纲参量。,其中 。,小结：,基横模（TEM00）的光强分布是高斯线型。,3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布,1. 由3-29式可知，基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：,2. 同样由3-2
10、9式可知，当场振幅为轴上( )的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时，所对应的横向距离 即z 处截面内基模的有效截面半径为；,于是在共焦腔中心(z0)的截面内的光斑有极小值，称为高斯光束的束腰半径：,3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布,图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化,3. 于是可得到基模光斑半径 随 z 的规律变化，如图(3-8)。,3.3.2 高斯光束的相位分布,忽略由于z变化引起的 的微小变化，用 代替 ，则在腔轴附近有：,1. 由3-29式可知， 随坐标而变化：,且与腔的轴线相交于 点的等相位面的方程为：,于是有：,3.3.2 高斯光束的相位分布,2. 令 ，则
11、有：,上式表明等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面。,A,B,R0,3.3.2 高斯光束的相位分布,当z00时，z-z00；而当z00时, z-z00,3. 由式子 可知：,当,当,共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面,图(3-9) 共焦腔中等位相面的分布,在等相位面插入相应曲率半径的反射镜，将使入射光沿原方向返回,1. 远场发散角 (全角) 定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角（参见图(3-8)）：,2.由波动光学知道，在单色平行光照明下，一个半径为 r 的圆孔夫琅和费衍射角(主极大至第一极小值之间的夹角) 。与上式相比较可知高斯光束半角远场发散角在数值上等于以腰斑 为半径的光束的衍
12、射角，即它已达到了衍射极限。,3.3.3 高斯光束的远场发散角,图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化,1. 亮度B定义为：单位面积的发光面在其法线方向上单位立体角范围内输出去的辐射功率。,2.一般的激光器是向着数量级约为106 sr的立体角范围内输出激光光束的。而普通光源发光(如电灯光)是朝向空间各个可能的方向的，它的发光立体角为4sr。相比之下，普通光源的发光立体角是激光的约百万倍。,3.3.4 高斯光束的高亮度,其中：,小结：,高斯光束的束腰半径表达式： 有效截面半径表达式： 远场发散角的表达式 ：,1. 假设双凹腔两镜面M1与M2的曲率半径分别为R1和R2，腔长为L，而所要求
13、的等价共焦腔的共焦参数为f。以等价共焦腔中点为z坐标的原点，M1、M2两镜的z坐标为z1和z2，如图(3-10)所示，则有：,图(3-10) 球面腔的等价共焦腔,2. 如果R1、R2、L满足 ，不难证明z10、z20、f0，这说明给定稳定球面腔可唯一确定一个等价共焦腔。,任意一个满足稳定性条件的球面腔唯一地与一个共焦腔等价。,3.5.1 均匀增宽型介质激光器的输出功率,(1) 腔内最小的光强：I+(0),(2) 腔内最大光强：I-(2L)=r2I+(0)exp2L(G-a内),(3) 输出光强：Iout=t1I-(2L)=t1r2I+(0)exp2L(G-a内),(4) 镜面损耗：Ih=a1I
14、-(2L)=a1r2I+(0)exp2L(G-a内),剩余部分：I+(0)=r1I-(2L)=r1r2I+(0)exp2L(G-a内),图(3-11) 谐振腔内光强,2. 如图（3-11）稳定出光时激光器内诸参数为：,(5) 最大最小光强、输出光强和镜面损耗之间关系：,由能量守恒定律可得：I-(2L)-I+(0)=Iout+Ih=(a1+t1)I-(2L),1. 均匀增宽型介质中通常只有一个纵模，即距离增益中心频率0最近的那个纵模频率q，于是有：,3.5.1 均匀增宽型介质激光器的输出功率,图(3-11) 谐振腔内光强,(6) 平均行波光强,对于腔内任何一处z都有两束传播方向相反的行波I+(z
15、)和I-(2L-z)引起粒子数反转分布值发生饱和，增益系数也发生饱和，近似用平均光强2I代替腔内光强 I+(z)+ I-(2L-z)，用,作为腔内的平均增益系数，则腔内的平均行波光强为：,2. 如图（3-11）稳定出光时激光器内诸参数为：,3.5.1 均匀增宽型介质激光器的输出功率,2. 激光器的输出功率,理想的情况 ，将全反射镜M2上的镜面损耗都折合到M1上，对M2有：,对M1有：,于是，激光器的总损耗为：,如果 很小，将 用级数展开取一级近似，可得：,则激光器内行波的平均光强I可以化为：,激光器输出光强也可以表示为：,若激光器的平均截面为A，则其输出功率为：,3.5.1 均匀增宽型介质激光器的输出功率,3. 输出功率与诸参量之间的关系,(1) P与Is的关系：两者成正比， 饱和光强直接影响光功率,(2) P与A的关系：两者成正比，高阶横模输的出功率较大,(3) P与t1和a1的关系：实际中总是希望光波往返一次获得的能量都用于输出：,t1过小虽然使G阈降低光强增强，但镜面损耗a1I-(2L)也将增大。,氦氖激光器（632.8nm谱线）：Is0.3W/mm2 氩离子激光器（514.5nm谱线）： Is7W/mm2
