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1、,第四章,气体动理论,由于热力学方法的局限性，我们对平衡态下系统内部的情况不了解，从而对温度和理想 气体的理解也很肤浅，对气体的压强更是一无所知，因此，为了全面了解平衡态下的基本热学信息，我们必须用分子物理学的方法从微观本质上加以认识。,气体动理论是统计物理学的基础； 气体动理论是从微观的观点来研究气体的热学性质； 解释气体的温度、压强、热容、内能等的微观本质； 建立统计的概念。,4.1 分子动理论的基本观点 4.2 分子力 4.3 理想气体的压强 4.4 温度的微观实质 4.5 气体分子按速率分布的实验 及速率分布的数学表述 4.6 麦克斯韦速率分布律 4.7* 麦克斯韦速度分布 4.8 玻
2、尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 4.9 能量按自由度均分定理 4.10 理想气体的内能和摩尔热容 4.11 气体动理论与热力学定律,第四章 气体动理论,4-1 分子动理论的基本观点,一、物质微观结构的物理图象 1、物质是由大量的微观粒子原子或分子组成的； 2、分子在作永不停息的无规则运动； 3、分子之间有相互作用力。 综上所述，一切宏观物体（不论它是气体、液体、还是固体）都是由大量的原子或分子组成的；所有分子都在不停的、无规则运动中；分子之间有相互作用力。这就是关于物质微观结构的三个基本观点。,二、统计规律性,伽尔顿板实验,对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的
3、方法。,小球在伽尔顿板中的分布规律 .,1、统计规律与涨落现象,从入口投入小球,与钉碰撞,落入狭槽,为清楚起见 , 从正面来观察。,( 偶然 ),隔板,铁钉,统计规律和方法 伽尔顿板,大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律。,再投入小球：,经一定段时间后 , 大量小球落入狭槽。,分布情况：,中间多，两边少。,重复几次 ，结果相似。,单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。,统计规律和方法 伽尔顿板,小球数按空间 位置 分布曲线,若板中各钉子是等距离配置的，则其分布曲线是对称的，如下图所示。,重复实验N次, （ N ），其分布曲线都相同。 由此可见，虽然各小球在与任一钉子碰撞后向左还是
4、向右运动都是随机的，由很多偶然因素决定，但最终大量小球的总体在各槽内的分布却有一定的分布规律，这种规律由统计相关性所决定。,统计规律性是支配大量个别偶然事件的整体行为的规律性。,特点： 1、只对大量个别偶然事件的总体起作用； 2、个别偶然事件越多越明显； 3、存在着涨落现象。 *涨落现象：就是实际观测量与按统计规律求出的平均量之间出现偏离的现象。,2、随机事件的概率和统计平均值,随机现象：在某种条件下某一事件可能发生也可能不发生的现象。 随机事件：随机现象可能出现的每一种结果。 随机事件的概率：该事件出现的次数 与实验总次数 之比当 的极限值。即：,概率相加法则： 概率相乘法则： 概率的归一性
5、：,（1）概率的运算的基本法则与归一性,（3）平均值及其运算法则 （a）平均值 统计分布的最直接的应用是求平均值。 以求平均年龄为例，N 个人的年龄平均值就是 N 个人的年龄之和除以总人数 N。 求年龄之和可以将人按年龄分组，设 为随机变量（例如年龄），其中出现（年龄）值 的次（或人）数为 ， 值的次（或人）数为 ，则该随机变量（年龄）的平均值为,因为 是出现 值的百分比，当N 时该百分比就是出现 值的概率 ，故 这两个式的不同是，上式是通过随机变量的和（即求和式）来求平均值的，而下式是利用概率分布来求平均值的。,（b）平均值运算法则 若f(u)和g(u)是同一随机变量的两个函数，则 若f(u
6、)是随机变量u的函数，而c与该随机变量无关，则 若两随机变量u、v彼此独立， f(u)与g(v)分别是这两随机变量的函数，则,4-2 分子力,一、分子力的性质 分子力从本质上来说就是静电力。 1、极性分子：静电力（万有引力和磁力很小） 2、非极性分子：每一瞬时都是极化的静电力,二、分子力的半经验公式及其图线 1、分子力的半经验公式： 引力： 斥力：,2、图线 （fr图线）,三、分子间的势能曲线（Epr图线） 1、分子间的势能：,2、Epr图线及分析,用势能曲线说明两个分子的相互碰撞过程,四、三种典型模型的建立 1、无引力的弹性质点模型,2、无引力的弹性刚球模型,3、有引力的刚球模型苏则朗模型,
7、一、理想气体微观模型,1、分子本身线度比起分子间距小得多而可忽略不计；,Loschmidt常数：,标准状态下分子间平均距离:,4-3 理想气体的压强,氮分子半径,2、除碰撞一瞬间外，分子间互作用力可忽略不计； 分子在两次碰撞之间作自由的匀速直线运动；,3、处于平衡态的理想气体，分子之间及分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞。,理想气体是大量不停地、无规则地运动着的、无引力（假定的第二条）的弹性（第三条）质点（第一条）的集合。,理想气体的微观模型（Epr图） 无引力的弹性质点,二、气体压强本质的定性解释,气体压强是一个宏观量，从微观上讲是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。,气体压强的微观解释,在容器
8、内作无规则热运动的气体分子，不断与器壁相碰，就某一气体分子而言，他碰撞器壁是断续的，但大量分子频繁碰撞器壁的综合作用，在宏观上就表现为对器壁施加持续衡定的压力，其大小等于单位时间内大量气体分子给与器壁的平均冲量。 举例：下雨天打伞，手握伞把感受到雨水的压力。,三、理想气体的压强公式,1、推到压强公式的统计假设（平衡态）： （1） 沿各方向运动的分子数相等； （2） 分子三个速度分量的各种统计平均值相等； （3） 分子碰撞器壁前动量不变； （4） 分子碰撞器壁时入射角等于反射角。,2、理想气体压强公式的推导,设 边长分别为 x、y 及 z 的长方体中有 N 个全同的质量为 m 的气体分子，计算
9、壁面所受压强 .,单个分子对器壁碰撞特性 : 偶然性 、不连续性.,大量分子对器壁碰撞的总效果 ： 恒定的、持续的力的作用 .,热动平衡的统计规律 （ 平衡态 ）,1）分子按位置的分布是均匀的,2）分子各方向运动概率均等,分子运动速度,各方向运动概率均等,方向速度平方的平均值,各方向运动概率均等,单个分子遵循力学规律,x方向动量变化,分子施于器壁的冲量,两次碰撞间隔时间,单位时间碰撞次数,单个分子单位时间施于器壁的冲量,单个分子单位时间施于器壁的冲量,大量分子总效应,单位时间 N 个粒子对器壁总冲量,器壁 所受平均冲力,器壁 所受平均冲力,气体压强,统计规律,分子平均平动动能,分子平均平动动能
10、,压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果 .,玻尔兹曼常数,分子平均平动动能,4.4 温度的微观解释 一、温度公式,3）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等。,热运动与宏观运动的区别：温度所反映的是分子的无规则运动，它和物体的整体运动无关，物体的整体运动是其中所有分子的一种有规则运动的表现.,1） 温度是分子平均平动动能的量度 （反映热运动的剧烈程度）.,2）温度是大量分子的集体表现，个别分子无意义.,二、气体动理论基本公式的验证 1、阿伏伽德罗定律,标准状态下,2、道耳顿分压定律 设有几种不同的气体，混合地贮在同一容器中，它们的温度相同。因此,（A）温度相同、压强相同。 （B）温
11、度、压强都不同。 （C）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强. （D）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强.,解,一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们,例 理想气体体积为 V ，压强为 p ，温度为 T ,一个分子 的质量为 m ，k 为玻尔兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：,（A） （B） （C） （D）,解,4.5 气体分子按速率分布的实验测定及速率分布的数学表述,小孔充分小，改变，测D上的沉积厚度，就可测气体速率分布,二、实验的一般结果,速率分布的一般特点： 1、分子数在总分子数中所占的比率(N/N)与速率(v)及所取速率间
12、隔(v)的大小有关； 2、速率特别大或特别小的分子数的比率都比较小； 3、在某一速率间隔中的分子数的比率最大； 4、改变气体的温度或气体的种类再作实验时发现，以上分布情况随气体温度及气体种类的不同而有差异，但都具有上述特点。,三、速率分布函数和分布曲线,：分子总数,为速率在 区间的分子数.,表示速率在 区间的分子数占总数的百分比 .,分布函数,表示速率在 区间的分子数占总分子数的百分比 .,归一化条件,速率位于 内分子数,速率位于 区间的分子数,速率位于 区间的分子数占总数的百分比,4.6麦克斯韦速率分布律,一、麦克斯韦速率分布律 1、定义：当气体处于平衡态时，分布在任一速率间隔vv+dv内的
13、分子数的比率为 这个结论，称为麦克斯韦速率分布律。 由此可得出分布函数的具体形式为：,2、由麦克斯韦速率分布函数的可以看出以下几点：,（3）分布函数f(v)存在一个极大值，即称为最慨然速率。,二、三种统计速率,1、最概然速率,根据分布函数求得,由于vp与气体温度T和气体分子质量m有关，故分布曲线随温度和气体种类的不同而不同。,2、平均速率,3、方均根速率,三种速率的比较,三种速率统计值有不同的应用：,在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。,麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念 下面哪种表述正确？ （A） 是
14、气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值. （C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值. （D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.,例 计算在 时，氢气和氧气分子的方均根速率 .,氢气分子,氧气分子,1）,2）,例 已知分子数 ，分子质量 ，分布函数 求 1） 速率在 间的分子数； 2）速率 在 间所有分子动能之和 .,速率在 间的分子数,例 如图示两条 曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .,说明下列各量的物理意义：,？,思考题,( n为分子数密度),解：, 分布在速率 v 附近 v v + dv
15、 速率区间内的分子数占总分子数的比率。, 分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数。, 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v v + dv 速率区间内的分子数。, 分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。, 分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。, 分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）, v2 的平均值。,有N 个粒子，其速率分布函数为,(1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数,解,例1,求,(1) 由归一化条件得,(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子与总分子数的比率，所以,因此， vv0 的分子数为 ( 2N/3 ),同理 vv0 的分子数为 ( N/3 ),的分子数与总分子数的比率为,根据麦克斯韦速率分布律，试求速率 倒数的平均值,根据平均值的定义，速率倒数的平均值为,解,例2,根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率vpv
