电路学习ch3_2(固有频率)

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1、1,电容充电方程,状态方程,对于齐次方程,对于齐次方程，令,代入非齐次方程,2,初始条件,求得：,最后得到,3,3.3 低阶网络的分析方法,一 方程的解,齐次解 yh(t),特征方程 : b2s2+b1s +b0 = 0,一阶方程 : yh(t) = Kest ( s= - b0 /b1) 二阶方程 : yh(t) = K1es1t +K2es2t , Im s1= Im s0=0, s1 s0 yh(t) = (K1+ K2 t) est , Im s=0, s1 = s0 = s , yh(t) = (K1sin t + K2cos t) et , s1,2 = j yh(t) = K1s

2、in t + K2cos t, s1,2 = j,4,3.3 低阶网络的分析方法,一 方程的解（二阶线性非齐次微分方程）,求齐次方程的通解y,线性齐次微分方程通解的一般形式 齐次方程的特征方程 根为,为与时间无关的常数,5,当 ，通解为 当 ，通解为,2 求特解y,特解y与激励x具有相同的函数形式，当x为直流激励时，y为一常数,4 利用初始条件求系数,3 求解的一般形式,6,3.3 低阶网络的分析方法,二 解的稳态分量和暂态分量,uC = (U0 US)et/ + US,uC = ( 5 + 4t) e-t + 10 iL = (2+8t) e-t,齐次解 暂态分量,特解 稳态分量,齐次解 暂

3、态响应,特解 稳态响应,7,特征方程和通解,根,9,3.3 低阶网络的分析方法,二 解的瞬态和稳态分量,uC = (U0 US)et/ + US,齐次解 暂态响应(TSR),特解 稳态响应(SSR),由电路决定的 (齐次方程，特征根 ） 又称：固有响应 (natural response NR),电路特征方程的特征根 电路的固有频率,TSR: transient state response SSR: steady state response,特征方程的根s完全由电路元件参数所决定，而与电路的激励和初始状态无关，因此电路特征方程的根反映了电路的固有特性。由于它的倒数具有时间的量纲，所以将s称

4、为电路的固有频率。,固有频率和固有响应,电容的固有响应,电感的固有响应,11,3.3 低阶网络的分析方法,1 一阶网络的固有频率与固有响应,固有响应: uCNR = Kest iLNR = Kest,RC串联电路,RL串联电路,R含源网络的等效内阻,12,3.3 低阶网络的分析方法,特征根:,特征根:,电容电路中，令: =RC 为时间常数 量纲：RC (时间，T 秒 s) 电感电路中，令: =L/R=GL 为时间常数 量纲：L/R (时间，T 秒 s) s=-1/ 具有频率量纲，称为电路的固有频率,13,3.3 低阶网络的分析方法,电路的固有频率 1 一阶网络的固有频率,固有响应 uCNR =

5、 Kest , iLNR = Kest 时间常数 、固有频率 s=-1/ 决定了固有响应 y 衰减的快慢 y=Kest,14,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 1 一阶网络的固有频率,固有响应 uCNR = Kest , iLNR = Kest 时间常数 、固有频率 s=-1/ 决定了固有响应 y 衰减的快慢 y=Kest,15,3.3 低阶网络的分析方法,电容电路: uC = US + Kest (s=-1/) 若 uC (0) =0 则 K= US ， uC = (1- e-t/ ) US (t 0),t 0 2 3 4 5 ,uC 0 0.63uS 0.87uS 0.95u

6、S 0.98uS 0.99uS uS,当t=(35) 时, uC已达稳态,16,3.3 低阶网络的分析方法,例3-5,已知 uC (0) =2V, 求uC (t) (t 0),i1=2, uOC=4i1+2i1=12 V R0:,解:(1) 求左网络的戴维宁等效 uOC:,设 i1=1, 则 u=4+4+2=10 V R0=10, =1, 则 uC = 12 +Ke-t 代入初始值: uC (0) = 2 = 12 + K K= -10 因此: uC = 12 -10e-t V (t 0),17,3.3 低阶网络的分析方法,二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应,微分方程：,特

7、征方程： s2 + 2s + 02 = 0,令,衰减因子,谐振频率,则齐次方程,齐次方程：,18,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应,特征方程,特征根,齐次方程,特征根即电路的固有频率，它将确定固有响应的形式。,固有频率 s1 和 s2 可以有四种情况,(1) 当 0时，s1, s2 为不相等的负实数；,(2) 当=0时，s1, s2 为相等的负实数；,(3) 当0 0时，s1, s2 为共轭复数，实部为负数;,(4) 当= 0时，s1, s2 为共轭纯虚数。,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,衰减振荡,无阻尼,等幅振荡,微分方程

8、,衰减常数和谐振频率,特征方程,特征方程的根,求系数,通解,解,例,(1) 当 0时，s1, s2 为不相等的负实数；,过阻尼,(2) 当=0时，s1, s2 为相等的负实数；,临界过阻尼,(3) 当0 0时，s1, s2 为共轭复数，实部为负数;,阻尼振荡,(4) 当= 0时，s1, s2 为共轭纯虚数。,无阻尼振荡,24,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (过阻尼),特征根,(1) 当 0即 时:,固有响应：,齐次方程,若： =2.5, 0 =2 , uC (0) =1, uC(0) = 0 , C=1F 则： s1

9、 = -1, s2 = -4,25,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (过阻尼),对iL 求导可得 tm 值,从物理意义上讲： 从初始时刻开始，电容通过电感和电阻放电，其中一部分电能转换为磁能被电感储存，另一部分被电阻消耗； 由于串联回路中电阻更大(R2 4L/C)，所以能量消耗比能量转换储存更迅速；到 t=tm 时，电流达到最大值，以后磁能不再增加，而是随着电流的衰减而逐渐释放，连同电能一起被电阻消耗掉。因此电容电压单调衰减，形成非振荡放电过程。,26,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有

10、频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (临界阻尼),特征根,固有响应：,齐次方程,若： =6, 0 =6 , uC (0) =1, uC(0) = 0 , C=1F 则： s1 = s2 = -6,(2) 当0即 时: s1,2=,27,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (临界阻尼),特征根,固有响应：,齐次方程,从上两种情况：电路固有响应仍然是非振荡性的，但如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 4L/C，则响应将为振荡性。因此，符合条件R2 = 4L/C时的响应处于临近振荡状态，称为临界阻尼(critically da

11、mped) 。,(2) 当0即 时: s1,2=,28,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (欠阻尼),特征根,固有响应：,齐次方程,若： =4, 02 =200 , uC (0) =1, uC(0) = 0, C=1F 则： s1 = -4+j13.56, s2 = -4-j13.56,(3) 当0即 时:,其中,为振荡角频率,29,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (欠阻尼),可见： uC(t) 是衰减振荡性的，振幅Ke t 随时间作指数衰减。

12、00 (0R2 4L/C)、能引起衰减振荡的情况称为欠阻尼(underdamped) 。,将上式改写为,30,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (欠阻尼),衰减因子： = L/2R 称为衰减因子， 越大，衰减振荡的振幅衰减得就越快，反之则越慢。 振荡角频率： d 称为振荡角频率， d 越大，衰减振荡的速度就越快，周期T越小，反之则速度越慢、周期T越大。 包络线(envelope)： 按 Ke t 变化的曲线， 将振荡信号包裹在中间，其衰减速度取决于 。,31,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的

13、固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (欠阻尼),当振幅从K从衰减到0.01K时，可认为振荡终止 设经历了N个振荡周期，时间为NT ： Ke NT 0.001K NT= ln(100)=4.6 振荡周期 N=4.6/(T)= 4.6 d /(2 ),32,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (无阻尼),特征根,固有响应： uC=K1cos 0t + K2sin 0t,齐次方程,若： =0, 02 =8 , uC (0) =1, uC(0) = 0, C=1F 则： s1 = j2.83, s2 = -j2.83,(

14、4) 当=0 即 R=0 时: s1,2= j 0,33,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率 RLC串联电路的固有频率和固有响应 (无阻尼),固有响应： uC=K1cos 0t + K2sin 0t,= 0，包络线Ke t 变成 K ，因此振荡信号就变成幅度恒定 的等幅振荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。,特点： 瞬时储能 w(t) = 初始储能 w(0),34,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率(例),已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 0；求iL(t)，t0。,解：,电路处于临界阻尼状态。,iL(t) = K1e 2 t + K2te 2 t A，t0,iL(0) = K1 = 0,由上两式可得 K1 = 0， K2 = 4,因此 iL(t) = 4te 2 t A , t0,35,3.3 低阶网络的分析方法,三 电路的固有频率 2 二阶网络的固有频率(例),已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 0；求iL(t)，t0。,解：,电路处于临界阻尼状态。,iL(t) = 4te 2 t A , t0,顶点计算：令diL/dt = 0，可得 4te 2 t(1-2t)=0，即t=0.5S，代入原式可得