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1、第26讲 几何作图,第六章 图形的性质(二),1尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2基本作图 (1)作一条线段等于已知线段; (2)作一个角等于已知角; (3)作角的平分线; (4)作线段的垂直平分线; (5)过一点作已知直线的垂线 3利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形; (2)已知两边及其夹角作三角形; (3)已知两角及其夹边作三角形; (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形; (5)已知一直角边和斜边作直角三角形,4与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆); (2)作三角形的内切圆; (3)作圆的内接正方形和正六边形 5有关中心对称或
2、轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型,1两种画图方法 对于一个既不属于尺规基本作图,又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题,可以分析图形中是否有属于上述情况的三角形,先把它作出来,再发展成整个图形,这种思考方法,称为三角形奠基法;也可以按求作图形的要求,一步一步地直接画出图形,这时,关键的点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定,称为交会法事实上,往往把三角形奠基法和交会法结合使用 2三点注意 (1)一般的几何作图,初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤,完成作图时,需要注意作图痕迹的保留,作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论 (2)根据已知条件
3、作几何图形时,可采用逆向思维,假设已作出图形,再寻找图形的性质,然后作图或设计方案 (3)实际问题要理解题意,将实际问题转化为数学问题,3六个步骤 尺规作图的基本步骤: (1)已知:写出已知的线段和角,画出图形; (2)求作:求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化; (3)作法:应用“五种基本作图”,叙述时不需重述基本作图的过程,但图中必须保留基本作图的痕迹; (4)证明:为了验证所作图形的正确性,把图作出后,必须再根据已知的定义、公理、定理等,结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件; (5)讨论:研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形;在哪些情况下,问题有一个解、多个解或者没有解;
4、(6)结论:对所作图形下结论,1(2014葫芦岛)观察图中尺规作图痕迹,下列结论错误的是( ) APQ为APB的平分线 BPAPB C点A,B到PQ的距离不相等 DAPQBPQ,C,2(2015衢州)数学课上,老师让学生尺规作图画RtABC,使其斜边ABc,一条直角边BCa,小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断ACB是直角的依据是( ) A勾股定理 B直径所对的圆周角是直角 C勾股定理的逆定理 D90的圆周角所对的弦是直径,B,3(2015嘉兴)数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQl于点Q.”分别作出了下列四个图形其中作法错误的
5、是( ),A,A,B,C,D,4(2015深圳)如图,已知ABC,ABBC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PAPCBC,则下列选项正确的是( ),D,A,B,C,D,6(2014锦州)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求作图 (1)利用尺规作图在AC边上找一点D,使点D到AB,BC的距离相等(不写作法,保留作图痕迹) (2)在网格中,ABC的下方,直接画出EBC,使EBC与ABC全等,解:(1)如图,作ABC的平分线,(2)如图,画三角形,【例1】 (2015杭州)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度
6、为大于1且小于5的整数个单位长度 (1)用记号(a,b,c)(abc)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形请列举出所有满足条件的三角形 (2)用直尺和圆规作出三边满足abc的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹),解:(1)共9种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4) (2)由(1)可知,只有(2,3,4),即a2,b3,c4时满足abc.如答图的ABC即为满足条件的三角形,【点评】 (1)作三角形包括:已知三角形的两边及其夹
7、角,求作三角形;已知三角形的两角及其夹边,求作三角形;已知三角形的三边,求作三角形; (2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点;而求作直角三角形时,一般先作出直角,然后根据条件作出所求的图形,对应训练 1(营口模拟)如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3),解:满足条件的所有图形如图所示:,应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图,【例2】 (2015庆阳)如图,在ABC中,C60,A40. (1)用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D
8、,交AB于点E;(保留作图痕迹,不要求写作法和证明) (2)求证:BD平分CBA.,【点评】 本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和基本作图,解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,对应训练 2(2015济宁)如图,在ABC中,ABAC,DAC是ABC的一个外角 实验与操作: 根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法) (1)作DAC的平分线AM; (2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF. 猜想并证明: 判断四边形AECF的形状并加以证明,通过画图确定圆心,【点评】 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”,在AB上另找一点C,分别画弦AC,BC的垂直平分线,交点即为圆心O.,试题 尺规作图,已知顶角和底边上的高,求作等腰三角形 已知:,线段a. 求作:ABC,使ABAC,BAC,ADBC于D,且ADa.,剖析 上述画法考虑AD平分BAC,等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合,但是画法(3)没有注意到要使ADBC,也难以使ABAC.,正解 如图 (1)作EAF (2)作AG平分EAF,并在AG上截取ADa (3)过D作MNAG,MN与AE,AF分别交于B,C.则ABC即为所求作的等腰三角形,