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1、初三数学讲义存在性问题 教学过程：一、教学衔接（课前环节） 1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见； 2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或
2、计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。一、函数中的存在性问题（相似）1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D. （1）写出的值； （2）判断ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使AOMABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.二、函数中的存在性问题（面积）2. 如图，抛物线与双曲线相交于点A，B已知点B的坐标为（2，2），点A在第一象限内
3、，且tanAOX4过点A作直线AC轴，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由三、函数中的存在性问题（四边形）yABCOx3 如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、 B(2，0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断ABC的形状； (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点 为
4、顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。巩固练习，及时反馈1.如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2.如图，第一象限内半径为2的C与轴相切于点A，作直径AD，过点D作C的切线l交轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：=k+3。(1)
5、 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。(2)设C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有AMNABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；(3)是否存在使AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。3已知直角坐标系中有一点A（4，3），点B在x轴上，AOB是等腰三角形(1）求满足条件的所有点B的坐标；(2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐
6、标及相应梯形的面积4、在直角坐标系中，已知点P是反比例函数（0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与轴相切，设切点为A（1）如图1，P运动到与轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由（2）如图2，P运动到与轴相交，设交点为B，C当四边形ABCP是菱形时：求出点A，B，C的坐标在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使MBP的面积是菱形ABCP面积的若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由5如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标
7、；(2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 1、【答案】解：（1）由平移的性质知，的顶点坐标为（，）， 。 （2）由（1）得. 当时， 解之，得。 . 又当时，C点坐标为（0，3）。又抛物线顶点坐标D（1，4），作抛物线的对称轴交轴于点E，DF 轴于点F。易知在RtAED中，AD2=22+42=20，在RtAOC中，AC2=32+32=18， 在RtCFD中，CD2=12+12=2， AC2 CD2AD2。ACD是直角三角形。（3）存在作OMBC交AC于M，点即为所求点。由（2）知，AOC为等腰直
8、角三角形，BAC450，AC。由AOM ABC，得。即。过M点作MGAB于点G，则AG=MG=，OG=AOAG=3。又点M在第三象限，所以M（，）。2、【答案】解：（1）把点B（2，2）的坐标代入得，4。双曲线的解析式为：。设A点的坐标为（m，n）A点在双曲线上，mn4。又tanAOX4，4，即m4n。n21，n1。A点在第一象限，n1，m4。A点的坐标为（1，4）。把A、B点的坐标代入得，解得，1，3。抛物线的解析式为：。（2）AC轴，点C的纵坐标y4，代入得方程，解得14，21（舍去）。C点的坐标为（4，4），且AC5。又ABC的高为6，ABC的面积5615。（3）存在D点使ABD的面积等
9、于ABC的面积。理由如下：过点C作CDAB交抛物线于另一点D，此时ABD的面积等于ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。直线AB相应的一次函数是：，且CDAB，可设直线CD解析式为，把C点的坐标（4，4）代入可得，。直线CD相应的一次函数是：。解方程组，解得，。点D的坐标为（3，18）。3、答案：解 (1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解这个 方程，得a=，b=1，该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1， 点C的坐标为(0，1)。在AOC中，AC=。 在BOC中，BC=。 AB=OA+OB=+2=，AC 2+BC
10、2=+5=AB 2，ABC是直角三角形。 (2) 点D的坐标为(，1)。 (3) 存在。由(1)知，ACBC。yABCOxP j 若以BC为底边，则BC/AP，如图1所示，可求得直线 BC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b， 把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -， 直线AP的解析式为y= -x-。点P既在拋物线上，又在直线AP上，yABCOPx 点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2= -(舍去)。当x=时，y= -，点P(，-)。 k 若以AC为底边，则BP/AC，如图2所示。 可
11、求得直线AC的解析式为y=2x+1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代 入直线BP的解析式，求得b= -4， 直线BP的解析式为y=2x-4。点P既在拋物线 上，又在直线BP上，点P的纵坐标相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。 当x= -时，y= -9，点P的坐标为(-，-9)。 综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。练习1、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，抛物线过A（2，0），B（3，3），O（0，0）可得，解得。抛物线的解析式为。（2）当AE为边时，A、O、D、E为顶点
12、的四边形是平行四边形，DE=AO=2，则D在轴下方不可能，D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（3，3）。当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（1，1）。故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（3，3），C（1，1）。（3）存在，如图：B（3，3），C（1，1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC是直角三角形。假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与BOC相似，设P（，），由题意知0，0，且，若AMPBOC，则。即 +2=3（2+2）得：1=，2=2（舍去）当=时，=，即P（，）。若PMABOC，则，。即：2+2=3（+2）得：1=3，2=2（舍去）当=3时，=15，即P（3，15）故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。2、解：（1）y轴和直线l都是C的切线，OAAD BDAD 。 又 OAOB，AOB=OAD=ADB=90。四边形OADB是矩形。C的半径为2，AD
