《机振012讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机振012讲义（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,A与为由初始条件确定的积分常数, 即位移最大时, 速度为零, 加速度最大但与位移反向.,1-2无阻尼自由振动(p.25),工程中, 很多系统振动过程中的阻尼不产生主要作用或影响很小, 可以忽略阻尼,一.无阻尼自由振动-简谐振动,1.模型,弹簧-质量系统即简谐振动系统,2.微分方程,振动方程和解,可按有阻尼自由振动的同样方法进行,其实, 无阻尼自由振动是有阻尼自由振动的特殊情况,取 c=0, =0,可由上述各式获得,系统振动微分方程为,或,3.方程通解,4.结果分析,简谐振动Simple harmonic vibration,位移为时间的正/余弦函数的运动,对时间求一、二阶导数, 可得振体的速
2、度和加速度,振体速度和加速度的相位比位移相位分别超前了/2rad,和落后了 rad,e.x1-1,3,4,7,初始条件表示的解,设初始条件,得振幅和初相,也可写为,即为两间谐振动的合成简谐振动，是等幅的周期运动。其,固有频率Inherent frequency,表示2 秒内振动次数, 故又称圆频率circular frequency,测量法求解,周期Period和频率Frequency,pt,A,x0,B,B,C,C,D,D,t,t,t,x,x,x,只要测得,中任意两个,由下式求得p,O,l,P,v,N,例1-4 图示悬线长l摆锤重P=mg的单摆(数学摆), 若给以初扰动(初位移或初速度)即在
3、铅垂平面内的铅垂位置附近摆动. 求单摆微小摆动微分方程与周期.,解:,摆锤:,在任意瞬时,偏角,重力的切向分量,-mgsin,微幅,-mg,力图使锤回到静平衡位置,起弹簧作用,此时切向加速度,沿增大的方向,故有,切向运动微分方程由第2牛顿定律并规一化,与,比较知,则单摆微幅振动周期为,mg,例1-5 图示由可绕水平轴O摆动质量m的刚体构成的复摆(物理摆), 对轴的转动惯量为JO,质心C与轴的距离为a. 求复摆微小摆动规律与周期.,解:,摆:,取偏角为坐标, 逆时向为正.,转动微分方程,微幅,振动微分方程,比较,知,微幅振动周期,E (Pa)弹性模量,G (Pa)剪切弹性模量; D(m)簧圈直径
4、;d(m)簧丝直径; n弹簧圈数.,拉伸,扭转,弯曲,二. 弹簧刚度系数,1.振系弹簧不一定是螺旋弹簧, 任何弹性体都可以视为弹簧.,2.弹簧刚度系数:,弹簧单位变形所需的力或力矩.,建方程和求p要先知道.,3.同一弹簧受力不同, 具有不同的刚度系数.,例对于螺旋弹簧, 在分别承受轴向拉伸或压缩、扭转、弯曲时, 刚度系数分别为,设梁横截面转动惯量I, 由材料力学可知,M,一弹簧与几弹簧等效的刚度系数为几弹簧的,两弹簧并联,两弹簧串联,证明：弹簧静变形相同,由平衡有,证明：弹簧的弹性力相同，有,联立可证,并联弹簧等效刚度系数等于各弹簧刚度系数和,串联弹簧等效刚度系数倒数为各弹簧刚度系数倒数和.,
5、4.常用的弹簧刚度系数:,工程用弹簧类型很多, 其刚度系数一般可查手册.,下面给出常用的刚度系数公式.,5.等效刚度系数:,例1-6 图示均匀悬臂梁长l,弯曲刚度EI,重量不计,自由端附有重P=mg的物体. 求物体振动微分方程与固有频率,据材料力学,重力下梁自由端静挠度,梁弹簧系数为,物体振动微分方程,或,则固有频率为,或频率,例1-7 图示均匀简支梁长l,弯曲刚度EI,重量不计,中点附有重G的电机. 求电机铅直方向振动的固有频率.,据材料力学,重力下梁中点静挠度,梁弹簧系数为,则固有频率为,解:,解:,例1-8 图示升降机起吊的质量m的重物,以匀速度v0下降到绳长l时,上端突然卡住.钢丝绳的
6、拉伸刚度EF,重量不计.求重物的振动方程和绳内最大张力.,据材料力学,重力下绳静伸长,绳弹簧系数为,则固有频率为,以静平衡位置为原点,取坐标x,有初始条件,振幅,初相位,则重物的运动方程,钢丝绳最大变形,最大张力,mg,s,x,解:,例1-9 图示等直面圆轴扭转刚度GJ,上端固定,下端装有质量m直径D的均质圆盘.轴重不计.求圆盘扭转振动的固有频率.,据材料力学,转矩下轴静扭转角,轴弹簧系数为,取扭转角为坐标.对于圆盘,轴对其有弹性恢复 偶作用,由动量矩定理,有盘扭转,或,则固有频率为,振动微分方程,解:,.,.,三、能量法,1.机械能守恒定律:,不计阻尼自由振动系统仅有机械能,T+U=cons
7、t.,2.能量法建振动微分方程,d(T+U)/dt=0,3.求固有频率,a.由建方程得；,b.直接法:,U=0时,T=Tmax;,T=0时,U=Umax,Tmax =Umax,p,4.动能和势能:,动能:,平动: T=mvc2/2；,转动: Jz2/2;,平面运动: Mvc2/2+Jc2/2,势能:,弹性: U=kx2/2 或 k2/2(扭转);,Pzc(重力)，zc向上为正,T=Tmax处为零势能,例1-10 用能量法求例1-9圆盘扭转振动方程和固有频率,解:,U=k2/2,T=Jz2/2,.,1.振动微分方程,Umax=kmax2/2,Tmax=Jzmax2/2,.,2.固有频率,代入 d
8、(T+U)/dt=0,用瑞利假设和能量法建立振动方程、 求解固有频率和响应的方法,四、瑞利Reyleigh法:,实际弹簧有质量(一般振体质量可略),较大时须考虑,J W S Reyleigh提出了考虑弹簧质量的近似法求基频,且满足工程要求的计算方法,瑞利假设：,振动过程弹簧质量系统和振体振动形态服从同一规律,瑞利法:,例1-11 图示弹簧质量系统。均质弹簧质量mt,长l。求系统固 有频率。,l,s,s,ds,解:,具有分布质量的弹簧振系实际是分布参数系统，由于弹簧各点位移、速度、加速度及内力各不相同，研究起来相当复杂，需解偏微分方程，而按瑞利假设求解很方便,由瑞利假设，有,x,xs,弹簧各点位移、速度与振体位移、速度成比例,即弹簧各点与振体同频同相运动,系统动能,系统势能,U=kx2/2,代入 d(T+U)/dt=0,振动微分方程,固有频率,等效集中质量,例1-12 图示均质悬臂梁质量mt, 长l,弯曲刚度EI, 自由端附有集中质量m. 求物体振动微分方程与固有频率,解:,由材力,无质量悬臂梁自由端集中力P下挠曲线,x,y(y),由例1-6,无质量悬臂梁振系固有频率,自由端挠度,消去P,振系振动坐标取y,即,系统动能,x,dx,由瑞利假设,误差1.5%,精确解（chap.6）,m=0时,固有频率,振动微分方程,系统势能,代入 d(T+U)/dt=0,
