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1、三(补充)导数在经济分析中的应用,导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等 许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或微分)在经济中 的一些简单的应用.,1.边际分析与弹性分析,边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研究经济 变量的边际与弹性的方法，称之为边际分析与弹性分析.,(本段内容可参见微积分教程西南财大出版社),第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,定义 经济学中，把函数(x)的导函数 f (x) 称为(x)的边际 函数. 在点 x0 的值 f (x0) 称为(x)在 x0 处的边际值(或变化率、 变化速度等).,在经济学中, 通常取x =1, 就认为
2、x达到很小(再小无意义). 故有,(1)边际函数,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,例 某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的函数为,求 (1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均增量; (3)当日产量为75件时的边际成本.,解 (1)日产量75件时的总成本为C(75)=7956.25(元),平均成本 =106.08(元/件);,实际问题中，略去近似二字，就得(x)在 x0 处的边际值f (x0),的经济意义：即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单位时，函数
3、(x)的增量.,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,(3)当日产量为75件时的边际成本,边际成本的经济意义: C(75)=97.5说明当产量x=75件时， 再增加1件产品的成本为97.5元.,(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均增量,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,例 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数 分别是 求边际 利润函数和当日产量分别是200公斤，250公斤和300公斤时的边 际利润. 并说明其经济意义.,解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) C(x) =,边际利润函数为,(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300
4、公斤时的边际利润分别是,其经济意义: 当日产量为 200公斤时，再增加1公斤，则总利 润可增加1元. 当日产量为 250公斤时，再增加1公斤，则总利润 无增加.当日产量为300公斤时，再增加1公斤，则总利润减少1元.,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,(2)弹性,弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时， 所作出反映的强弱程度，即弹性是用来描述一个量对另一个量 的相对变化率的一个量.,定义 若函数 y = (x) 在点 x0(0) 的某邻域内有定义，且 f(x0)0，则称 x 和 y 分别是 x 和 y 在点 x0 处的绝对增量， 并称,分别为自变量 x与(x)在点 x0
5、 处的相对增量.,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,由弹性定义可知若 y = (x) 在点 x0 处可导. 则它在 x0 处的弹性为,(3)弹性是一个无量纲的数值，这一数值与计量单位无关.,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,例 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的函数关系为,(a是正常数)，求,(1)需求弹性函数(通常记作 ). (2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.,易知: 任何需求函数对价格之弹性 ，均满足,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,在商品经济中，商品经营者关心的的是提价(p0)或降价(p 0)对总收益的影响. 下面利
6、用需求弹性的概念，可以得出价格变 动如何影响销售收入的结论.,*(3)弹性的进一步研究,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,(1)若 (称为高弹性)时，则 R 与 p 异号. 此时，降 价(p 0)将使收益减少；,(2)若 (称为低弹性)时, 则 R 与 p 同号. 此时，降 价(p 0)将使收益增加；,从而有结论:,(3)若 (称为单位弹性)时，则 R0 . 此时，无论是降 价还是提价均对收益没有明显的影响.,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,由此对前例而言：当p = 4时， (低弹性)，此时降 价使收益减少；提价使收益增加；,当 p = 4.35 时； (单位弹性
7、)，此时，降价、提价对收 益没有明显的影响;,当 p = 5 时， (高弹性)，此时降价使收益增加； 提价使收益减少.,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,*例 某商品的需求量为2660单位，需求价格弹性为1.4.若 该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变)，问该商品的需求 量会降低多少?,解 设该商品的需求量为Q，在价格上涨时的改变量为 Q=Q2660,思考题: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等常用经济 函数进行弹性分析，以预测市场的饱和状态及商品的价格变动 等.,且,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,2.函数最值在经济分析中的应用,在经济管理中，需要寻求企业
8、的最小生产成本或制定获得利 润最大的一系列价格策略等，这些问题都可归结为求函数的最大 值和最小值问题. 下面举例说明函数最值在经济上的应用.,(1)平均成本最小,例 某工厂生产产量为 x (件)时，生产成本函数(元)为,求该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小? 并求出其最小平 均成本和相应的边际成本.,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,(2)最大利润,设总成本函数为C(x)，总收益函数为R(x)，其中x为产量，则 在假设产量和销量一致的情况下，总利润函数为,假设产量为 x0 时，利润达到最大，则由极值的必要条件和 极值的第二充分条
9、件，L(x)必定满足:,可见，当产量水平 x=x0 使得边际收益等于边际成本时，可 获得最大利润.,L(x) = R(x) C(x),第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,例 假设某种商品的需求量Q是单价p (单位:元)的函数： ； 商品的总成本是需求量的函数： ， 每单位商品需纳税2元，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润.,解 总利润函数为,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,例 某商家销售某种商品的价格满足关系p = 70.2x(万元/ 吨), 且x为销售量(单位:吨)，商品的成本函数为 C(x) = 3x + 1(万元),(1)若每销售一吨商品，政府要征税t (万元)，求该商家获最 大利润时的销售量；,(2) t 为何值时，政府税收总额最大.,解 (1)当该商品的销售量为x时，商品销售总收入为,设政府征的总税额为T，则有T = t x，且利润函数为,(3)最大税收问题,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,(2)由(1)的结果知，政府税收总额为,显然, 当 t = 2时，政府税收总额最大. 但须指出的是:,为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润，就应使,即 t 满足限制0 t 4. 显然 t = 2 并未超出 t 的限制范围.,第六章微分中值定理及其应用 4函数的极值与最值,
