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1、,10-3 单自由度体系的受迫振动,受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。,k,弹性力：k y，惯性力：,和荷载FP (t) 之间的平衡方程为:,1、简谐荷载：,m,特解：,单自由度体系强迫振动的微分方程,最大静位移 yst ：是把动荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移。,特解可写为：,通解可写为：,设t = 0 时的初始位移和初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为：,动力系数为：,重要的特性： 当/ 0 时，1，荷载变化得很慢，
2、可当作静荷载处理。 当 0 1，并且随/ 的增大而增大。 当/ 1 时, 。即荷载频率接近于自振频率时， 振幅 会无限增大。称为“共振” 。通常把 0.75 / 1.25 称为共振区。,当/ 1 时, 的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,美国的Tacoma(塔克玛) 老桥坍塌,该桥于1940年11月7日因风力引起的振动而产生断裂,当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上 各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。,例：一简支梁（I28b），惯性矩 I
3、= 7480 cm4，截面系数W = 534 cm3，E = 2.1 kN/cm2。在跨度中点有电动机重量 Q = 35 kN，转速 n = 500 r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P = 10 kN，P 的竖向分量为 P sint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l = 4m） 解： 求自振频率和荷载频率, 求动力系数,175.6MPa,I22b,3570,3570,39.7,39.7,1.35,对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。,325,149.2, 求最大正应力,0.82,必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由
4、度体系在质点上受干扰力作用的情况。 对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。,设体系在 t = 0 时静止，然后有瞬时冲量 S 作用。,2、一般动力荷载,一般动荷载作用下的动力反应 可利用瞬时冲量的动力反应来推导。,瞬时冲量的动力反应：,瞬时冲量 S 引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。 由动量定理：,如果体系在 t =时作用瞬时冲量 S ，则在以后任一时刻 t ( t)的位移为,单自由度体系强迫振动的微分方程,任意荷载FP (t)的动力反应,整个加载过程可看作由一系列瞬时冲量所组成。 例如：在时刻 t = 作用的荷载F P (t)，此时荷载在微分时段
5、 d内产生的微分冲量为 d S 。此微分冲量引起如下的动力反应：对于t ,式 (10-15) 称为 Duhamel 积分； 这就是初始静止状态的单自由度体系在任意动力荷载作用下的位移公式。,初始位移 y0 和初始速度 v0 不为零在任意荷载作用下的位移公式:,然后对加载过程中产生的所有微分冲量引起的动力反应进行叠加，即对上式进行积分，可得总反应如下：,几种典型荷载的动力反应, 突加荷载,质点围绕静力平衡位置作简谐振动, 短时荷载,阶段( 0 t u )：与突加荷载相同。,阶段( t u )：无荷载，体系以 t = u 时刻的位移,和速度,为初始条件作自由振动。,或者直接由 Duhamel 积分
6、作,讨论体系的最大动反应：,1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段：,2）当u T/2 最大动位移发生在阶段,= 2,动力系数反应谱 (与T和u之间的关系曲线), 线性渐增荷载,这种荷载引起的动力反应同样可由 Duhamel 积分来求解:,对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：,动力系数反应谱,动力系数介于1与2之间。 如果升载很短，tr 4T，则接近于1，即相当于静荷载情况。 常取外包虚线作为设计的依据。,1) 求柔度系数,例9-3-1 图示单自由度体系，已知FP0 = 5kN， m = 800 kg，EI = 4.5107 kN cm2，=
7、35（1/s），g = 9.8 m / s2。在平稳阶段，求C截面的最大位移和B截面的最大弯矩。,解：,2) 求自振频率,3) 求动力系数,4) 求(MB)max及ymax,9-4 阻尼对振动的影响,实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：,事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。,阻尼的作用：,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规
8、律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大。,共振时的振幅较大但为有限值。,2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素,1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；,2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量；,3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。,振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：,*粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比：,*滞变阻尼
9、理论,关于阻尼，有两种定义或理解：,1）使振动衰减的作用；,2）使能量耗散。,3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,平衡方程,4、阻尼对自由振动的影响,令,及,设解为：,特征方程,特征值,一般解,（1）低阻尼情形 ( 1 ),令,由初始条件确定C1和C2；,设,得,其中,讨论：,（a）衰减周期运动,振幅,（b）阻尼对振幅的影响,例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时
10、顶部侧移2cm，振动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。,解：(1)大梁的重量,由,(2)自振频率,(3)阻尼特性,(4)6周后的振幅,(2) =1 原特征根,于是 1,2= - （重根）,微分方程的解,由初始条件确定C1和C2,设,得,临界阻尼Cr,因,阻尼比系数,三、有阻尼的强迫振动,单独由v0 引起的自由振动：,瞬时冲量ds = Pdt = mv0 所引起的振动，可视为以v0 = Pdt/m，y0=0 为初始条件的自由振动：,将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量：,总反应,例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，加
11、一水平力P = 9.8kN，测得侧移A0 = 0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1 =0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,（1）突加荷载P0,低阻尼y- t曲线,无阻尼y- t曲线,静力平衡位置,具有阻尼的体系在 突加荷载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 yst=P0/m2的两倍， 然后逐渐衰减，最 后停留在静力平衡 位置。,（2）简谐荷载P(t)=Fsint,设特解为：y=Asin t +Bcos t代入（15-34）得：,+Asin t +Bcos t ,齐次解加特解得到通解：,自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰
12、减、消失。,纯强迫振动，平稳振动， 振幅和周期不随时间而变化。,结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。,y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) (15-35a),振幅：yp， 最大静力位移：yst=F/k=F/m2,动力系数与频率比/和阻尼比有关,几点注意： 随增大曲线渐趋平缓， 特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。,当接近 时， 增加很快， 对的数值影响也很大。在0.75 / 1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对的影响较
13、小，可按无阻尼计算。,max并不发生在共振/=1时，而发生在，,由y=yPsin(t ) 可见，阻尼体系的位移比荷载P=Fsin t 滞后一个相位角 ，,但因很小，可近似地认为：,当时,0体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主要由S平衡，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。,当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；,弹性力S，惯性力FI， 阻尼力R分别为：,当=时,90,由此可见：共振时（=），S 与FI 刚好互相平衡，,yst,有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。,k=m2=m2,
