控制时域分析讲义

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1、1,第三章,线性系统的时域分析法,2,控制系统的动态性能和稳态性能的分析可以运用时 域分析法、根轨迹法和频域法；如果系统系统模型是状 态空间模型，可以运用状态空间分析与设计方法。 本章研究线性控制系统性能分析的时域法。,第三章 线性系统的时域分析法,3,本章主要内容：,一、系统时间响应的性能指标 二、一阶系统的时域分析 三、二阶系统的时域分析 四、高阶系统的时域分析 五、线性系统的稳定性分析 六、线性系统的稳定误差计算,第三章 线性系统的时域分析法,4,本章要求：,1、稳定性判断 1）正确理解系统稳定性概念及稳定的充要条件。 2）熟练运用代数稳定判据判定系统稳定性，并进行分析计算。,2、稳态误

2、差计算 1）正确理解系统稳态误差的概念及终值定理应用的限制条件。 2）牢固掌握计算稳态误差的一般方法。 3）牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制条件。,3、动态性能计算 1）了解一阶、二阶系统的数学模型和典型响应的特点。 2）牢固掌握一阶、二阶系统特征参数及欠阻尼系统动态 性能计算。 3）掌握典型欠阻尼二阶系统特征参数、极点位置与动态 性能的关系,5,3-1 线性系统时间响应的性能指标(1),本节主要内容,典型输入信号 动态过程与稳态过程 动态性能与稳态性能,6,（1）单位阶跃函数,（2）单位斜坡函数,（3）单位加速度函数,3-1-1 典型输入信号,（4）单位脉冲函数,（5）正弦函数,3-1

3、线性系统时间响应的性能指标(2),7,3-1-2 动态过程与稳态过程,（1）动态过程 系统在典型信号输入下，系统的输出量从初始状态到最 终状态的响应过程。,（2）稳态过程 系统在典型信号输入下，当时间t趋于无穷时，系统输 出量的表现方式。,3-1 线性系统时间响应的性能指标(3),8,3-1-3 动态性能与稳态性能,3-1 线性系统时间响应的性能指标(4),（1）动态性能 延迟时间 :响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。 上升时间 :响应从终值10%上升到终值90%所需的时间。 峰值时间 :响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。 调节时间 :响应到达并保持在终值的 内所需的最短时间。,9,

4、超调量 :响应的最大偏离量和终值的差与终值比的百分数。 即,（2）稳态性能,稳态误差 :系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。,3-1 线性系统时间响应的性能指标(5),10,上述性能指标可表示在下图单位阶跃响应图中,3-1 线性系统时间响应的性能指标(6),11,本节主要内容： 一阶系统的数学模型 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统的单位斜坡、单位加速度响应,3-2 一阶系统的时域分析（1）,12,3-2 一阶系统的时域分析（2）,3-2-1 一阶系统的数学模型,在实际工程中，有许多高阶系统的特性可以用一阶系统来近似。 研究图示RC一阶控制系统电路，其运动微分方程为 其中

5、，c(t)为电路输出电压；r(t)为电路输入电压； TRC为时间常数。,13,当该电路的初始条件为零时，其传递函数为：,3-2 一阶系统的时域分析（3）,室温调节系统，水位调节系统以及恒温箱系统的 闭环传递函数都是这个形式，仅时间常数含义不同， 上式称为一阶系统的数学模型。,14,一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，具备如下两个 重要特点： 1）可用时间常数T去度量系统输出量的数值。 例如，当tT时，h（t）0.632。 2）响应曲线的斜率初始值为1/T，并随时间的推移而下降。,3-22 一阶系统的单位阶跃响应,设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)，则一阶 系统的单位阶跃响应为

6、：,3-2 一阶系统的时域分析（4）,15,下图反映了以上两个重要特点,根据动态性能指标 的定义，一阶系统 的动态性能指标为：,显然，峰值时间 和超调量 都不 存在。,3-2 一阶系统的时域分析（5）,16,3-2-3 一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于 ，所以 系统输出量的拉氏变换式与系统的传递函数相同，即,这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为：,3-2 一阶系统的时域分析（6）,17,3-2 一阶系统的时域分析（7）,18,3-2- 4 一阶系统的单位斜坡响应,设系统的输入信号为单位斜坡函数，则求得一阶系统的单 位斜坡响应为： 式中， 为稳态分量； 为瞬态分量。

7、,3-2 一阶系统的时域分析（8）,19,3-2 一阶系统的时域分析（9）,20,3 - 2 5 单位加速度响应,设系统的输出信号为单位加速度函数，则求得一阶系统的 单位加速度响应为：,系统的跟踪误差为：,3-2 一阶系统的时域分析（10）,21,结果分析,输入信号的关系为：,而时间响应间的关系为：,22,3-3 二阶系统的时域分析（1）,本节主要内容： 二阶系统的数学模型 二阶系统的单位阶跃响应 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 过阻尼二阶系统的动态过程分析 二阶系统的单位斜坡响应 二阶系统性能的改善,23,3 - 3 1 二阶系统的数学模型,1、位置控制系统原理图 设位置控制系统如下图所示，其

8、任务是控制有 黏性摩擦和转动惯量的负载，使负载位置与输入手 柄位置协调。,3-3 二阶系统的时域分析（2）,24,3-3 二阶系统的时域分析（3）,25,2、 位置控制系统结构图,3-3 二阶系统的时域分析（4）,传递函数为：,26,3、系统微分方程,3-3 二阶系统的时域分析（5）,如果略去电枢电感 ，在不考虑负载力矩的情况下， 系统的开环传递函数可以简化为：,响应的闭环传递函数是,对应如下二阶运动微分方程：,27,4、二阶系统标准形式,3-3 二阶系统的时域分析（6）,二阶系统标准形式：,相应的结构图如图所示。图中,自然频率 （或无阻尼振荡频率）,阻尼比 （或相对阻尼系数）,令分母多项式为

9、零，得二阶系统得特征方程,其两个根（闭环极点）为：,28,3 - 3 2 二阶系统的单位阶跃响应,3-3 二阶系统的时域分析（7）,A.,若 ，则二阶系统具有两个 正实部的特征根，其单位阶跃响应为：,由于阻尼比 为负，指数因子具有正幂指数，因此系 统的动态过程为单调发散，从而说明二阶系统是不稳定的。,29,3-3 二阶系统的时域分析（8）,B.,若 ，则二阶系统具有两 个正实部的特征根，其单位阶跃响应为：,式中， 。 由于阻尼比 为负，指数因子具有 正幂指数，因此系统的动态过程为发散正 弦振荡，从而说明二阶系统是不稳定的。,30,3-3 二阶系统的时域分析（9）,C.,如果 ，则特征方程有一对

10、纯 虚根，对应于 平面虚轴上 有一对共轭极点，系统的单位阶跃响应为：,此时系统的阶跃响应为等幅振荡，系 统相当于无阻尼情况。,31,3-3 二阶系统的时域分析（10）,D.,对应于 平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为衰 减振荡过程，此时系统处于欠阻尼情况。,如果 ，则特征方程有一对负实部的共轭复根，,推导如下：,32,33,3-3 二阶系统的时域分析（11）,上式中， 或者 。,若令 ， 则有,式中， 称为衰减系数， 叫做阻尼振荡频率。,34,3-3 二阶系统的时域分析（12）,E.,如果 ，则特征方程具有两个 相等的负实根， ，对应于 平 面负实轴上的两个相等实极点，相应的阶 跃响应

11、为非周期地趋于稳态输出，此时系 统处于临界阻尼情况。 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应 为：,35,3-3 二阶系统的时域分析（13）,F.,如果 ，则特征方程具有两个 不相等的负实根， ， 对应于 平面负实轴上的两个不等实极点， 相应的单位阶跃响应为非周期地趋于稳态输 出，但响应速度比临界阻尼情况缓慢，称为 过阻尼情况。 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：,36,37,38,3-3 二阶系统的时域分析（14）,由左图可见：在过阻尼和 临界阻尼响应曲线中，临界阻 尼响应具有最短的上升时间， 响应速度最快；在欠阻尼响应 曲线中，阻尼比越小， 超调量越大，上升时间越短， 通常取 为宜，此时 超调量适度

12、，调节时间较短； 若二阶系统具有相同的 和不 同 ，则其振荡特性相同但响应速度不同， 越大， 响应速度越快。,39,3-3 二阶系统的时域分析（15）,3 - 3 3欠阻尼二阶系统的动态过程分析,1、特征参量,衰减系数 是闭环极点到虚 轴之间的距离；阻尼振荡频率 是闭环极点到实轴之间的距离； 自然频率 是闭环极点到坐标原 点之间的距离； 与负实轴的夹 角的余弦正好是阻尼比，即,40,3-3 二阶系统的时域分析（16）,2、动态性能指标,（1）延迟时间的计算 令 ，可得,（2）上升时间的计算 令 ，求得,41,（3）峰值时间的计算,3-3 二阶系统的时域分析（17）,将 对 求导，并令其为零，整

13、理得：,由于 ，于是上式的,根据峰值 时间定义，应取 ， 于是峰值时间为：,解为：,42,（4）超调量 的计算,3-3 二阶系统的时域分析（18）,因为超调量发生在峰值时间上，所以将代入单位阶跃响 应式中，得输出量的最大值,由于 ，故上式可改写为,按超调量定义并考虑到 ，求得,43,3-3 二阶系统的时域分析（19）,（5）调节时间 的计算,对于欠阻尼二阶系统单位阶 跃响应往往采用包络线代替 实际响应来估算调节时间。,选取误差带 ，常取,44,3-3 二阶系统的时域分析（20）,下面举例说明： 例 设系统结构图如下图所示，若要求系统具有性能指标 ，试确定系统参数 和 ，并计算 单位阶跃响应的特

14、征量 和 。 解：由图知，系统闭环传递函数为,45,与传递函数标准形式相比，可得,3-3 二阶系统的时域分析（21）,由 得,再由峰值时间 算出,46,3-3 二阶系统的时域分析（22）,从而解得,由于,故求得,47,3-3 二阶系统的时域分析（23）,过阻尼系统响应缓慢，有些应用场合需要过阻尼 响应特性： 如 （1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。 （2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、 时间响应尽可能快。 有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。,3 - 3 4 过阻尼二阶系统的动态过程分析,48,求动态性能指标，要解一个超越方程，只能用数值 方法求解。利用曲线逆合法给出近似公式。,

15、（1）延迟时间 计算,3-3 二阶系统的时域分析（24）,（2）上升时间 计算,49,（3）调节时间 计算,当 时,3-3 二阶系统的时域分析（25）,50,3 - 3 5 二阶系统的单位斜坡响应,输入信号为单位斜坡函数时，系统输出为：,3-3 二阶系统的时域分析（26）,51,（1）欠阻尼单位斜坡响应,误差响应为：,3-3 二阶系统的时域分析（27）,52,稳态误差为：,若,3-3 二阶系统的时域分析（28）,调节时间为：,53,误差响应的峰值为:,3-3 二阶系统的时域分析（29）,54,（2）临界阻尼单位斜坡响应,3-3 二阶系统的时域分析（30）,55,（3）过阻尼单位斜坡响应,稳态误差为：,3-3 二阶系统的时域分析（31）,56,3 - 3 6 二阶系统性能的改善,改善二阶系统性能的两种方法：比例-微分控制 测速反馈控制,A