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1、第四章 根轨迹法,第四章 根轨迹法,第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹的基本概念,借助这种方法常常可以比较简便、直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系，如果特征根的位置不能令人满意，很容易根据根轨迹来确定该怎样对参数进行调整，从而指导选择最佳的参数，进一步还可以分析附加零极点对根轨迹的影响，从而考虑用附加环节来改善原有系统的品质。根轨迹法已发展成为经典控制理论中最基本的方法之一，与频率法互为补充，成为控制系统分析和设计的有效工具。,控制系统的稳定性和时间响应中瞬态分量的运动模态都由系统特征方程的根即闭环极点决定。因此确定特征根在s平面上的位置对于分析系统的性能有重要意义。当系统中的某一或某些参
2、量变化时，利用已知的条件(如开环零、极点)，绘制闭环特征根的轨迹。,第四章 根轨迹法,一、根轨迹的基本概念,4-1 根轨迹的基本概念,根轨迹 是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。,系统开环传递函数为 ，它有两个极点， 和 。,系统的闭环传递函数为 ，特征方程为 。,第四章 根轨迹法,在a和K1为正值的情况下，此二阶系统总是稳定的，但系统的特征方程式的根 却随参量a和K1的值而变化，从而影响到系统的瞬态性能。,4-1 根轨迹的基本概念,下面讨论a保持常数，开环增益K1改变时的情况。
3、,当 时，s1和s2为互不相等的实根。而当 时， 和 ，即等于系统的两个开环极点。,当 时，则两根为实数且相等，即 。,第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹的基本概念,当 时，两根成为共轭的复数根，其实部为 ，这时根轨迹与实轴垂直并相交于 点。,K1由0向变化时的根轨迹，如图4-2所示。箭头表示K1增大方向。,图4-2 二阶系统的根轨迹图,第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹的基本概念,第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹的基本概念,一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。但是，在实际中最常用的可变参量是系统的增益K1。以系统增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。,上述二阶系统的
4、特征根是直接对特征方程求解得到的，但对高阶系统的特征方程直接求解往往十分困难。为此，伊万斯提出了绘制根轨迹的基本规则，利用这些基本规则，根据开环传递函数零、极点在s平面上的分布，就能较方便地画出闭环特征根的轨迹。,综上所述，根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件,图4-3 反馈控制系统,G(s)H(s)是复变量s的函数，根据等式两边幅值和相角应分别相等的条件，有,和,以上两式是满足特征方程的幅值条件和相
5、角条件，是绘制根轨迹的重要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是系统的特征根，就必定在根轨迹上。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,系统开环传递函数通常可以写成两种因子式,式中 K1开环传递函数写成零、极点形式时的增益(又称根轨迹增益)； zj、pi开环零、极点； K开环传递函数写成时间常数形式时的增益(又称开环增益)； j、Ti分子和分母中的时间常数。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,由上两式不难看出,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
6、主要是用来确定根轨迹上各点对应的K1值。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,二、绘制根轨迹的基本规则,根据幅值条件,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,规则三 在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数 。,设系统开环零、极点分布如图4-4所示。现要判断p2和z2之间的实轴线段上是否存在根轨迹。为此可取此线段上的任一点sd为试验点。,在sd点右边实轴上的每个开环零或极点指向该点的相量的相角为180；而在点sd左边实轴上的每个开环零或极点提供的相角为0。一对共轭极点或零点提供的相角相互抵消，其和为零。,第四章 根轨迹法,由相角条件可知，只有在
7、右边开环零极点的总数为奇数的实轴线段上，才能有根轨迹存在。除此之外，实轴上其他线段上的点均不能满足相角条件。,4-2 常规根轨迹,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,可以认为，从有限开环零、极点到位于无穷远处一点的相量的相角基本相等，以 表示。因此相角条件可改写为,由此可得规则四。显然，渐近线的数目等于趋向于无穷远根轨迹的分支数，即为 。,规则五 伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴交于一点，其坐标为(a，j0)，而,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,由规则一可知，渐近线必然对称于实轴。同时可以证明，诸条渐近线在实轴上交于一点。下面简要证明。,在 的条件
8、下，当 时，有 条根轨迹分支趋向无穷远处，即 。这时可以只考虑高次项，将上式近似写为,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,对于无穷远处的根轨迹渐近线上的点而言，有限的开环零、极点的区别是可以忽略的。因此上述系统等效于一个具有m个开环零点和n个开环极点，并且所有零极点都聚集在a点的系统。此系统的开环传递函数P(s)可用下式表示,不难看出，此系统的根轨迹有 n-m 条分支，它们都是由(a，j0)出发的射线，其相角为,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,。,图4-6 根轨迹,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,由图可见，根轨迹的三条分支中，一条从 点出发，
9、随着K1的增大，沿着负实轴趋向无穷远处。另外两条分支分别从 和 出发，沿着负实轴向着b点移动。当K1达到某一数值(Kb)时，这两条分支会合于实轴上的b点。这时特征方程有二重根，系统处于临界阻尼状态。当K1继续增大时，这两条分支离开负实轴分别趋近60和 的渐近线，向无穷远处延伸。在 时，系统处于欠阻尼状态，出现衰减振荡。而当 时，系统成为不稳定状态 。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,规则六 复平面上根轨迹的分离点必须满足方程,两条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的分离点。根轨迹的分离点实质上是特征方程的重根，因而可用求解方程式重根的方法确定它们在s平面上的位置。,第四章 根轨迹法,4-2
10、常规根轨迹,需要注意，规则六中用来确定分离点的条件只是必要条件，而不是充分条件。也就是说，所有的分离点必须满足规则六的条件，但是满足此条件的所有解却不一定都是分离点。只有位于根轨迹上的那些重根才是实际的分离点。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,例4-3 求例4-2中的分离点。,即,因为分离点必定位于0至 1之间的线段上，故可确定 为分离点。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,可以证明，在分离点处根轨迹离开实轴的相角应为180/r，r为接近或离开实轴的根轨迹分支数。,出(入)射角是指从复数极点出发(趋向复数零点)的根轨迹的切线角。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,图4-7 根轨迹
11、出射角的确定,因 即出射角，由上式可化为,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,而 为其他开环零、极点对出射角提供的相角。,同理，可以证明入射角的公式。,规则八 根轨迹与虚轴的交点可用 代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。,在根轨迹与虚轴的交点处出现虚根，系统处于临界稳定状态。因此，可以根据这一特点确定根轨迹与虚轴的交点。,例4-4 求例4-2中的根轨迹与虚轴的交点。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,解 由例4-3得到的特征方程式，得到,令 代入特征方程，得,另外，如果 ，设Pi为闭环极点，则有,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,上左式揭示了根轨迹的一个重要性质：在 的条件下，当
12、K1由0变化时，虽然闭环方程式的n个根都会随之而变化，但它们之和却恒等于n个开环极点之和。如果一部分根轨迹分支随着K1的增大而向左移动，则另一部分根轨迹分支将随着K1的增大而向右移动，从而保持闭环极点之和不变，等于开环极点之和。这一性质可用于估计根轨迹分支的变化趋向。而对于一些低阶系统，如已知部分闭环极点，则可用上两式确定其余两个以下的闭环极点。,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,以上8条是绘制根轨迹的基本规则。应用这些规则，不必求特征方程的根，只根据开环传递函数就可以迅速地画出根轨迹的大致形状。为便于查找，把上述规则归纳于表4-1中。,图4-8 例4-5的根轨迹,第四章 根轨迹法,4-2
13、 常规根轨迹,据规则二可知，根轨迹共有4条分支， 时分别从4个开环极点出发， 时趋向无穷远处。,，,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,据规则七可求出根轨迹在p3的出射角,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,利用劳斯判据写出,第四章 根轨迹法,4-2 常规根轨迹,令劳斯表中s1行的首项为零，求得 。根据表中s2行的系数写出辅助方程,得到 。可见，根轨迹的两条分支与虚轴交于 处，对应的K1值为260。系统完整的根轨迹如图4-8所示。,表4-2中列出了一些已知零极点的系统的根轨迹图，供读者参考。,第四章 根轨迹法,4-3 广义根轨迹,一、参数根轨迹,前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，都是以增益K
14、1为可变参量。但在实际中可变参量可以选择为系统的任何参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等。这种选择除增益K1以外的系统其他参量作为可变参量绘制的根轨迹，称作参数根轨迹。用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零、极点位置，时间常数或反馈系数等对于系统性能的影响。,在4-2中已经指出，绘制根轨迹的相角、幅值条件和基本规则是根据系统的特征方程得到的，当选择开环增益K1为可变参量时，特征方程为,第四章 根轨迹法,4-3 广义根轨迹,式中， 为系统的开环传递函数。,第四章 根轨迹法,4-3 广义根轨迹,给定K1值，可以绘制在不同K1值下的以a为变量的根轨迹图(图4-9)。由图可见，当 时系统不稳定。当a增大至一定数值时，系统变为稳定。a的临界值可以用劳斯判据确定。,第四章 根轨迹法,4-3 广义根轨迹,图4-9 参数根轨迹,第四章 根轨迹法,4-3 广义根轨迹,二、多回路系统的根轨迹,前已指出，根轨迹不仅适用于单回路系统，而且适用于多回路系统。现举例说明。,第四章 根轨迹法,4-3 广义根轨迹,解 系统的开环传递函数为,若取a为可变参量，不难画出系统的参数根轨迹图，如图4-11所示。,第四章 根轨迹法,4-3 广义根轨迹,由图可见，在a为有限值的情况下，系统总是稳定的。选择适当
