运筹学-第四章-运输问题 (1)

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1、运输问题,运输问题及其数学模型 运输问题的表上作业法 运输问题的进一步讨论,例1：某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单位均为t）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/t）示于下表中 要求研究产品如何调运才能使总运费最小,4.1 运输问题及其数学模型,A2,A3,B2,A1,B3,B4,B1,s2=5,s3=7,d1=3,d2=8,d3=4,d4=6,s1=9,供应量,供应地,运价,需求量,需求地,2,9,10,2,1,3,4,2,8,4,2,5,运输问题网络图,产量约束,销量约束,运输问题的一般提法是：设某种物资有

2、个产地,各产地的产量是,有 个销地,各销地的销量是,假定从产地,到销地,运输单位物品的运价是 ，问,怎样调运这些物品才能使总运费最小？,运价表,当产销平衡时，其模型如下：,当产大于销时，其模型是：,当产小于销时，其模型是：,1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解；,运输问题数学模型的特点,证明 记,则令,则 为运输问题的一个可行解。事实上：,又因,所以,故 是一组可行解。,又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。,2、运输问题约束条件的系数矩阵,运输问题数学模型的特点,对运输问题数学模型的结构约束加以整理，可知其系数矩阵具有下述

3、形式：,m行,n行,1运输问题是一个具有mn个变量和n+m个等型约束的线性规划问题。,（41）,2运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值的稀疏矩阵,其中1的总数为 2mn 个。,3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中也出现一次,4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总数是m+n-1,证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等，,恰好都是：,所以A的行向量是线性相关,的。从而 r(A)m+n.,去掉A的第一行，并取如下m+n-1列，得到m+n-1阶子式,所以 r(A)=m+n-1.,

4、对于产销平衡运输问题，除了上述特点外，还有以下特点： 1 所有结构约束条件都是等式约束 2 各产地产量之和等于各销地销量之和,3、运输问题的解,运输问题数学模型的特点,运输问题是一种线性规划问题。前面讲述的单纯形法是求解线性规划问题十分有效的一般方法，因而可用单纯形法求解运输问题。,但是当用单纯形法求解运输问题时，先得在每个约束条件中引入一个人工变量，这样一来，即使对于m=3、n=4这样简单的运输问题，变量数目也会达到19个之多。,因此，我们利用运输问题数学模型的特点，引入了表上作业法来求解运输问题,4.2 用表上作业法求解运输问题,表上作业法的基本思想： 先设法给出一个初始方案,然后根据确定

5、的判别准则对初始方案进行检查、调整、改进，直至求出最优方案，如下图所示。,初始化,最优性检验,迭代 （Iteration）,最优？,yes,STOP,no,这和单纯形法的求解思想完全一致，但是具体的作法则更加简捷。,例1 某部门有3个同类型的工厂（产地），生产的产品由4个 销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单 位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于表4-2 中，问如何调运才能使总运费最小？,表 4-2,该运输问题的数学模型为：,可以证明：约束矩阵的秩 r (A) = m +n -1.,基变量的个数为 m+n-1.,表上作业法,计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是

6、否最优 3、调整调运方案 , Go to 2,表上作业法,计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2,下面介绍三种常用的方法。,一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）,最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法,1。最小元素法,思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：,其余变量全等于零。,总运费为（目标函数值）,此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6)., 西北角法,西北角法是优先

7、满足运输表中西北角（左上角）上空格的供 销需求。,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：,其余变量全等于零。,总运费为（目标函数值）,此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6)., 沃格尔（Vogel)法,初看起来，最小元素法十分合理。但是，有时按某一最小单位运价安排物品调运时，却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点，从而使整个运输费用增加。,沃格尔法的思想： 对每一个供应地或销售地，均可由它到各销售地

8、或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运价，并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数。若罚数的值不大，当不能按最小运价安排运输时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组织运输就会造成很大的损失，故应尽量按最大罚数安排运输。,此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：,其余变量全等于零。,总运费为（目标函数值）,此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6).,比较上述三种方法给出的初始基可行解，以沃格尔法给出的解的目标函数值最小，最小元素法次之，西北角法解的目标函数值最大。 一般说来，沃格尔法得出的初始解的质量最好，常

9、用来作为运输问题最优解的近似值。,课堂练习,表上作业法,计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2,二、解的最优性检验,前面得到了初始基可行解，一般来说此解并非最优。下面介绍 最优性检验的两种方法。,1 闭回路法(Cycle method) 2 对偶变量法（dual variable method）也称为位势法, 闭回路法（cycle method),下面用最小元素法所确定的初始基本可行解来说明。,与单纯性原理相同，现目标是运费最少，故检验每一个非 基变量（对应于运输表中的空格）的检验数是否,若所有空格的检验数全非负，则不管怎样均不能使运输费用降低，即

10、目标函数值已无法改进，这个解就是最优解,考虑空格(A1,B1),设想由产地A1供应一个单位的物品给销地B1，为使运入销地B1的物品总量不大于它的销量，应将A2运到B1的物品数量减1，即将格子（A2,B1）中填入的数字8改为7； 另一方面，为使产地A2运出的物品数量正好等于它的产量(保证新得到的解仍为基可行解)，应将A2运到B3的物品数量增1。 同理A1运往B3的物品数量减1，A1运出的物品数量正好等于其产量,按照上述设想，由产地A1供给1个单位物品给销地B1,由此引起的总运费变化是：,根据检验数的定义，它正是非基变量x11(或者说空格(A1,B1)的检验数,定义1： 基变量（有数字的）对应的格

11、为基格；非基变量（空格）对应的顶点为非基格。,定义2： 从每一空格（非基格）出发，沿水平或垂直方向前进，每碰到数字格转90o（有些情况也可以不改变方向）继续前进，直到回到出发的空格为止，由此形成的封闭的折线称为闭回路。,规定：起始顶点的空格为第一顶点，则 =闭回路上奇数次顶点运价之和 闭回路上偶数次顶点运价之和,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,表 3-2,检验数中有负数，说明原方案不是最优解。, 对偶变量法（位势法）(dual variable method),用闭回路法判定一个运输方案是否最优，需要找出所有空格的闭回路，并计算其检验数。当运输问题的产地

12、和销地很多时，空格的数目很大，计算检验数的工作量很大，而用对偶变量法就简便得多。,对产销平衡运输问题，若用u1,u2,um分别表示前m个约束等式相对应的对偶变量，用v1,v2vn 分别表示后n个等式相对应的对偶变量，即有对偶向量,这时可将运输问题的对偶规划写成：,前面学习知道，线性规划问题变量xj的检验数可表示为：,由此可写出运输问题某变量xij(对应于运输表中(Ai,Bj)的检验数如下：,其中 分别称为行位势、列位势。,有基变量所对应的检验数为零，可从m+n-1个等式,（2.2）,解出所有的行位势、列位势。,（2.1）,可以证明，不论令 为何值， 始终不变。,即 将不会随 的取值而改变。,为

13、此，在求解方程组（2.2）时，为计算简便，可指定一个位 势等于一个较小的整数或零。,表 3-2,行位势,列位势,设u1=1,当然，也可用采用解方程组的办法来求位势：,两种方法任选一种,表 3-2,三。解的改进（用闭回路法调整）,选择进基变量的原则：,即选择非基变量中检验数最小的一个进基。,在进基格点所对应的闭回路上，定义顶点的序号：自进基 格点起选定一个方向（比如顺时针方向），依次为第一 格、第二格、,在奇数格点上增加调整量 ，在偶数格点上减少调整量 。,其中调整量为,为闭回路中偶数格点,表 3-2,表 3-2,四。表上作业法计算中的两个问题, 无穷多个最优解,若在最优解中，某个非基变量的检验

14、数为零，则该问题有 无穷多个最优解,此时得到一个最优解：,其余变量全等于零。,总运费为（目标函数值）,表 3-2,表 3-2,表 3-2,此时得另一个最优解：,其余变量全等于零。,总运费为（目标函数值）, 退化情况,与一般LP问题类似，运输问题也可能出现退化了的基本可 行解。有以下两种情况：,（1）在确定初始基本可行解时，若已确定在空格 处,要添上调运量 ，而此时发点的当前可发送量与收点的当 前需求量恰好相等。即发点的当前发送量已全部用完，而收 点的需求量已全部满足。因此应同时划掉发送的行及接受的 列。为了使调运表上确保有(m+n-1)个基变量的值，就需要在 所划掉的行（或列）的任一空格添上调运量0。这样就得到有 一个基变量取值为0的基本可行解退化解。,例如：下表给出一个34运输的运价及发送量与需求量。 试用最小元素法求该问题的一个初始基本可行解。,表 4-2,此时得到一个退化了的初始基本可行解：,其余变量全等于零。, 在用闭回路调整当前基本可行解时，有多个偶数格值相 等且都是极小值点 。此时只能取一个离基，其余的仍作为 基格。,例如：下表给出一个34运输问题的基本可行解及发送量 与需求量、基本可行解的检验数。试用闭回路法对其做出 调整。,表 4-5,表 4-5,3 运输问题的进一步讨论,一、产销不平衡运输问题,对产销不平衡问题，可转化为平衡问题，然后按表上作业 法求解。转