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1、二次函数动点问题题型因动点而产生的面积问题（2012张家界）如图，抛物线y=x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=2点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由思路分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；
2、令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标已知A、B的坐标，易判断出OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值解：（1）令y=0，即x2+x+2=0；解得 x1=，x2=2C（，0）、A（2，0）令x=0，即y=2，B（0，2）
3、综上，A（2，0）、B（0，2）（2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2，0）在直线上，0=k12+2k1=直线AB的解析式为y=x+2（3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=2，AB=4，BAO=30，DOA=60；D与O点关于AB对称，DOA=60，OD=OA=2D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）因为y=过点D，3=，k=3（4）AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：APsin30=t，OQ=OAAQ=2t；SOPQ=（2t）t=（t2）2+；依题意有，解得0t4当t=2时，S有最大值为点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解
4、答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围题型因动点而产生的等腰三角形问题如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过点AO、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【分析与解答】二次函数综合题，需要分类讨论解：（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，点B的坐标为（2，2）；（2）抛物线过原点O和点AB，可设抛物
5、线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（22）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=2，当y=2时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点P的坐标为（2，2）若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故点P的坐标为（
6、2，2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2），如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且（1）求抛物线的对称轴；（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由题型因动点而产生的直角三角形问题如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4） 点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ
7、（1）点 （填M或N）能到达终点；（2）求AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由解：（1）点 M 1分（2）经过t秒时， 则，= 当时，S的值最大 （3）存在设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则，= 若，则是等腰Rt底边上的高是底边的中线 点的坐标为（1，0） 若，此时与重合点的坐标为（2，0）题型因动点而产生的相似形问题如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m0)与x 轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛
8、物线C1过点M(2，2)，求实数m的值(2)在(1)的条件下，求BCE 的面积(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角与BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）把M(2，2)代入y=-(x+2)(x-m)即可求出m；（2）求出B、C、E三点坐标即可求出SBCE； （3）利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质可探索解题思路；（4）分两种情况来探讨解题过程，最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题.【答案】解：（1）依题意把M(2，2)代入y
9、=-(x+2)(x-m)得：2=-(2+2)(2-m)，解得 m=4. （2）由y=0得：-(x+2)(x-4)=0 得 x1=-2，x2=4 B（-2，0） C（4，0）. 由x=0得：y=2 E（0，2） SBCE=BCOE=62=6. （3）当m=4时，C1的对称轴为x=（-2+4）=1，点B、C关于直线x=1对称.连EC交对称轴于点H，则H点使得BH+EH最小.设直线EC的解析式为y=kx+b，把E（0，2）、C（4，0）代入得y=-x+2，把x=1代入得H（1，）.（4）分两种情况：当BECBCF时，则EBC=CBF=45， 即，作FTx轴于点T，可设F（x，-x-2）（x0），则-
10、x-2=-(x+2)(x-m) x+20 x=2m，F（2m，-2m -2）.BF=，BE=，BC=m+2 . 解得m=，又m0，m=.当BECFCB时，则，EBC=CFB，BTFCOE，可设F（x，- （x+2）（x0），- （x+2）=-(x+2)(x-m)，x+20 x=m+2，F（m+2，- ），EC=，BC=m+2，BF=，整理得0=16，显然不成立.综上：在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角与BCE相似，m=.设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且ACB=90 (1)求m的值和抛物线的解析式； (2)已知点D(1，n
11、 )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与AEB相似，求点P的坐标1 如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由例1.解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标
12、x=2代入得y=-3，C（2，-3）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是2、如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由2.解：（1）由题意知点的坐标为设的函数关系式为又点在抛物线上，解得抛物线的函数关系式为（或）（2）与始终关于轴对称， 与轴平行设点的横坐标为，则其纵坐标为，即当时，解得当时，解得当点运动到或或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形（3）满足条件的点不存在理由如下：若存在满足条件的点在上，则，（或），过点作于点，可得，点的坐标为但是，当时，不存在这样的点构成满足条件的直角三角形
