第二章 控制系统的数学模型1

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1、1,第二章 线性系统的数学模型,系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及系统内部各物理量之间关系的数学表达。在动态过程中，系统各变量之间的关系可用微分方程来描述，称为动态模型。常用的动态模型有微分方程、传递函数、方框图、信号流图以及频率特性。系统数学模型的建立一般采用解析法和实验辨识法，本章主要讨论如何用解析法来建立线性定常系统的微分方程、传递函数以及方框图、信号流图等数学模型。,建模方法 ：分析法、实验法,分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。,利用物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、能量

2、守恒定律和热力学定律等。,实验法（黑箱法）： 人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。,黑匣子,输入（充分激励）,输出（测量结果）,4,第二章 线性系统的数学模型, 2-1 系统的微分方程 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复域数学模型 2-4 控制系统的结构图和信号流图 2-5 反馈控制系统的传递函数,5, 2-1 系统的微分方程,在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制 条件下，都可以用线性微分方程来描述。 用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系统输出、输入关

3、系的微分方程。,第一步：将系统分成若干个环节，确定输入量和输出量，列写各环节的输出输入的数学表达式。,第三步：(进行标准化)输入有关的项放在方程的右端，与输出有关的项放在方程左端，方程两端变量的导数均按降幂排列。,电气系统,电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运放 等元件组成的电路。像电阻、电感、电容这类本身不含 电源的器件，称为无源器件，像运放这种本身包含电源 的器件称为有源器件。仅有无源器件组成的电气网络称 为无源网络。如果包含有源器件，则称为有源网络。 列写电气网络的微分方程时都要用到基尔霍夫电流定律 和电压定律，用下式表示：,构造电气元器件理想模型的出发点,实际电气元器件一般都

4、存在电能的消耗现象和电磁能的存贮现象；电能的消耗发生在器件的所有导体通路之中，电磁能则存贮在器件的电场和磁场中。一般情况下这些现象同时存在，且发生在整个器件中，交织在一起。由于这些能量的表示与计算完全不同，若要对电路进行定量的分析计算，就必须根据某种类型器件中所包含的几种能量的主次关系加以取舍，建立起能反映其主要性质的器件模型，从而实现对器件的定量分析。这就是对实际器件的“理想化”。 所谓“理想化”，指的是：假定这些现象可以分别研究，从而可以用所谓的“集总参数元件（lumped parameter element）”(简称集总元件)来构成模型。这一假设称为集总假设。,集总元件,每一种集总元件都

5、只表示一种基本现象，而且可用数学 方法精确定义。根据这一思想，建立下列实际器件的理想 模型，如： 电阻：一种只表示消耗电能的元件，因而是一种集总元件 电容：一种只表示存贮电场能量的元件，也是一种集总元件 电感：一种只表示存贮磁场能量的元件，也是一种集总元件 电压源和电流源：均表示只提供电能的元件，也是一类集总 元件。 上述“集总”的含义是：器件中的电场和磁场可以分隔， 并分别加以表征和研究。更深一步来看，意味着器件中交织 存在的电场和磁场之间不存在相互作用。但实际上，若电场 与磁场间存在相互作用时将产生电磁波，这样电路中的一部 分能量将通过辐射而损失掉。,机械系统,机械系统指的是存在机械运动的

6、装置，遵循物理学 中的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称 为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。 作直线运动的物体遵循的基本力学定律是牛顿第二定律 作转动的物体遵循的基本力学定律是牛顿转动定律,机械系统摩擦力,运动的物体一般都要受到摩擦力的作用，摩擦力Fc可表示成 其中， 称为粘性摩擦力，与运动速度成正比，f 为粘性系数，Ff性为恒值摩擦力，也叫库仑力。,转动的物体，摩擦力的作用体现为如下的摩擦力矩Tc: 其中， 称为粘性摩擦力矩，与角速度成正比， Kc 为粘性阻尼系数，Tf为恒值摩擦力矩。,例2-8 电气系统 解：明确输入量 ur，输出量uc 第一步：环节数学表达式,二阶线

7、性微分方程,第二步：消去中间变量,例2-9 机械系统,列写质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程。 解：设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x(t)、dx(t)/dt、 d2x(t)/dt2 由牛顿运动定律，有,阻尼器是产生粘性摩擦的阻尼 装置，其阻力与运动方向相反 与运动速度成正比。,13,列写微分方程要注意： 确切反映系统的动态性能，忽略次要因素，简化分析计算。 在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为 c(t)为输出量，r(t)为输入量，系数 ai (i=0,1,n)和bj (j=0,1,m)是与系统结构和参数有关的常系数，对实际系统有nm。,14,用拉普拉斯变

8、换求解线性微分方程,建立了系统的微分方程以后，对微分方程求解就可以得到表示系统动态性能的时间响应。求解微分方程可以用经典方法或借助于计算机进行，也可以采用拉普拉斯变换法。 一、拉普拉斯变换定义 设有函数f(t),t为实变量，s=+j为复变量。如果线性积分 存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后的函数是复变量s的函数，记作F(s)或Lf(t)即,称F(s)为f(t) 的象函数，f(t)为F(s) 的原函数。,15,二、几种典型函数的拉氏变换 阶跃函数 阶跃函数的定义是,对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一 个恒值输入量。其图形如下图所示。 若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作

9、1(t)即 阶跃函数的拉氏变换为 单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。,16,斜坡函数 斜坡函数也称等速度函数。其定义为 输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，其图形如下图所示。 若A=1,则称之为单位斜坡函数。 斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。 斜坡函数的拉氏变换为 单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s2,17,抛物线函数 抛物线函数也称加速度函数，其定义为 输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号，其图形如下图所示。 若A=1/2,称之为单位抛物线函数。 抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。 抛物线函数的拉氏变换为 单位抛物线函数的拉氏变换

10、为R(s)=1/s3,18,脉冲函数 脉冲函数的定义为 脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度 极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。 脉冲函数的积分，即脉冲的面积为 当A=1时，即面积为1的脉冲函数称 为单位脉冲函数，记为（t）,19,（t）函数的图形如下图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为 单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。,20,正弦函数 正弦函数也称谐波函数，表达式为 用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为 以上着重介绍了几种常用函数的拉氏变换。,欧拉公式,工程

11、上典型函数的拉氏变换(p23,p24),时域上函数：f(t) 脉冲 单位阶跃 速度 加速度 指数 正弦,复数（S）域：F（s） 1,22,三、拉氏变换的基本定理 线性定理 设F1(s)= Lf1(t),F2(s)= Lf2(t),a和b为常数，则有 Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) =aF1(s)+bF2(s) 该定理表示： 常数与原函数乘积的拉氏变换等于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。 若干原函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换之代数和。 该定理利用拉氏变换的基本定义就可证明。,23,微分定理,在这种意义下，s可以被看成微分算子,24,（三）积分定理,在这种

12、意义下，1/s可以被看成积分算子,25,时域中的位移定理,复域中的位移定理,（四）位移定理,26,（五）初值定理,若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的初值为： 即原函数f(t)在自变量从正向趋于0时的极限值，取决于其象函数F(s)在自变量趋于无穷大时的极限值。,27,（六）终值定理,若函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且F(s)在复平面 右半部及除原点外的虚轴上解析，则有终值定理 注意：终值定理只适用于 sF(s)在复 平面右半部（包括虚轴上)没有极点的情况。如,28,（七）相似定理 （八）卷积定理,29,四.拉普拉斯反变换,根据象函数F(s)求原函数f(t)称拉氏反变

13、换，用算子L-1表示，数学关系为,30,31,F(s)只含有不相同的极点,32,33,F(s)包含共轭复数极点 若F(s)的极点中含有复数极点，仍可用上面单极点的处理方法来分解F(s)，只是所求Ai是复数。,例 求F(s)=s-3/(s2+2s+2)的原函数f(t),解：将F(s)的分母因式分解为：,另解：,35,F(s)中包含有多重极点,36,37,38,五. 用拉普拉斯变换求解微分方程,用拉氏变换求解微分方程的一般步骤是： 对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，使微分方程变成以s为变量的代数方程； 求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式； 将象函数展开成部分分式； 对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的解。 例 28 已知系统的微分方程为,39,解： 对微分方程进行拉氏变换得 用经典方法求解微分方程时，要利用初始条件确定积分时间常数，拉氏变换求解微分方程可省去这一步，因为初始条件已包含在拉氏变换中。若初始条件为零，则将s代替微分算子 d/dt即可。,