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1、2013年暑期初中一年级数学培优资料 要学好数学，须长期坚持不懈！特别要重视数学思维的培养！专题一：一元一次方程知识点一：一元一次方程的概念例1、 已知下列各式：2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x3y4z0；8；x0。其中方程的个数是()A、5B、6C、7D、8举一反三：【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程： （1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)【变式2】若关于的方程是一个一元一次方程，则_【变式3】若关于的方程是一元一次方程，则_【变式4】若关于的方程是一元一次方程，则_【变式5】若关于的方程是一元一次方程，则
2、_【变式6】已知：(a3)(2a5)x(a3)y60是关于x的一元一次方程，则a=_知识点二：方程的解 题型一：已知方程的解，求未知常数例2、当取何值时，关于的方程的解为？举一反三：已知（1）当时，求的值；（2）当时，求的值题型二：已知一方程的解，求另一方程的解例3、已知是关于的方程的解，解关于的方程：题型三：同解问题例4、方程与的解相同，求的值.举一反三：【变式1】已知方程与方程的解相同（1）求的值；（2）求代数式的值【变式2】已知方程与方程的解相同，求k 的值.【变式3】方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值。题型四：已知方程解的情况，求未知常数的取值范围例5、要使方程ax=a的解为
3、1,则( )A.a可取任何有理数 B.a0 C. a0 D.a0例6、关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a的值为( )A. 2 B. 3 C.1或2 D.2或3举一反三：已知方程2ax=(a1)x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.知识点三：等式的性质（方程变形解方程的重要依据）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为 ，如方程：=1.6，将其化为： =1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。例7、下列等式变形正确的是( )A.若,则 B. 若,则C.若,则 D. 若,则举一反三：1、若,下列变形不一定正确的是( )A. B. C.
4、 D. 2、下列等式变形错误的是( ) A.由a=b得a+5=b+5; B.由a=b得6a=6b ; C.由x+2=y+2得x=y; D.由x3=3y得x=y3、运用等式性质进行的变形,正确的是( ) A.如果a=b 那么a+c=b-c; B.如果6a=b-6 那么a=b; C.如果a=b 那么a3=b3 ; D.如果a2=3a 那么a=3 4、下列等式变形错误的是( ) A.由a=b得a+5=b+5; B.由a=b得; C.由x+2=y+2得x=y; D.由-3x=-3y得x=-y5、运用等式性质进行的变形,正确的是( ) A.如果a=b,那么a+c=b-c; B.如果,那么a=b; C.如
5、果a=b,那么; D.如果a2=3a,那么a=36、如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（）A. ma+1=mb+1 B.ma3=mb3 C. a=b D. 7、运用等式性质进行的变形,正确的是( )。 A.如果a=b,那么a+c=b-c; B.如果,那么a=b; C.如果a=b,那么 D.如果,那么a=3知识点四：解一元一次方程的一般步骤：变形名称具体做法变形依据去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住：移项要变号) 合并同类项把方程化成axb(a0)的形式 系数化成1在
6、方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x 例8、（用常规方法）解方程：（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程例9、解方程：思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为 ，常数项和为 ，故直接移项凑成 比先去分母简单。解：举一反三：【变式】解方程：2x5解：（二）巧用观察法解方程例10、解方程：（三）巧去括号法解方程含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。例11、解方程：思路点拨：因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从 向 去括号可以使计算简单。解：举一反三：【变式】解方程：解：（四）运用拆项法解方程在解有分母的一元一次方
7、程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。例12、解方程：思路点拨：注意到_，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。解：（五）巧去分母解方程当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。例13、解方程：1解：（六）巧组合解方程例14、解方程：思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第 项中的分母有公约数 ，左边的第 项和右边的第一项的分母有公约数 ，移项局部通
8、分化简，可简化解题过程。解：（七）巧解含有绝对值的方程解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|m，则_。例15、解方程：|x2|30解法一：解法二：举一反三：【变式1】5|x|163|x|4解：【变式2】 解：解一元一次方程常用的技巧有：（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。知识
9、点五：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用题型一：方程有唯一解例16、若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.题型二：方程有无数解例17、关于x的方程3x4=abx有无穷多个解,则a. b的值应是( )A. a=4, b=3 B.a=4, b=3 C. a=4 , b=3 D.a .b可取任意数题型三：方程无解例18、已知关于x的方程无解，则a的值是（ ） A.1 B.-1 C.1 D.不等于1的数举一反三：1、已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值2、若关于x的方程 2x1 +m=0无解,则m=_.3.(1)关
10、于x的方程4k(x+2)1=2x无解,求k的值; (2)关于x的方程kxk=2x5的解为正数,求k的取值范围.4、已知关于x的方程a(2x1)=4x+3b,当a、b为何值时: (1)方程有唯一解? (2)方程有无数解? (3)方程没有解?总结升华： 理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况(1)a0时，方程有唯一解x=； (2)a=0，b=0时，方程有无数个解； (3)a=0，b0时，方程无解。知识点六：一元一次方程的应用常见的一些等量关系类型基本数量关系等量关系(1)和、差、倍、分问题较大量较小量多余量总量倍数倍量抓住关键性词语(2)等积变形问题变形前后体积相等(3)行程问题相遇问题路程速度
11、时间甲走的路程乙走的路程两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程两地距离追者所走的路程顺逆流问题顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度顺流的距离逆流的距离(4)劳力调配问题从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(5)工程问题工作总量工作效率工作时间各部分工作量之和1(6)利润率问题商品利润 商品利润率 100售价进价(1利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为 抓住数字所在的位置，新数与原数之间的关系(8)储蓄问题利息本金利率期数本息和本金利息本金本金利率期数(1利息税率)(9)按比例分配问题甲乙丙abc全部数量各种成分的数量之和(设一份为x)(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大 ；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大 。日历中的数a的取值范围是_，且都是正整数题型一：和、差、倍、分问题例19、牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只羊从了、后面跟上来，他对牧羊人说;“你赶的这群羊大概有100只吧。”牧羊人说：“如果给
