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1、第4章 插值法与曲线拟合,南京中医药大学信息技术学院 制作:张季,第4章 插值法与曲线拟合,4.1 Lagrange插值法 4.2 埃特金算法 4.3 Newton插值法 4.4 差分与等距结点插值 4.5 埃尔米特插值法 4.6 有理分式插值法 4.7 函数逼近 4.8 曲线拟合,内容提要：,插值是数值逼近的重要方法之一。是根据给定的一组自变量和函数值，求取未给出的结点处函数值的近似值。本章主要介绍拉格朗日插值，牛顿插值和分段低阶多项式插值方法。,概述,设 是在 上有一定光滑性的函数， 是 上 个互不相同的点， 在这 个点上的取值分别 。所谓的插值法就是求一个形式简单的函数 ,使得 i=0,
2、1,2,n 通常称给定的点 为插值节点，称函数 为函数 关于插值节点xi的插值函数(插值多项式)，称 为被插函数。,插值多项式的存在唯一性,设函数 在区间 上的代数插值多项式是 且满足 ，其中,只要系数 确定，则 就确定了。,求a0,a1,an可通过求解此线性方程组，一般而言，所要求的n次多项式的解是唯一的，证明此唯一性。,证明： 设有两个多项式Pn(x)和Qn(x)都满足插值要求，则对于 R(x)= Pn(x)- Qn(x) 就有 R(xi)=0, i=0,1,2,n 由此可知其在插值区间上有n+1个零点，R(x)也是一个多项式，而且只是一个n次多项式，由此可断定 R(x)0 也即有 Pn(
3、x)=Qn(x) 即唯一性得证,4.1.1 线性插值,基本思想：在插值区间上，用一次插值多项式近似代替被插函数f(x)来求取非结点处函数值。从几何意义上就是在插值区间上用一条直线近似地代替被插函数曲线f(x)。,插值公式： 其中： Lk(x), Lk+1(x)称为线性插值基函数，P1(x)称为线性插值函数，也称为线性插值多项式。,程序框图设计,读入x0,x1,y0,y1,读入x,计算L0,计算L1,计算y=y0L0+y1L1,输出y,4.1.2 抛物插值,基本思想：用二次插值多项式P2(x)近似代替被插函数f(x)计算函数值。从几何意义上就是在插值区间上用抛物线近似地代替被插函数曲线f(x)。
4、,插值公式： 其中：,程序框图设计,读入x0,x1,x2,y0,y1,y2,读入x,计算L0,计算L1,计算y=y0L0+y1L1+y2L2,输出y,计算L2,4.1 Lagrange插值方法,设给定函数y=f(x)有n+1个数据点(x0,y0), (x1,y1) , , (xn,yn)。今定义函数,由此可知：,反推：根据给定的条件可知，Li(x0)=0 , Li(x1)=0 , Li(xi-1)=0, Li(xi+1)=0, , Li(xn)=0。则可判定x0, x1, x2, , xi-1, xi+1, ,xn均为方程 Li(x)=0 的根。依据有关定理，有： Li(x)=(x-x0) (
5、x-x1)(x-xi-1) (x-xi+1). (x-xn) 再依据 Li(xi)=1 则有 Li(xi)= (xi-x0) (xi-x1). (xi-xi-1) (xi-xi+1). (xi-xn)=1,已知：Li(x)，若令 则当x=xi时有 上式表明，当x=xi时，Pn(xi)=f(xi)(i=1,2,n),这说明n次多项式Pn(x)满足插值条件，即Pn(x)就是所求的插值多项式。一般称形如Pn(x)的多项式为拉格朗日插值多项式。,4.1.3 插值余项,用插值多项式Pn(x)作为被插函数f(x)的逼近，除了在插值节点处以外， Pn(x) 与被插函数f(x)是有差别的，这个差别可以用函数：
6、 Rn(x)=f(x)- Pn(x) 来表示，并且称之为插值余项。,4.2 分段插值,根据所给条件，选择尽可能小的插值区间，使用低阶的插值（如线性插值和抛物插法进行插值）以获取符合计算精度要求的计算结果。,选择插值结点的原则,应进行内插 插值区间尽可能小,4.2.1 分段线性插值,分段线性插值公式： 其中：,算法设计： 1)当xxn-1时，取i=n，直接使用线性插值公式计算插值结果。 3)当xx1时，则 a.取i=1. b.使i=i+1 c.判断 xxi是否成立，若成立，则直接使用插值公式计算插值结果。否则返回步骤b执行。,4.3.2 分段抛物插值,分段抛物插值公式： 其中：,4.3 Newt
7、on插值方法,差商：,若对于函数y=f(x),有实验数据,那么,一阶差商,二阶差商,n阶差商,差商的性质,性质1： 性质2： 性质3： 性质4： 性质5：,差商的计算,牛顿插值多项式,应用拉格朗日插值时，各阶的插值公式差别很大，低阶插值的结果不能为高阶插值计算所利用，如果在低阶插值计算公式的基础上，加上一项修正项而得到高阶插值公式，就能使计算具有承袭性，这种插值方法就是牛顿插值。,已知函数f(x)有n+1个结点xi(i=0,1,n)及结点处的函数值yi(i=0,1,n)。其中y0可看作函数f(x)的零阶插值多项式，于是有： P0(x)=y0,一次插值多项式：P1(x)=y0+h1(x) h1(
8、x)=c1(x-x0) c1=(y1-y0)/(x1-x0)=fx0,x1 P1(x)=y0+ fx0,x1 (x-x0),二次插值多项式： P2(x)= y0+ fx0,x1 (x-x0)+ fx0,x1,x2 (x-x0)(x-x1),n次插值多项式： ?,设计牛顿插值算法,牛顿插值程序框图,例题,已知x=1,4,9 y=1,2,3 求,4.4 等距结点插值,差分：,一般的，n阶差分递推地定义如下： 即： 并规定 ，称之为零阶差分。,设等距结点xi=x0+ih(i=0, )相应的函数值为yi=f(xi),并定义 为其一阶差分。,向后差分：,差分的性质,性质1 性质2 性质3 性质4,等距结
9、点插值公式,将牛顿插值多项式中各阶差商用相应差分代替，就可以得到相应的等距结点插值公式。 牛顿前插公式： 牛顿后插公式：,向前差分递推表,程序框图,使用等距结点插值法求插值结点x处的函数值,输入,使用等距结点插值法求插值结点x处的函数值,输出,升阶,使ai=fi,y=y1,在i循环中计算差分 fi=ai-ai-1,计算连乘积q=q(t-k+1) 计算阶乘值p=pk,计算插值结果y1=y1+qf(k)/p,判断 |y-y1|E是否成立， 若成立，则程序转去输出并结束，若不成立，则返回步骤1执行,求cos0.048和cos0.575之值差分表如下：,计算cos0.048时，用牛顿向前插值公式，取,
10、代入公式得：,计算cos0.575时，用牛顿向后插值公式，取,代入公式得：,小结,本章按基本思想，计算公式、算法设计、程序框图设计和源程序的顺序分别介绍了线性插值、抛物插值、一般拉格朗日插值、分段线性和抛物插值、牛顿插值等插值方法。,主要包括两个部分： 1）线性插值、抛物插值、一般拉格朗日插值、分段线性和抛物插值均属于拉格朗日插值法。这类方法的特点是只要给定了插值结点，即能方便地写出插值公式。缺点是低阶的插值计算结果不能供高阶插值计算所利用，阶数越高计算公式越繁琐，不便使用。一般在插值阶数较低时，较多地使用拉格朗日插值。 2）牛顿插值方法的特点是低阶插值的结果能供高阶插值计算所利用，即计算上有承袭性，因此特别适用于给出插值计算精度的情况。程序依据计算精度的要求逐步升阶，提高插值计算精度直到满足计算精度要求为止。,习题,用C语言、matlab写出线性插值、抛物插值、一般拉格朗日插值的源程序代码。 用C语言、matlab写出牛顿插值的源程序代码。 用C语言、matlab写出分段线性插值、分段抛物插值的源程序代码。,
