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1、3.1 有限元法的解题思想,有限单元法的基本思想是将一个连续的求解域离散化，即将连续体划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为结点，再把作用于各单元上的外载荷按照虚功原理进行载荷移置，即转化成单元的等效结点载荷【结构离散】；在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性【单元特性析】；然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知数的方程组【整体分析】 ，求解这个方程组，得出各结点的未知参数，利用插值函数求出近似解【求解】。,构成有限元系统的3个基本要素是节点、单元和自由度。 （1）节点（Node
2、）：节点是构成有限元系统的基本对象，也就是这个工程系统中的最基本点，它包含了坐标位置以及具有物理意义的自由度信息。 （2）单元（Element）：单元是由节点与节点相连而成，是构成有限元系统的基础。一个有限元系统必须有至少一个以上的单元。单元与单元之间由各节点相互连接，在具有不同特性的材料和不同的具体结构当中，可选用不同种类的单元，单元中包含了物理对象的各种特性。因此单元的选择极为重要，决定求解效率和精度。 （3）自由度(DOF,Degree of Freemdom）：包括系统的自由度和节点自由度。在分析中需要对整个系统的自由度进行适当的约束,系统中每个节点都有各自的节点坐标系和对应的节点自由
3、度，不同单元上的节点具有不同的自由度。,3.1.1 有限元法的基本要素,结构离散化是有限单元法分析的基本前提，也是有限单元法解解题的重要步骤。 3.3.1 结构离散化的主要任务是： （1）选择合适的单元类型，把结构分割成有限个单元； （2）把结构边界上的约束，用适当的结点约束来代替； （3）把作用在结构上的非结点载荷等效地移置为结点载荷； 3.3.2 单元类型 单元是具有单元特性的，如单元结构、单元结点数、结点自由度数、单元刚度矩阵等，不同的单元有不同的单元特性。,3.1.2 结构离散化,设置不同单元类型的目的主要是用于求解不同工程问题，同时也兼顾求解精度。到目前为止，共设计开发了百余种单元，
4、机械工程问题中设计的单元大致可以分为： （1）自然离散问题单元； 自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构（二力杆）的离散化，通常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情况），以传递负荷。,备注：桁架问题（杆单元问题）需要两个坐标系来描述。固定的整体坐标系XY或XYZ： （1）描述每个节点的位置，使用角度记录每个杆件（单元）的方向；施加约束及载荷；（3）表示问题的解。单元坐标系用来描述杆件的轴向效应。杆单元LINK每个节点只有平动自由度。,备注：梁单元BEAM通常要承受横向载荷的作用，这种荷载会引起弯曲。框架是各构件用焊接或螺
5、栓刚接起来的结构，因此每个节点有平动位移和转角。框架单元也需要两个参照坐标系，即整体坐标系和单元坐标系。,平面杆系结构,空间杆系结构,（2）平面问题单元； 在弹性平面问题中，常用的单元有：3结点三角形单元、4结点矩形单元、6结点三角形单元、4结点任意四边形单元、8结点曲边四边形单元，如图所示,（3）轴对称问题单元； 对于轴对称问题，一般采用环单元。最常用的是3结点三角形环单元和4结点四边形环单元。同样，为模拟曲线边界及提高插值函数精度，还可以采用更多结点的环单元，如8结点四边形环单元。如图所示,（4）空间问题单元 在空间问题中，采用的是空间单元，常用的有四面体单元和六面体单元。如4结点四面体单
6、元、8结点六面体单元、20结点六面体单元，如图所示。, 用单元划分有限元网格应遵循的原则 任一单元的顶点必须同时也是相邻单元的顶点，而不能是相邻单元的内点；单元之间互不重叠，也没有间隙。 同一单元的各边长（或各顶角）不应相差太大，亦即单元划分中不应出现太大的钝角或过小的锐角。否则在计算中会出现较大的误差。为使整个求解区域计算结果的精度大体一致，当划分单元时其大小尽量不要相差太悬殊； 单元数目应根据精度要求和计算机容量来确定。在保证精度的前提下，力求采用较少的单元。为此，当划分单元：应充分利用结构的特点，如对称性、循环对称性等，从原结构中取出一部分进行分析；采用密不同的网格剖分，对应力变化急剧的
7、区域可分细一些，应力变化平缓的区域可以分粗一些；对于大型复杂结构，可以采用分步计算的方法，即先用比较均匀的粗网格计算一次，然后根据计算结果，在局部区域再细分单元，进行第二次计算，或者采用子结构法；,（4）不要把不同材料特性的区域划在同一单元里。如平面问题中 物体厚度突变位置；不同材料的过渡结合区等。 3.3.4 施加约束 任何结构都有其承载基础，承载基础是一个固定不动的实体，它不仅承受结构传来的载荷，而且约束了结构的方向位移。施加约束就是在将结构物理模型转化为有限元模型时对承载基础的表达，目的是防止结构有限元模型产生刚体位移。有限元中实施约束就是客观地对与承载基础的结点实施方向约束，并将其方向
8、位移置为0或某个值，即所谓的约束边界条件。如下图31所示，对于结点1与2有，u1=v1=u2=v2=0,3.3.5 非结点载荷等效移置 在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。 单元非节点载荷等效移置与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。,整个结构的非结点载荷的移置按单元进行，即将各单元所受的非结点外载荷分别
9、移置到各单元相应的结点上；然后，在公共结点处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵。因此这里只需介绍单元载荷移置问题。 单元载荷移置所遵循的原则是能量等效原则，即单元的实际载荷与移置后的结点载荷在相应的虚位移上所做的功相等。 单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载荷移置普遍公式化，这种方法适用于各种类型的单元。由于普遍公式化其表达公式 与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。但当单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面3结点三角形单元，载荷移置的普遍公式化就简化成一种最简单的
10、移置方法，即所谓的直接法，当然这种方法只适用于具有线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法进行对比分析，在后面单元分析时一并介绍,3.1.3 单元特性分析,在位移法有限元中，首先要针对所选定的单元类型选择一简单多项式函数近似表达单元内各位移分量的分布规律，并把单元内任意点的位移分量写成统一形式的结点位移插值函数形式，从而通过单元结点位移，表达出单元内任意点的位移、应变和应力。其次，利用虚功原理或变分原理建立单元结点力与结点位移之间的特性关系，称为单元有限元方程。该方程可用矩阵形式表示为： Fe=Kee 注：角标e表示单元element之意 式中：F单元结点载荷列阵；K单元刚度矩阵；单元
11、结点位移列阵 单元刚度矩阵K反映了单元结点力与单元结点位移之间的特性关系。不难看出，建立单元刚度矩阵K是单元分析的核心，也是单元分析的主要任务，事实上也是整个有限元分析中的关键性步骤。, 选择单元位移模式 在用有限元法进行结构分析中，就研究方法而言一般有三种。第一种是选择结点位移作为基本未知量，在选择适当的位移函数的基础上，进行单元的力学特性分析，进而建立单元的刚度矩阵和总体刚度矩阵，然后解方程组求出结点位移，再由结点位移求得应力，这种方法称为位移法；第二种是选择结点力作为基本未知量，解出结点力后，再计算结点位移和应力，这种方法称为力法；第三种是取一部分结点位移和一部分结点力作为基本位置，称为
12、混合法。由于位移法比较简单，易于实现计算自动化，所以大多采用位移法。 当采用位移法时，物体和结构离散化之后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等由结点位移来表示。对单元中位移,的分布一般采用能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限法中我们将位移表示为坐标变量的简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数。它反映了单元的位移形态并决定着单元的力学特性。由于这种函数关系在解题前是未知的，而在单元分析时又必须用到，为此可以事先假定一个函数，人为规定位移分量为坐标的某种函数。为保证选择的位移函数使有限元收敛于真实解，位移函数必须满足以下4个条件 (a)位移函数必须包含单元的常量应变：弹性体的应变
13、可以分为与坐标无关的常量应变及随坐标变化的当量应变。当单元尺寸逐渐缩小时，单元的应变将趋于常量，因此在位移函数中必须包含有常量应变。 (b)位移函数必须包含单元的刚体位移。所谓刚体位移是指弹性体不发生应变时的位移，这是弹性体可能发生的一种基本的位移。因此，单元的位移函数既要能够描述单元自身的应变，又要能够描述单元的刚体位移。,(c)位移函数在单元内部必须是连续函数，即单元内部的连续性。 (d)位移函数应使相邻单元间的位移协调，即单元边界的连续性。即在交界面上满足变形协调条件，变形后既不开裂，也不重叠，从而保证了整个结构的位移连续。 上述4个条件是有限元解收敛于真实解的充分条件，即当结构的单元划
14、分得越来越精细时，近似的数值解将收敛于真实解。 以这样的位移函数构成的单元称为协调元。在有限元法中，有些单元的位移函数只满足前3项条件，并不满足单元边界连续性要求，实践证明，它们的有限元解也可能收敛于真实解，因此前3项条件是有限元解收敛于真实解的必要条件。显然假定的位移函数它在结点上的值应等于结点位移；,单元中的位移模式一般采用以广义坐标为待定系数的有限项多项式作为近似函数。因为多项式的数学处理比较容易，尤其便于微分与积分运算。另外任意阶次的多项式可以近似地表示真实解。当然，只有无限次的多项式才与真实解相对应。但为了实用，通常只取有限次多项式来近似。如3结点三角形单元位移函数的广义坐标表示为：
15、,很显然，3节点三角形单元内任意一点的位移是坐标变量的线性函数。有限项多项式的选取得原则应考虑以下几点： （1）位移函数的项数与单元节点数相同，即广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等。如3结点三角形单元有6个自由度（结点位移），因此位移函数有三项，广义坐标个数应取6个，即两个方向的位移u,v各取三项多项式。,（2）选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移函数中的常数项和一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性。当划分的单元数趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变应趋于常应变。 （3）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说对于单元每边具有两个端结
16、点的应保证一次完全多项式；每边有3个结点的应取二次完全多项式。若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。,单元组集即总体分析，只有通过总体分析建立的联立方程组才能求解出各节点未知参数。单元组集的方法是利用结构力的平衡条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程，即整体刚度方程。,3.1.4 单元组集,根据方程组的具体特点选择合适的计算方法，解有限元方程(2.1)得出结构结点位移。进而通过各单元结点位移可求出单元内任意一点的位移、应变、应力。 通过上述分析可以看出，有限元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。只有通过整体有限元方程才能求解出全部结点位移。,3.1.5 解结构有限元方程，求解未知结点位移,由于有限元法用于杆系，具有十分清晰的物理意义，所以，为了便于说明有限元解题的基本思路与过程，又能说明刚度矩阵的概念，本例以
