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1、理数 课标版,第六节 双曲线,1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2| 且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 , 两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 . 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a0,c0.,教材研读,(1)当 2a|F1F2| 时,P点不存在.,2.双曲线的标准方程和几何性质,1.双曲线的方程为x2-2y2=1,则它的右焦点的坐标为 ( ) A. B. C. D.( ,0) 答案 C 原方程可化为 - =1, a2=1,b2= ,c2=a2+b2= ,右焦点的坐标
2、为 .,2.(2015福建,3,5分)若双曲线E: - =1的左、右焦点分别为F1、F2,点P 在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 答案 B |PF1|=3a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得 |PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.,3.(2016天津,4,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的焦距为2 ,且双曲 线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为 ( ) A. -y2=1 B.x2- =1 C. - =1 D. - =1 答案 A 由题意可得 解得a=2,则b=1,所以双曲
3、线的方程为 -y2=1,故选A.,4.若双曲线 - =1的离心率e(1,2),则m的取值范围为 . 答案 (0,15) 解析 e= = ,1 2,即55+m20,故0m15.,5.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与 -x2=1具有相同渐近 线,则C的方程为 ;渐近线方程为 . 答案 - =1;y=2x 解析 根据题意,可设双曲线C: -x2=(0),将(2,2)代入双曲线C的方 程得=-3,C的方程为 - =1.渐近线方程为y=2x.,考点一 双曲线的定义及标准方程 典例1 (1)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1| =2|PF
4、2|,则cosF1PF2= ( ) A. B. C. D. (2)已知双曲线 - =1(a0,b0)和椭圆 + =1有相同的焦点,且双曲 线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .,考点突破,答案 (1)C (2) - =1 解析 (1)双曲线方程可化为 - =1, a=b= ,c=2.,由 得|PF1|=4 ,|PF2|=2 , 由余弦定理得cosF1PF2= = .故选C. (2)由题意易得椭圆焦点为( ,0),离心率为 , 在双曲线中,有a2+b2=7且e= = , 结合a2+b2=c2,解得a2=4,b2=3, 双曲线的方程为 - =1.,方法技巧 (1)在双曲线的定义中要注意
5、双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即 “到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一个常数,且该常数必须小于 两定点间的距离”.若去掉定义中的“绝对值”,则点的轨迹是双曲线 的一支.同时注意定义的转化应用. (2)求双曲线方程时,一是注意标准形式的判断;二是注意a、b、c的关 系.,1-1 (2016课标全国,5,5分)已知方程 - =1表示双曲线,且 该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 ( ) A.(-1,3) B.(-1, ) C.(0,3) D.(0, ),答案 A 原方程表示双曲线,且焦距为4, 或 由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A.,1-2 (2016河北唐山统一考试
6、)焦点在x轴上,焦距为10,且与双曲线 -x2 =1有相同渐近线的双曲线的标准方程是 . 答案 - =1 解析 设所求双曲线的标准方程为 -x2=-(0),即 - =1,则有4+ =25,解得=5,所以所求双曲线的标准方程为 - =1.,变式1-3 若将本例(1)中的条件“|PF1|=2|PF2|”改为“F1PF2=60”, 则F1PF2的面积是多少? 解析 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 , 在F1PF2中,由余弦定理,得 cosF1PF2= = , 所以|PF1|PF2|=8, 所以 = |PF1|PF2|sin 60=2 .,考点二 双曲线的几何性质 命题
7、角度一 双曲线的离心率问题 典例2 (2016课标全国,11,5分)已知F1,F2是双曲线E: - =1的左,右 焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1= ,则E的离心率为 ( ) A. B. C. D.2 答案 A 解析 解法一:由MF1x轴,可得M ,|MF1|= .由sinMF2F1= , 可得cosMF2F1= = ,又tanMF2F1= = , = , b2= ac,c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2- ac=0e2- e-1=0,e= .,故选A. 解法二:由MF1x轴,得M ,|MF1|= ,由双曲线的定义可得|MF2| =2a+|MF1|=2a+ ,又s
8、inMF2F1= = = a2=b2a=b,e= = .故选A.,命题角度二 双曲线的渐近线问题 典例3 (2016广东广州模拟)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点到 左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,则其渐近线方程为 ( ) A.2xy=0 B.x2y=0 C.4x3y=0 D.3x4y=0 答案 C 解析 设右焦点为F(c,0),且F与双曲线一条渐近线y= x的距离为d,则d = =b,易知右焦点到左顶点的距离为a+c,又右焦点到左顶点的距 离等于它到渐近线距离的2倍,所以a+c=2b.平方得(a+c)2=4b2=4(c2-a2),则 a= c,b= c,双曲线的渐近线方程为y
9、= x= x,即4x3y=0.故选C.,命题角度三 离心率与渐近线的综合问题 典例4 设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与 该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 设双曲线的方程为 - =1(a0,b0),设F(c,0),B(0,b),则kBF=- . 又双曲线渐近线的斜率k= ,直线BF与一条渐近线垂直,- =-1, b2=ac. 又a2+b2=c2, c2-ac-a2=0,e2-e-1=0, e= ,又e1,e= ,故选D.,规律总结 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法:一种是直接建立e的关系 式求e或
10、e的范围;另一种是建立a,b,c的齐次关系式,将b用a,c表示,令两 边同除以a或a2化为e的关系式,进而求解. (2)方程 - =1与 - =1,当a1+b1=a2+b2时焦距相等,当 = 时渐近 线相同. (3)双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为 - =0.,2-1 点F是双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶 点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若ABE是锐角三 角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( ),A.(1,+) B.(1,2) C.(1,1+ ) D.(2,1+ ) 答案 B 不妨设点A在x轴上方,如图,由题意知A点的纵坐标为
11、,若 ABE是锐角三角形,则必有AEF1,1e2.,2-2 (2015天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为F(2, 0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1 答案 D 由题意知,双曲线的渐近线方程为y= x,即bxay=0,因为双 曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以 = ,由双曲线的一个焦 点为F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|= ,所以b2=3,所以a2=1, 故双曲线的方程为x2- =1,故选D.,2-3 若双曲线 - =1的离心率为 ,
12、则其渐近线方程为( ) A.y=2x B.y= x C.y= x D.y= x 答案 B 由离心率为 ,可知 = ,c2=a2+b2,b= a,因此双曲线 的渐近线方程为y= x= x,故选B.,考点三 直线与双曲线的位置关系 典例5 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为( ,0). (1)求该双曲线C的方程; (2)若直线l:y=kx+ 与双曲线C左支有两个不同的交点A,B,求k的取值范 围. 解析 (1)由题意设双曲线方程为 - =1(a0,b0).由已知得a= ,c= 2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线C的方程为 -y2=1. (2)设A(xA,yA),B(
13、xB,yB), 将y=kx+ 代入 -y2=1,得(1-3k2)x2-6 kx-9=0. 由题意知 解得 k1. k的取值范围为 k1.,方法技巧 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的方法:将直线方程代入双曲线方 程,消元,得关于x或y的方程,当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交 于某支上一点;当二次项系数不等于0时,用判别式来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦所在直线斜率的有关问题. 3-1 设A,B分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左,右顶点,双曲线的实轴 长为4 ,焦点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线的方程; (2)已知直线y= x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支 上存在点D,使 + =t ,求t的值及点D的坐标.,解析 (1)由题意知a=2 , 一条渐近线的方程为y= x,即bx-2 y=0, = ,结合a2+b2=c2, 解得b2=3,双曲线的方程为 - =1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), + =t ,x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,将直线方程代入双曲线方程,整理得x2-16 x+84=0, 则x1+x2=16 ,y1+y2=12,点D在双曲线的右支上, 解得 t=4,点D的坐标为(4 ,3).,
