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1、数字信号处理教程课后习题及答案目录第一章 离散时间信号与系统第二章 Z变换第三章 离散傅立叶变换第四章 快速傅立叶变换第五章 数字滤波器的基本结构第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章 数字信号处理中有限字长效应 第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和 请用公式表示。分析：注意卷积和公式中求和式中是哑变量（ 看作参量）， 结果中变量是 , 分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘， 如此题所示，因而要分段求解。2 .已知线性移不变系统的输入为,系统的单位抽样响应 为,
2、试求系统的输出,并画图。 分析：如果是因果序列可表示成=，例如小题（2）为=1，2，3，3，2，1 ; ;卷积和求解时，的分段处理。3 .已知 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 的线性移不变系统的阶跃响应。4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：分析：序列为或时，不一定是周期序列，当整数，则周期为；当无理数 ，则不是周期序列。 5. 设系统差分方程为: 其中为输入,为输出。当边界条件选为 试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?分析：已知边界条件，如果没有限定序列类型（例如因果序列、反因果序列等），则递推求解必须向两个方向进行（n 0及n 0）。 6.
3、试判断: 是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， 移不变性：输入与输出的移位应相同Tx(n-m)=y(n-m)。 7. 试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？ 分析：注意：T x(n) = g(n) x(n) 这一类表达式，若输入移位m,则有x(n)移位变成x(n-m),而g(n)并不移位，但y（n）移位m则x（n）和g(n)均要移位m 。8. 以下序列是系统的单位抽样响应,试说明系统是否是(1)因果的,(2)稳定的？ 分析：注意：0！=1，已知LSI系统的单位抽样响应，可用来判断稳定性，用h（n）=0，n0 来判断因
4、果性。9列出下图系统的差分方程,并按初始条件，求输入为时的输出序列,并画图表示。分析：“信号与系统”课中已学过双边Z变换，此题先写出H(z) 然后利用Z反变换（利用移位定理）在时域递推求解；也可直接求出序列域的差分方程再递推求解注意输入为u(n)。解：系统的等效信号流图为： 10. 设有一系统,其输入输出关系由以下差分方程确定 设系统是因果性的。 试求：分析：小题(a)可用迭代法求解 小题(b)要特别注意卷积后的结果其存在的n值范围。 分析：要想时域抽样后不产生失真的还原出原信号，则抽样频率（）必须大于最高信号频率（ ）的2倍，即满足。解：根据奈奎斯特定理可知：分析：由于可知的非零范围为，h(
5、n-m) 的非零范围为解：按照题意，在区间之外单位抽样响应 皆为零；在区间 之外输入皆为零, 将两不等式相加可得：，在此区间之外，的非零抽样互不重叠，故输出皆为零。由于题中给出输出除了区间之外皆为零，所以有： 第二章 Z变换1 求以下序列的z变换，并画出零极点图和收敛域。分析：Z变换定义，n的取值是的有值范围。Z变换的收敛域是满足的z值范围。 解：(1) 由Z变换的定义可知： 解：(2) 由z变换的定义可知： 解:（3） 解： (4) ， 解：(5) 设 则有 而 因此，收敛域为 ：解：(6) 2 . 假如的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。 分析：解 : 对X(Z)的分子和分
6、母进行因式分解得 X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 X(Z)的收敛域为 : (1) 1/2 | Z | 3/4 ,为双边序列， 请看 (2) | Z | 1/2, 为左边序列，请看 (3) | Z | 3/4 ， 为右边序列， 请看 分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分母都要按z的升幂排列。部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得x（n）。留数定理法：（1）（i）长除法： 所
7、以：（1）(ii)留数定理法： , 设 c为内的逆时针方向闭合曲线： 当时，在c内有一个单极点 则 （1）(iii)部分分式法： 因为 所以 （2）(i). 长除法： ,因而 是左边序列,所以要按的升幂排列： 所以 （2）(ii)留数定理法: 内的逆时针方向闭合曲线 在c外有一个单极点 在c内有一个单极点 综上所述，有：(2)(iii). 部分分式法： 则 因为 则是左边序列 所以 (3)(i). 长除法：因为极点为，由可知,为因果序列, 因而要按 的降幂排列: 则 所以(3)(ii). 留数定理法:内的逆时针方向闭合曲线。 (3)(iii). 部分分式法： 则 所以 4. 有一右边序列 ，其
8、 变换为(a) 将上式作部分分式展开(用 表示)，由展开式求 。(b) 将上式表示成 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。注意：不管哪种表示法最后求出x（n）应该是相同的。解：(a) 因为且x(n)是右边序列 所以 (b) 5对因果序列,初值定理是,如果序列为 时,问相应的定理是什么? ,其z变换为： 分析：这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列初值，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，它们各自由求表达式是不同的，将它们各自的相加即得所求。 若序列的Z变换为： 由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为： 6. 有一信号,它与另
9、两个信号和的 关系是: 其中 ， 已知 ， 分析：解：根据题目所给条件可得： 而 所以 7. 求以下序列的频谱。 (1) (2) (3) (4) 分析：可以先求序列的Z变换再求频率即为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的傅里叶变换解：对题中所给的先进行z变换再求频谱得： 8. 若是因果稳定序列，求证：分析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解再利用的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。证明: 9求的傅里叶变换。分析: 这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。 解：根据傅里叶变换的概念可得： 10. 设是如下图所示的信号的傅里叶变换，不必求出，试完成下列计算： (a) (b) (c) (d) 分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式解：由帕塞瓦尔公式可得： 即由帕塞瓦尔公式可得：11已知有傅里叶变换，用表示下列信号的 傅里叶变换。 (a)(b) (c) 分析：利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。解： (c) 则 而 所以 12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
