《数学建模论文-彩票问题模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模论文-彩票问题模型（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、彩票问题模型摘要近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有传统型（10选6+1）和乐透型（N选M、N选M+1）两类。利用排列组合计算出每一种彩票类型各奖项的中奖概率。对问题一：我们建立了一个模糊综合评价模型。建立综合评价体系，综合评价集为各奖项出现的可能性、奖项、对彩民的吸引力，因素评价集为最高奖项的中奖概率、总的中奖概率、奖项的设置、最高奖项的金额、低项奖总额。采用专家群体判断法确定彩票方案评价指标权重，从而确定模糊转换矩阵。根据各单因素的具体值，求得模糊权向量B。计算出每个方案综合评分矩阵为。最合理的是方案25，综合评分：0.07993
2、8567，名次：1；最不合理的是方案1，综合评分：0.013485406，名次：29。对问题二：我们通过对彩票获利情况进行分析，发现来源于彩票的销量，而彩票的销量决定于彩票对彩民的吸引程度。彩票对彩民的吸引主要由彩票的最高奖项的奖金，中奖概率，和低项奖金的综合决定。经过加权和归一化处理，以彩票对彩民的吸引力为目标函数建立了一个非线性优化模型，利用Lingo11.0编程求得最佳的方案为： 在乐透型 (N选7)中建议方案：方案一等奖比例 二等奖比例三等奖比例四等奖五等奖六等奖七等奖中奖概率最高奖金X值1/280.7180.1410.141320321930.03777170000.23097/39
3、0.5840.2080.2082685179107110.01249171970.2189在乐透型 (N选6+1)中建议方案：方案一等奖比例 二等奖比例三等奖比例四等奖五等奖六等奖七等奖中奖概率最高奖金X值6+1/2194%3%3%4016431.81%6829200.22186+1/3058.40%20.80%20.80%117640658230.47%49988960.2155 问题三：一方面我们从数学的角度说明彩票中大奖是小概率事件，切忌不能孤注一掷想靠彩票来暴富。另一方面又说明买菜票乐趣不少，买的是梦想贡献的是中国福利事业。关键词：彩票方案 模糊综合评价 非线性优化模型 归一化处理一、
4、 问题重述1.1问题背景：近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列。去年全国福利彩票发行968亿元，实现了跨越式发展。福彩发行量3455亿元，年均增长18.9%，为发展社会福利和公益事业作出了新的重要贡献。 1.2问题重述：传统型和乐透型两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：(当期销售总额 总奖
5、金比例) -低项奖总额 单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。二、问题的分析1、对问题一的分析：首先，问题一中的“合理性”可理解为彩票方案中奖项、奖金额的设置，中奖的概率，对彩民的吸引力等各因素是否合理。要对问题1进行求解，关键是要确定评价指标。经过对问题分析，将评价指标集划分为两层：综合评价集、因素评价。集合评价集为各奖项出现的可能性、奖项、对彩民的吸引力，因素评价集为最高奖项的中奖概率、总
6、的中奖概率、奖项的设置、最高奖项的金额、低项奖总额。确定评价指标后，可以采用模糊综合评价模型进行求解得到彩票方案“合理性”的排名，从而确定最佳的彩票方案和最差的彩票方案。2、对问题二的分析：问题二是一个非线性优化问题。因为总奖金比例一般为销售总额的50%，可知彩票管理部门的获利只与彩票的总销量有关，而彩票的销量又由彩票对彩民的吸引力决定。彩票对彩民的吸引力，由彩票的合理性、头奖的金额、低项奖金总额、中奖概率决定。从而确定目标函数为彩票的合理性、头奖的金额、低项奖金总额、中奖概率的和最大。由于一等奖的单注保底金额60万元，封顶金额500万，中奖概率之和为1。从而确定约束条件。最后就可以建立非线性
7、优化模型。3、对问题三的分析：要给报纸写一篇短文，供彩民参考。则在短文中，既要从数学的角度说明彩票中大奖是小概率事件，切忌不能孤注一掷想靠彩票来暴富，又要说明买菜票乐趣不少，买的是梦想贡献的是中国福利事业。三、模型的假设1、彩票的销售是在理想状态下销售的。2、每位彩民购买的彩票数字组合是随机的，与技术手段无关。3、假设彩票每注的购买都是相互独立的互不影响。4、摇奖是在公平公正中进行的。5、每注彩票只兑付最高奖级奖金，不考虑兼得。四、符号的说明符号意义每注彩票中各等奖的概率第等奖的奖金占高项奖金的比例综合评价集的权重矩阵因素评价集相应的权重矩阵R模糊转换矩阵各单因素的模糊权向量每个彩票方案的综合
8、评分矩阵五、模型的建立与求解首先，对某一方案而言，每注彩票中各等奖的概率是可求的，分别用来表示中一等奖到七等奖的概率。由排列组合问题求得传统型和乐透型概率如下(共可分为4类)：（1）传统型 （10选6+1）= = = = = = （2）乐透型 (N选M )= = = = = = =（3）乐透型 （N选M+1）= = = = = = =（4）无特殊号型 (N选M)= = = = = 利用上述公式对不同的和，具体概率值的表格和计算程序见附录、问题一：1. 多因子分层模糊综合评价模型模糊数学首先是由美国控制论专家扎德于1965年提出的,它是一门运用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学1 。模糊
9、综合评价法的基本思路遵循定性、定量、定性的步骤,即从定性研究入手,经定量加工处理,得出定性的评价结果。多因子模糊综合评价模型的构建一般分以下几个步骤:1) 取为对象集;2) 取为指标集,由于评价指标有一定的层次,下一层指标是上一层指标的具体化;3) 取为评语集,并把其看成一个向量C ,进行赋值;4) 确立模糊转换矩阵其中, 表示对第个指标做出的第 级评语的隶属度,一般通过专家打分得到;若总调查对象为N 人,其中多个评价主体对同一评价对象的指标评为 等级的有X 人,则隶属度 = X/ N ;5) 取为各层指标的权重集,同理,有的上层指标权重可由若干个下层指标权重代替;6) 计算 ,若 ,则对其进
10、行归一化处理,即,得 ;7) 计算 即为 的最后得分值。这样,对象集每一层的所有影响因子都能算出 值。设研究对象 的总的评价值为 ,第二层各指标的评价值为 ,第三层各指标的评价值为 。通过不同研究对象之间相同指标值之间的比较,我们可以看出研究对象之间各自的资源竞争优势,而不同指标值的比较则可以找出资源之间的差异性,从而为以后竞争战略的制定提供依据2.彩票方案综合评价指标体系的建立：彩票方案评价指标体系的设立要遵循科学性、层次性、整体性、可操作性以及可比性原则。如图一所示，为该评价指标的层次结构图。图一：彩票方案定量评价模型树彩票方案的综合评价指标对彩民的吸引力奖项各奖项出现的可能性最高奖项的中
11、奖概率 低项奖的总金额最高奖项的金额奖项的设置总的中奖概率 采3.模糊综合评价模型的建立：用专家群体判断法，评语集为。可以将评语集中的等级是为一向量。得到各层次的递阶结构与因素的从属关系，各指标的权重见表1。表1 彩票方案评价指标权重分配表综合评价顶层综合评价二层权重综合评价三层权重彩票方案的综合评价值各奖项的可能出现的可能性0.5最高奖项的中奖概率0.3总的中奖概率0.7奖项0.1奖项的设置1对彩民的吸引力0.4最高奖项的金额0.6低项奖总金额0.4由表1将因素指标表集划分为两层：综合评价集、因素评价集综合评价集U，权重矩阵为。因素评价集，相应的权重分别为.可确定模糊转换矩阵=二十九个方案中
12、综合评价三层各指标的具体值见附件。各因素的权数分配有多种确定方法，这里采用常用的“加权法”来求单因素权重。权重（为第个评价指标的实际值，为第个评价指标的平均值），由于,则评价指标平均值。一般要对作归一化处理，令则可以得到模糊权向量，为了方便表示，我们用表列出经过归一化处理的彩票方案各评价指标的权重表。表2 指标权重表最高奖项的中奖概率权重总的中奖概率权重奖项的设置权重最高奖项的金额权重低项奖的金额权重10.0288350750.0069089440.0220994480.014019330.00729643920.0288350750.0853347960.0331491710.0124143
13、820.04791985530.0288350750.0853347960.0331491710.0134491860.04791985540.0288350750.0853347960.0331491710.0144831970.04791985550.0923739260.0704738180.0331491710.0044370160.00978214660.0131962750.0100676880.0331491710.0368631350.01499701870.070820010.061875850.0386740330.0044710840.02805692180.070820
14、010.061875850.0386740330.0055508350.00222455890.070820010.061875850.0386740330.0063745790.019096203100.0548283950.0545398440.0386740330.0467112450.042332492110.0548283950.010456780.0331491710.0100024830.01162837120.0428346830.0482518380.0331491710.0104093940.020723152130.0428346830.0482518380.0331491710.0112102970.020723152140.0428346830.0482518380.0331491710.0
