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1、专业班级姓名学号成绩时间1 第一章函数与极限第一章函数与极限 1 函数函数 一、是非判断题 1、)(xf在 X 上有界，)(xg在 X 上无界，则)()(xgxf+在 X 上无界. 2、函数 x exfln)(=与函数 x exg ln )(=是表示同一函数. 答：不是同一函数，因为)(xf的定义域是)(+，而)(xg的定义域 )0(+， 3、函数 2 1 2 )cos1 ()(xxf=与函数xxgsin)(=是表示同一函数。 答：不是表示同一函数,因为两函数的对应规律不同. 4、)1ln() 1()(xxexf xx += + 函数，则既是奇函数又是偶函数)(xf. 答：是, 0)(, 01
2、00 0)(, 0)1ln(00 =+ =+= + xfexxx xfxxxxx xx 从而，当 从而，当 综上述，对任意 ，xf x( ) 0,，故)(0)()(0)(xfxfxfxf= 既是奇函数又是偶函数)(xf. 5、的最大整数，表示不超过函数xx则.1)(的周期为xxx= 答：是,1+ + =a xa xa xf（A ） 的值奇偶性决定于非奇非偶函数； 偶函数； 奇函数； aDC BA )()( )()( 三、填空题 1、则时且当设 zxzyyxfyxz , , 0 , )( 2 =+=. 解： 2 , 0 xzy=时因 2 )(xxfx=+ 故有xxxf= 2 )( )()()(
3、2 yxyxyxf=)()( 2 yxyxyxz+= 2 )(2yxy+= 2、的定义域为，则设 )()65lg(56)( 22 xfxxxxxf+= 解：由 解得 ，65016 2 +xxx 由 解得 或xxxx 2 56023+ ) ( 故函数的定义域是 ，1236. 3、则 ， ；， 设)( 02 02 )(xff x xx xf N 时总有无穷多个 n x满足| n x数列 n x中只有有限项不满足| n x。 二单项选择题 1、 无界是数列发散的数列 n a（ B ） 件既非充分又非必要条 充分必要条件 充分条件 必要条件 DC BA ; ; 2、 = 为偶数当 为奇数当 n n n
4、xn ,10 , 1 7 则D。 （A）; 0lim= n n x（B）;10lim 7 = n n x 专业班级姓名学号成绩时间1 （C）; ,10 , 0 lim 7 = 为偶数 为奇数 n n xn n (D)不存在 n n x lim 3、数列有界是数列收敛的B。 （A）充分条件；（B）必要条件； （C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件。 4、下列数列 n x中，收敛的是B。 （A） n n x n n 1 ) 1( =（B） 1+ = n n xn（C） 2 sin n xn=（D） n n nx) 1(= 三根据数列极限的定义证明。 （1） 3 2 13 12 lim= +
5、 + n n n 分析 要使0, 4 1 =N, 当 nN 时, 有0, 1 lg1 +=N, 当nN 时, 有|0.99 91|0,NN, 当 nN 时, 有 M yn N 时, 有 =0,NN, 当 nN 时, 有使得当 0= AAxf xx 那末 5、 如果Axf x = )(lim且, 0A那么必有, 0X使x在XX,以外时. 0)(xf 二单项选择题 1、从1)(lim 0 = xf xx 不能推出C。 （A）1)(lim 0 0 = + xf xx （B）1)0( 0 =xf（C）1)( 0 =xf（D）0 1)(lim 0 = xf xx 2、)(xf在 0 xx =处有定义是)
6、(lim 0 xf xx 存在的D。 （A） 充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件 （C）充分必要条件；（D）既不是充分条件也不是必要条件 3、若, 1 1 )(, 1 ) 1( )( 2 2 + = = x x xg x x xf则C。 （A）)()(xgxf=（B）)()(lim 1 xgxf x = （C）)(lim)(lim 11 xgxf xx =（D）以上等式都不成立 4、)(lim)(lim 00 00 xfxf xxxx+ =是)(lim 0 xf xx 存在的C。 专业班级姓名学号成绩时间1 （A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件 （C）充分必要条
7、件；（D）既不是充分条件也不是必要条件 三、根据函数极限的定义证明 （1）2 12 41 lim 3 2 1 = + x x x 分析| ) 2 1 (| 2| 221 |2 12 41 3 = + xx x x , 要使0, 3 2 1 =X,当|x|X时,有 ( )( )g xf x使得在该邻域内 ( 0 101 lim( ) 2 00 xx BA f xA xx = M.例如 y(2k)=2kcos2k=2k(k=0, 1, 2, ), 当k充分大时,就有| y(2k)|M.所以，函数y=xcos x在(, +)内无界. 因为M0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y(x)
8、|M.例如 0) 2 2cos() 2 2() 2 2(=+=+ kkky(k=0, 1, 2, ), 对任何大的N,当k充分大时,总有Nkx+= 2 2 ,但|y(x)|=0N时有.lim,axzxy n x nnn = 那么 2、如果数列 n x满足：（1）为常数anaxn.,2 , 1(=xn+1(n=1,2).则xn必有 极限 3、1 sin lim= x x x 专业班级姓名学号成绩时间1 4、1) 1 1 (lim=+ n n n 1 0 5 lim(1)x x x += 、 二单项选择题 1、下列极限中，极限值不为0的是。 （A） arctan lim ; x x x （B） x
9、 xx x cos3sin2 lim + （C） x x x 1 sinlim 0 2 （D） 2 42 0 lim x x xx + 2、若且),()(xxflim( ),lim ( ), xaxa f xAxB =则必有B。 （A）AB(B)AB(C)|A|B(D)|A|B| 3、 1000 ) 1 1 (lim + + n x n 的值是A。 (A)e(B)e1000(C)ee1000(D)其它值 4、 tan lim sin x x x =B。 (A)1(B)1(C)0(D) 5、= )sin 11 sin(lim 0 x xx x x A。 (A)1(B)1(C)0(D)不存在 0
10、tan 0 ( )lim( ) 30 x kx x f xf xkCx xx ， 6、设，且存在，则 的值为 ， = + 1234ABCD ； ； ； 0 sin lim3 (2) 3 366 2 x kx kD x x ABCD 7、已知，则 的值为 ； ； ； = + sin lim 101 x x C x ABCD 8、极限 ； ； ； = 专业班级姓名学号成绩时间1 21 1 2 2 21 lim 21 1 x x x D x ABeCeDe 9、极限的值是 ； ； ； + 2222 2212 21 lim(1)lim(1) 11 lim(1)lim(1) xx xx xx xx Ae
11、Be xx CeDe xx 10、下列等式成立的是B ； ； ； + +=+= +=+= 1 0 lim(1) 1 112 2 x x kxekC ABCD 11、已知，则 的值为 ； ； ； += 三计算下列极限 （1） xx x xsin 2cos1 lim 0 ; 解法一()2 sin lim2 sin2 lim 2cos1 lim sin 2cos1 lim 2 0 2 2 0 2 00 = = x x x x x x xx x xxxx . 解法二2 sin lim2 sin sin2 lim sin 2cos1 lim 0 2 00 = x x xx x xx x xxx . （2
12、） x x x 3tan lim 0 ; 解3 3cos 1 3 3sin lim3 3tan lim 00 = xx x x x xx （3） x x x 1 0 )1 (lim ; 解 1 1 )( 1 0 ) 1( )( 1 0 1 0 )(1 lim)(1 lim)1 (lim =+=+=exxx x x x x x x . (4) x xx x 2 ) 1 (lim + ; 解 2 2 2 ) 1 1 (lim) 1 (lime xx x x x x x =+= + 专业班级姓名学号成绩时间1 四、利用夹逼准则证明：()1 1 2 11 lim 222 = + + + + + +nn
13、nn n n ; 证明 因为 () + + + + + + + + 2 2 2222 2 1 2 11 n n nnnn n nn n , 而1lim 2 2 = +nn n n ,1lim 2 2 = +n n n , 所以()1 1 2 11 lim 222 = + + + + + +nnnn n n . 四、数列2 ,22+,222+, 的极限存在; 证明2 1= x, nn xx+= + 2 1 (n=1, 2, 3, ). 先证明数列xn有界.当n=1时22 1 0,即数列xn单调增. 因为数列xn单调增加有上界,所以此数列是有极限的. 1111 (12) 2 limlimlimli
14、m nn nnnn nnnn nnnn ab abaa bbn abab ?五、设 ， 是两个正数，令， ， ， 证明：存在，存在，且 + + = = aa b ab b aa b a b b nnn nn n 21 1 11 2 11 2 2 = + = = + ，? 专业班级姓名学号成绩时间1 故对一切 有nab aa baa b abbb b nn nnnnn n nnnn n = = + + = + + 1 2 1 22 即单调增，单调减ab nn 于是有 a baaabbb a b nnn1 1 23 12 1 1 2 = ? 即有上界，有下界abba nn22 从而与都存在。 设， 则由 得 从而 limlim limlim limlim n n n n n n n n n n n nn ab aAbB b ab B AB AB + = = + = + = 1 22 7无穷小的比较无穷小的比较 一、是非题 1、
