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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）【2014年北京，理1，5分】已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】集合故，故选C（2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】对于A，在上为增函数，符合题意，对于B，在上为减函数，不合题意，对于C，为上的减函数，不合题意，对于D，为上的减函数，不合题意，故选A（3）【2014年北京，理3，5分】曲线（
2、为参数）的对称中心（ ）（A）在直线上 （B）在直线上 （C）在直线上 （D）在直线上【答案】B【解析】参数方程，所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆其对称中心为圆心逐个代入选项可知，在直线上，故选B（4）【2014年北京，理4，5分】当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）（A）7 （B）42 （C）210 （D）840【答案】C【解析】当输入的，时，判断框内的判断条件为故能进入循环的依次为 7，6，5顺次执行，则有，故选C（5）【2014年北京，理5，5分】设是公比为的等比数列，则“”是“”为递增数列的（ ）（A）充分且不必要条件 （B）必要且不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充
3、分也不必要条件【答案】D【解析】对于等比数列，若，则当时有为递减数列故“”不能推出“为递增数列”若为递增数列，则有可能满足且，推不出综上，“”为“为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D（6）【2014年北京，理6，5分】若满足且的最小值为，则的值为（ ）（A）2 （B） （C） （D）【答案】D【解析】若，没有最小值，不合题意若，则不等式组所表示的平面区 域如图所示由图可知，在点处取最小值故，解得，故选D（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系中，已知，若，分别表示三棱锥在，坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A） （B）且 （C）且 （D）且【答案】D【解析】在平面上的投
4、影为，故，设在和平面上的投影 分别为和，则在和平面上的投影分别为和，故，故选D（8）【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种若同学每科成绩不低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好”，现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的问满足条件的最多有多少学生（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】用ABC分别表示优秀、及格和不及格显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B的也最多只有1个，得C的也最多只有1个，因此学生最多只有3个显然，（AC）（BB）（CA
5、）满足条件，故学生最多3个，故选B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分（9）【2014年北京，理9，5分】复数 【答案】【解析】复数，故（10）【2014年北京，理10】已知向量、满足，且，则 【答案】【解析】由，有，于是，由，可得，又，故（11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为_；渐近线方程为_【答案】，【解析】双曲线的渐近线为，故的渐近线为，设： 并将点代入的方程，解得，故的方程为，即（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列满足，则当_时，的前项和最大【答案】8【解析】由等差数列的性质，于是有，故
6、故，为的前 项和中的最大值（13）【2014年北京，理13，5分】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品不相邻，则不同的摆法有_种【答案】36【解析】先只考虑与产品相邻此时用捆绑法，将和作为一个元素考虑，共有种方法而和有2种摆放顺序，故总计种方法再排除既满足与相邻，又满足与相邻的情况，此时用捆绑法，将作为一个元素考虑，共有种方法，而有2种可能的摆放顺序，故总计种方法综上，符合题意的摆放共有种（14）【2014年北京，理14，5分】设函数，若在学科网区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_【答案】【解析】由在区间上具有单调性，且知，有对称中心，由 知有对称轴，记为最小正周期，则，从而 三、解答题：
7、共6题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）【2014年北京，理15，13分】如图，在中，点在边上，且，（1）求；（2）求，的长解：（1）在中，因为，所以所以 （2）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以（16）【2014年北京，理16，13分】李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率；（2）从上述比赛中选择一
8、个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）解：（1）李明在该场比赛中命中率超过的概率有：主场2主场3主场5客场2客场4所以李明在该场比赛中投篮命中超过的概率（2）李明主场命中率超过概率，命中率不超过的概率为，客场中命中率超过概率，命中率不超过的概率为（3）（17）【2014年北京，理17，14分】如图，正方形的边长为2，分别为 的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，求线段的长解：
9、（1），面，面面面，即面，面面（2）如图建立空间直角坐标系，各点坐标如下, ,，设面的法向量为，即，令，又， ，直线与平面所成的角为设，由，则，又面，（18）【2014年北京，理18，13分】已知函数（1）求证：；（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值解：（1），时，从而在上单调递减，所以在上的最大值为，所以（2）解法一：当时，“”等价于“”；“”等价于“”，令，则当时，对任意恒成立当时，因为对任意，所以在区间上单调递减从而对任意恒成立当时，存在唯一的，使得，且当时， 单调递增；当时，单调递减所以进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立
10、所以若对任意恒成立，则最大值为，最小值为解法二：令，则，由知，故在上单调递减，从而的最小值为，故，最大值为，最小值为，下面进行证明：，则，当时，在上单调递减，从而，所以，当且仅当时取等号从而当时，故的最小值小于等于若，则在上有唯一解，且时，故在 上单调递增，此时,与恒成立矛盾，故，综上知：的最小值为（19）【2014年北京，理19，14分】已知椭圆（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论解：（1）由题意，椭圆的标准方程为所以，从而因此，故椭圆的离心率（2）直线与圆相切证明如下：解法一：设点的坐标分别为，其中因为，所以，即，解得当时
11、，代入椭圆的方程，得，故直线的方程为圆心到直线的距离此时直线与圆相切当时，直线的方程为，即圆心到直线的距离又，故此时直线与圆相切解法二：由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，当时，易知，此时直线的方程为或，原点到直线的距离为，此时直线与圆相切；当时，直线的方程为，联立得点的坐标或；联立得点的坐标，由点的坐标的对称性知，取点计算，直线的方程为：，即，原点到直线距离，此时直线与圆相切综上知，直线一定与圆相切解法三：当时，易知，此时，原点到直线 的距离，此时直线与圆相切；当时，直线的方程为，设，则，联立得点的坐标或；于是，所以，直线与圆相切；综上知，直线一定与圆相切（20）【2014年北京，理20，13分】对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数（1）对于数对序列，求的值；（2）记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小；（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值（只需写出结论）解：（1）,（2）当时：，；，；因为是中最小的数，所以，从而；当时，；，；因为是中最小的数，所以，从而综上，这两种情况下都有（3）数列序列，的的值最小；，7
