数字信号第5章

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1、第5章 时域离散系统的网络结构,5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 线性相位结构 5.6 频率采样结构 5.7 格型网络结构 习题与上机题,5.1 引 言 一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程： （5.1.1） 则其系统函数H(z)为 (5.1.2),为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理（运算），必须把（5.1.1）式或者（5.1.2）式变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算。其实(5.1.1)式就是对输入信号的一种直接算

2、法，如果已知输入信号x(n)以及ai、bi和n时刻以前的y(ni)，则可以递推出y(n)值。但给定一个差分方程，不同的算法有多种，例如：,可以证明以上H1(z)=H2(z)=H3(z)，但它们具有不同的算法。不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。我们用网络结构表示具体的算法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。这一章是第9章数字信号处理实现的必要基础。 在介绍数字系统的基本网络结构之前，先介绍网络结构的表示方法。,5.2 用信号流图表示网络结构 观察（5.1.1）式可知，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单

3、位延迟。三种基本运算框图及其流图如图5.2.1所示。,图5.2.1 三种基本运算的流图表示,z1与系数a作为支路增益写在支路箭头旁边，箭头表示信号流动方向。如果箭头旁边没有标明增益，则认为支路增益是。两个变量相加，用一个圆点表示（称为网络节点），这样整个运算结构完全可用这样一些基本运算支路组成，图5.2.2所示的就是这样的流图，该图中圆点称为节点，输入x(n)的节点称源节点或输入节点，输出y(n)称为吸收节点或输出节点。每个节点处的信号称节点变量，这样信号流图实际上是由连接节点的一些有方向性的支路构成的。和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中

4、，,图5.2.2 信号流图,不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有多种信号流图与之相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图。 （1） 信号流图中所有支路都是基本支路，即支路增益是常数或者是z1； （2） 流图环路中必须存在延迟支路； （3） 节点和支路的数目是有限的。,图5.2.2（a）是基本信号流图，图中有两个环路，环路增益分别为a1z1和a2z2，且环路中都有延时支路，而图5.2.2（b）不是基本信号流图，它不能决定一种具体的算法，不满足基本信号流图的条件。 根据信号流图可以求出网络的系统函数，方法是列出各个节点变量方程，形成联立方程组，并进行求解，求出

5、输出与输入之间的z域关系。 【例5.2.1】 求图5.2.2（a）信号流图决定的系统函数H(z)。 解 图5.2.2（a）信号流图的节点变量方程为(5.2.1)式， 对（5.2.1）式进行Z变换，得到：, 经过联立求解得到： 当结构复杂时，上面利用节点变量方程联立求解的方法较麻烦，不如用梅逊（Masson）公式直接写H(z)表示式方便。关于梅逊公式请参考本书附录A。,一般将网络结构分成两类，一类称为有限长单位脉冲响应网络，简称FIR（Finite Impulse Response）网络，另一类称为无限长单位脉冲响应网络，简称IIR（Infinite Impulse Response）网络。FI

6、R网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述： （5.2.2） 其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照（5.2.2）式，h(n)表示为,另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在反馈环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如，一个简单的一阶IIR网络的差分方程为 其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述其网络结构。,5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 IIR网络的基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。 1 直接型 将N阶差分方程重写如下： 对应的系统函数为 ,设M=N=2，按照差分方程可以直接

7、画出网络结构如图5.3.1(a)所示。图中第一部分系统函数用H1(z)表示，第二部分用H2(z)表示，那么H(z)=H1(z)Hz(z)，当然也可以写成H(z)=H2(z)H1(z), 按照该式，相当于将图5.3.1(a)中两部分流图交换位置，如图5.3.1(b)所示。该图中节点变量w1=w2，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如图5.3.1(c)所示的网络结构流图，我们将图5.3.1(c)所示的这类流图称为IIR直接型网络结构。,M=N=2时的系统函数为 对照图5.3.1(c)的各支路的增益系数与H(z)分母分子多项式的系数可见，可以直接按照H(z)画出直接型结构流图。,图5.3.1 I

8、IR网络直接型结构,【例5.3.1】 设IIR数字滤波器的系统函数H(z)为 画出该滤波器的直接型结构。 解 由H(z)写出差分方程如下： 按照差分方程画出如图5.3.2所示的直接型网络结构。,图5.3.2 例5.3.1图,上面我们按照差分方程画出了网络结构，也可以按照H(z)表达式，直接画出直接型网络结构，这里需要用到Masson公式。 下面讲述直接型的MATLAB的表示与实现。 在MATLAB中，直接型结构由2个行向量B和A表示，B和A与数字滤波器系统函数的关系如下： A=a0, a1, a2, , aN, B=b0, b1, b2, , bM,则直接型系统函数为 调用1.4.2节介绍的M

9、ATLAB 信号处理工具箱函数filter就是按照直接型结构实现滤波器。 如果滤波器输入信号向量为xn，输出信号向量为yn，则yn=filter(B, A.xn) 按照直接型结构实现对xn的滤波，计算系统对输入信号向量xn的零状态响应输出信号向量yn，yn与xn长度相等。,2 级联型 在（5.1.2）式表示的系统函数H(z)中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到： （5.3.1） 式中, A是常数; Cr和dr分别表示H(z)的零点和极点。由于多项式的系数是实数，Cr和dr是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成

10、一个二阶多项式，其系数仍为实数；再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z)。,图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构,【例5.3.2】 设系统函数H(z)如下式： 试画出其级联型网络结构。 解 将H(z)的分子、分母进行因式分解，得到： 为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络，画出级联结构图如图5.3.4所示。,图5.3.4 例5.3.2图,级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。在（5.3.2）式中，调整0j、1j和2j三个系数可以改变一对零点的位置，

11、调整1j和2j可以改变一对极点的位置。因此，相对直接型结构，其优点是调整方便。此外，级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。,3 并联型 如果将级联形式的H(z)展成部分分式形式，则得到： （5.3.4） 对应的网络结构为这k个子系统并联。上式中，Hi(z)通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为 ,式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果1i=2i=0，则构成一阶网络。由（5.3.4）式，其输出Y(z)表示为 上式表明将x(n)送入每个二阶（包括一阶）网络后，将所有输出加起来得到输出y(n)。 【例5.3.3】 画出例题5.3.2中

12、的H(z)的并联型结构。 解 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。,图5.3.5 例5.3.3图,在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。,MATLAB信号处理工具箱提供了14种线性系统网络结构变换函数，实现各种结构之间的

13、变换。可惜缺少并联结构于其他结构之间的变换函数，参考文献10，18中开发了直接型与并联型的相互变换函数tf2par和par2tf。本书涉及的3种常用结构（直接型、级联型、格型）之间的变换函数有如下4种： (1) tf2sos 直接型到级联型结构变换。 (2) sos2tf 级联型到直接型网络结构的变换。 (3) tf2latc 直接型到格型结构变换。 (4) latc2tf 格型到直接型结构变换。,下面先简要介绍变换函数tf2sos和sos2tf及其调用格式，tf2latc 和 latc2tf在5.7节介绍。 (1) S, G = tf2sos(B, A): 实现直接型到级联型的变换。B和A分

14、别为直接型系统函数的分子和分母多项式系数向量，当A=1时，表示FIR系统函数。返回L级二阶级联型结构的系数矩阵S和增益常数G。,S为L6矩阵，每一行表示一个二阶子系统函数的系数向量，第k行对应的2阶系统函数为 级联结构的系统函数为 H(z)=H1(z)H2(z)HL(z),例5.3.2的求解程序如下： B=8，4，11，2； A=1，1.25，0.75，0.125； S，G=tf2sos(B, A) 运行结果： S = 1.0000 0.1900 0 1.0000 0.2500 0 1.0000 0.3100 1.3161 1.0000 1.0000 0.5000 G = 8,该结果与例5.3

15、.2所得结果等价，但本程序结果更标准。 (2) B, A =sos2tf(S, G)：实现级联型到直接型网络结构的变换。B、A、S和G的含义与S, G = tf2sos(B, A)中相同。,5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程分别为 1 直接型 按照H(z)或者卷积公式直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。,图5.4.1 FIR直接型网络结构,2 级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 【例5.4.1】 设FIR网络系统函数H(z)如下式： 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 解 将H(z)进行因式分解，得到： 其级联型结构和直接型结构如图5.4.2所示。,图5.4.2 例5.4.1图,例5.4.1的求解程序如下： B=0.96, 2, 2.8, 1.5;A=1; S, G=tf2sos(B, A) 运行结果： S =1.0000 0.8333 0 1.0000