正多边形有关的证明及计算

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1、,1.掌握正多边形的相关概念，会依据圆的性质证明一个多边形是正多边形，并会利用等分圆周的方法画正多边形. 2.会进行与正多边形有关的角度、周长、面积等方面的计算，并会用相关知识解决实际问题.,正多边形的定义、相关概念及画法 【例1】已知：如图，ABC是O的 内接等腰三角形，顶角BAC=36， 弦BD、CE分别平分ABC、ACB， 求证：五边形AEBCD是正五边形.,【思路点拨】,【自主解答】ABC为等腰三角形，BAC=36， ABC=ACB=72.又BD、CE分别平分ABC，ACB， ABD=CBD=BCE=ACE=36. AD=CD=BC=BE=AE, EAD=AEB. 同理：EBC=BCD

2、=CDA=DAE.五边形AEBCD是正五边形.,正多边形的判定方法由定义可知，须从两个方面进行证明：(1)各角相等； (2)各边相等，二者缺一不可.与圆有关的正多边形的判定，证明的途径是根据等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等.正多边形的性质除边、角的相等关系之外，还有其对称性等.利用等分圆周的方法可以作圆内接正多边形.,1.下列命题中正确的有 ( ) 各边相等的三角形是正三角形；各角相等的多边形是正多边形；各边相等的多边形是正多边形；各边相等的圆内接多边形是正多边形；各角相等的圆内接多边形是正多边形. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个,【解析】选B.判断一个多边形要紧扣定义，同

3、时注意三角形的特殊性，根据等边对等角，所以各边相等的三角形的各角也相等，故正确；、不符合定义，如矩形满足各角相等，菱形满足各边相等，但都不是正多边形；由正多边形和圆的关系可知：弦相等弧相等多边形为正多边形，故正确.不正确，如：圆内接矩形就不是正多边形.故选B.,2.已知O,半径为2 cm,求作O的内接正八边形. 【解析】(1)如图所示，作直径AC. (2)作AC的中垂线BD交O于B，D两点. (3)连接AD，作AD的中垂线交 于M点. (4)同法作出 的中点分别为E，F，G. (5)依次连接A，E，B，F，C，G，D，M，即得正八边形.即正 八边形AEBFCGDM即为所求作的O的内接正八边形.

4、,正多边形的边数为偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称中心就是正多边形的中心；边数为奇数时，只是轴对称图形，但不是中心对称图形.,正多边形有关的证明及计算 【例2】如图，PQR是O的内接正三角 形，四边形ABCD是O的内接正方形， BCQR，O的半径为4. (1)求AOQ； (2)求PQR与四边形ABCD的周长.,【思路点拨】求解AOQ的度数，关键是求出圆内接正多边形的中心角，正多边形周长的计算，在多边形的外接圆的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形中利用勾股定理求解.,【自主解答】(1)延长PO交QR于E，交BC于F，连接OR， PQR为正三角形，POQ=120， OP=OQ

5、,OPQ=OQP=30， 同理OPR=30，OPQ=OPR. PR=PQ，PEQR， 又BCQR，PEBC. 四边形ABCD是正方形，ADBC，PEAD，OAD=45， AOP=45，AOQ=12045=75.,(2)连接OC，由(1)的计算可知， OE= OR=2, PQR的周长是 设FC的长为x，则x2+x2=42，解得x= , 四边形ABCD的周长为 .,解决正多边形的有关计算，首先要辨清正多边形的边长、半径、边心距、中心角等概念及它们之间的关系；计算其周长或面积时，需要利用正多边形外接圆的半径、边心距，把正多边形分割成n个或2n个直角三角形，结合勾股定理及方程的思想来解决问题.,3.(

6、2010宿迁中考)如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边， 则等于_. 【解析】正五边形的一个内角的度数为 所以=360108180=72. 答案：72,4.如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2.T1 的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相 切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和 外切正六边形). (1)设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r,求ra及rb的值; (2)求正六边形T1，T2的面积比S1S2的值.,【解析】(1)连接圆心O与T1的6个顶点，可得6个全等的正三角形. ra=11. 连接圆心O与T2相邻的两个顶点，可得以 O半径为高的正三角形. (

7、)2+r2=b2.得r= b,rb= 2. (2),与正多边形有关的实际问题，关键是根据题意正确地抽象出数学模型，并借助多边形的知识加以解决.多边形的有关计算，其要点是抓住边心距、半径、边长之间的关系.,1.正多边形一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是 ( ) (A)两角互余 (B)两角互补 (C)两角互余或互补 (D)不能确定两角的关系 【解析】选B.因为正多边形的中心角为 , 一个内角= 所以中心角+内角= ,故选B,2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) (A)正六边形 (B)平行四边形 (C)正五边形 (D)等边三角形 【解析】选A.所有的正多边形都是轴

8、对称图形，但只有正偶数边形同时又是中心对称图形故选A,3.如图所示，已知正六边形ABCDEF内接 于O，图中阴影部分的面积为 ， 则正六边形的边长为_.,【解析】连接OF、OB、OC，由题意可知BDF为正三角形，如图，设O的半径为r， 则 FM=r+ r= r.BD=2BM= r = .r=4(取正值), 且BOC为正三角形.正六边形的边长等于4. 答案:4,4.(2010晋江中考)将一块正五边形纸片(图)做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形ABCD，则BAD的大小是_度.,【解析】先求出正六边形的每一个内角的度

9、数 又在四边形ABCD中的ADC=ABC =90,所以BAD的度数为360-108-902=72. 答案：72,5.如图，等腰ABC的顶角A=36,O和底边相切于中点D，并过两腰的中点G、F，又和两腰相交于点H、E求证：五边形DEFGH是正五边形,【证明】连结DG和DF由题意，得 四边形AGDF是平行四边形 1=2=3=4=36,GDB=C= =72, 5=GDB-4=36.同理6=36 1=2=3=4=5=6. ， 五边形DEFGH是正五边形,一、选择题（每小题4分，共12分） 1.（2010 河北中考）如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这

10、个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 （ ） （A）7 （B）8 （C）9 （D）10,【解析】选B. 如图所示，根据题意得，正六 边形的每个内角均为120，所以图中空白的 两个三角形为等边三角形，故图形的外轮廓的 长度为8条边长的和，所以周长为8.,2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是（ ）,【解析】选B.设圆的半径为R，如图 则1=60，2=45，3=30， 对于正三角形， 对于正方形,r4= a4,R2=( a4)2+( a4)2,a4= R. 对于正六边形，a6=R,a3a4a6= .,【规律方法】如图所示，多边形 A1A2A3An为正多边形，设其半径为Rn， 边心

11、距为rn，边长为an,半中心角为, 内角度数为n，周长为Pn，面积为Sn.,3.正八边形外接圆的半径为 ，则其面积为 （ ） 【解析】选A.如图连接OA、OB， 过A作AMOB，则AOB=45， AOM为等腰三角形， AM=OM， 由勾股定理解得AM=OM=1， SAOB= OBAM= 1= ，所以正八边形的面积 为,二、填空题（每小题4分，共12分） 4.（2010乐山中考）正六边形ABCDEF的边长为2 cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P到这个正六边形各边的距离之和为_cm,【解析】EF与BC之间的距离为FB，如图，则FAB=120， AF=AB，所以AFB=FBA=30，所以

12、FBC=90， BFC=30，所以FC=2BC=4 cm,所以FB= cm.又因为两平 行边间的距离处处相等，都等于边心距的2倍,所以点P到正 六边形各边的距离之和等于 cm. 答案：,5.（2010德州中考）粉笔是校园中最常见的必备品图1 是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支图2是它的横 截面（矩形ABCD），已知每支粉笔的直径为12 mm，由此估 算矩形ABCD的周长约为_mm( 1.73，结果精确到 1 mm),【解析】由题意可知，BC的长为125+ 5+ 1=125+65+3=93(mm)，AB的长为 25+ 1=6 5+3 =33 (mm)， 所以矩形ABCD的周长为2（93+3

13、3 ）300.18300(mm). 答案：300,6.如图所示，O1和O2相交于A、B， 在O1中ABCD为正方形，在O2中 ABE是正三角形，若O1的半径为 则O2的半径是_.,【解析】连接O1A、O2A，连接O2O1交AB于点F， 四边形ABCD为正方形，ABE是正三角形， AO1O2=45，AO2O1=60. AF=FO1,FO2= AO2. 又在RtAO1F中，AO1= ， AF=1. 在RtAO2F中，有AO22=AF2+FO22. 即AO22=12+ AO22，解得AO2= 即O2的半径为 答案:,三、解答题（共26分） 7.（12分）如图所示，两正方形彼此相邻 且内接于半圆，若小

14、正方形面积为16 cm2， 求半圆的半径.,【解析】如图，小正方形的边长为4 cm，设OA的长为a cm,则AB=2a cm. OB=OD= = 在RtOCD中，OC=（a+4）cm. 有OD2=OC2+CD2, 即：（ ）2=(a+4)2+42，a2-2a-8=0， 解得a1=4,a2=-2(舍去),半圆的半径为 cm.,【拓展延伸】 8.（14分）课题：两个重叠的正多边形，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题. 实验与论证 设旋转角A1A0B1=（A1A0A2）,3，4，5，6所表示的角如图所示. （1）用含的式子表示角的度数：3=_，4=_，5=_.,（2）图1图4中，连接A0H时，在

15、不添加其他辅助线的情况 下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在， 请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由. 归纳与猜想 设正n边形A0A1A2An1与正n边形A0B1B2Bn1重合（其中， A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2Bn1绕顶点A0逆时针旋 转（0 ）,（3）设n与上述“3，4，”的意义一样，请直接写出n的度数； （4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由,【解析】(1)60- 36- (2)存在.答案不惟一，选图，图中有直线A0H垂直平分A2B1 证明：A0A1A2与A0B1B2是全等的等边三角形， A0A2=A0B1，A0A2B1=