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1、1,多元函数的极值和最值,条件极值 拉格朗日乘子(数)法,小结 思考题 作业,第八节 多元函数的极值与最值,引例1：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,显然每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,问题的提出,引例2： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机U盘和鼠标，设他购买 个U盘， 个鼠标达到最佳效果，效果函数为 设每个U盘8元，每个鼠标10元，问他如何分配这200元以
2、达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件极值.,如引例1。,如引例2。,从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不同，多元函数的极值分为两类：,思考：为什么一元函数的极值没有分类！,两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值，先讨论与最值有密切联系的极值问题！,5,一、多元函数的极值和最值,1. 极大值和极小值的定义,一元函数的极值的定义,是在一点附近,将函数值比大小.,则称点P0 (x0, y0)为函数的极大 值点,设函数z = f (x, y) 在点P0 (x0, y0)的某,
3、f (x0, y0)为函数的极大 值.,回忆,定义,邻域内有定义,若在此邻域内对异于P0的点,恒有,(或极小),(或极小),6,函数的极大值与极小值统称为函数的,函数的极大值点与极小值点统称为函数的,多元函数的极值也是局部的,一般来说: 极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.,有时,极值.,极值点.,邻域内的值比较.,是与P0的,极小值可能比极大值还大.,(1),(2),(3),例1,例2,例3,8,一元函数极值的必要条件,如果函数f (x)在x0处可导,极值,那么,一元函数极值(第二)充分条件,极大值,(极小值).,回忆,且f (x)在x0处取得,则f (x0)为,9,2.极值
4、的必要条件,证,定理,(极值的必要条件),则它在该点的偏导数必然为零:,有极大值,不妨设z = f (x, y)在点(x0, y0)处,都有,说明一元,有极大值,必有,类似地可证,设函数 z = f (x, y),在点(x0, y0)具有,偏导数,且在点(x0, y0)处,有极值,则对于(x0, y0)的某邻域内任意,函数 f (x, y0)在,10,推广,如果三元函数u = f (x, y, z)在点,P (x0, y0 , z0)具有偏导数,则它在P (x0, y0, z0)有,极值的必要条件为:,11,均称为函数的,仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点,(稳定点).,从几何上
5、看,此时如曲面z = f (x, y)在点(x0, y0, z0),处有切平面, 则,驻点,极值点,如,驻点,但不是极值点.,成为平行于xOy坐标面的平面,如何判定一个驻点是否为极值点,?,12,3.极值的充分条件,定理,(极值的充分条件),在点(x0, y0)的某邻域内有连续的二阶偏导数, 且,则f (x, y) 在点(x0, y0)处是否取得极值的条件如下:,(1),有极值,有极大值,有极小值;,(2),没有极值;,(3),可能有极值,也可能无极值.,设函数z = f (x, y),13,求函数z = f (x, y)极值的一般步骤:,第一步:,解方程组,求出实数解,得驻点.,第二步:,对
6、于每一个驻点(x0, y0),求出二阶偏导数的值,第三步:,定出,的符号,再判定是否是极值.,14,例4,解,又,在点(0,0)处,在点(a, a)处,即,的极值.,故f (x, y)在(0,0)无极值;,故f (x, y)在(a, a)有极大值,15,处取得.,然而, 如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:,函数,但函数在点(0,0)处都具有极大值.,在研究函数的极值时, 除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点.,由极值的必要条件知,可偏导极值只可能在驻点,但也可能是极值点.,在点(0,0)处的偏导数不存在,下半个圆锥面,16,求一元连续函数 f (x)在闭区间a,
7、 b上的最值,4.多元函数的最值,回忆,的一般步骤:,其中最大(小)者就是 f (x)在闭区,将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的点,区间端点的函数,(即为极值嫌疑点)处的函数值和,值 f (a), f (b)比较,间a, b上的最大(小)值.,17,其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,求最值的一般方法,最小者即为最小值.,将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及,在D的边界上的最大值和最小值相互比较,可利用函数的极值来,求函数的最大值和最小值.,18,解,(1) 求函数在D内的驻点,由于,解得驻点为,(2) 求函数在 D边界上的最值,区域D有四条边界线,现有正方形钢板, 若以正方形中心为原
8、点,温度函数为,例3,建立平面直角坐标系(如图), 则在点(x, y)处钢板的,求钢板的最冷点,与最热点.,即AB, BC, CD及DA.,由于AB线段方程为,19,(2) 求函数在 D边界上的最值,区域D有四条边界线,即AB, BC, CD及DA.,由于AB线段方程为,将,代入T(x, y), 得,由,令,得,即函数T在AB线段上的驻点为,由函数的对称性知,函数T在BC, CD, DA 线段,的驻点仍为线段的中点, 即,20,比较函数T在以上所得,驻点以及四条边界线端点处,的函数值,所以函数T在A, B, C, D点函数值最大,而在原点O,处函数值最小,故在钢板上最热点为钢板的端点,最冷点在
9、钢板的中心.,21,解,(1) 求函数在D内的驻点,由于,所以函数在D内无极值.,(2) 求函数在 D边界上的最值,(现最值只能在边界上),围成的三角形闭域D上的最大(小)值.,D,练习,22,在边界线,在边界线,由于,最小,由于,又在端点(1,0)处,所以,最大.,有驻点,函数值,有,单调上升.,23,在边界线,所以, 最值在端点处.,由于,函数单调下降,(3),比较,24,解,练习,某工厂生产A 、,的售价为1000元件,B两种型号的产品,生产x件A型产品和y件B型产品的总成本为,求A 、,B两种产品,各生产多少时, 利润最大?,设L(x, y)为生产x件A型产品和y件B型产品时,获得的总
10、利润, 则,令,当A 、,B两种产品分别生产,120和80件时, 利润最大,最大利润为,A型产品,B型产品的售价为900元件,唯一驻点,25,对自变量有约束条件的极值.,并无其他条件.,对自变量除了限制在定义域内以外,条件极值,二、条件极值 拉格朗日乘子(数)法,求条件极值的方法,(1) 代入法,(2) 拉格朗日乘子(数)法,26,解,例1,已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大?,设长方体的长、宽、高分别为,由题意,长方体的体积为,且长方体体积一定,有最大值,故当的长、宽、高都为6时长方体体积最大.,由于V在D内只有一个驻点,y 、,z,x 、,约束条件,代入
11、法,驻点(6,6),27,上例的极值问题也可以看成是求三元函数,的极值,但x, y, z要受到条件,的限制,这便是一个条件极值问题.,目标函数,约束条件,有时条件极值,目标函数中化为无条件极值.,可通过将约束条件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介绍解决条件极值问题的一般,方法:,下,拉格朗日乘子(数)法,这样做是有困难的,28,拉格朗日乘子(数)法:,现要寻求目标函数,在约束条件,下取得,如函数(1)在(x0, y0)取得所求的极值,由条件,(1),(2),极值的必要条件.,那末首先有,(3),确定y是x的隐函数 y = y(x).,不必将它真的解出来, 则,于是函数,即,取得极值
12、.,(1)在(x0, y0)取得所求的极值.,29,其中,代入(4)得:,由一元可导函数取得极值的必要条件知:,(4),取得极值.,在,(3), (5)两式,得极值的必要条件.,就是函数(1)在条件(2)下的在(x0, y0)取,30,设,上述必要条件变为:,(6)中的前两式的左边正是函数:,(6),的两个一阶偏导数在(x0, y0)的值.,函数L(x, y)称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.,31,拉格朗日乘子法:,极值的必要条件,在条件,要找函数,下的可能极值点,先构造函数,其中为某一常数,可由,解出x, y, ,其中x, y就是可能的极值点的坐标.,拉格朗日乘子法可以推
13、广到二元以上的多元,函数及带有多个附加的条件极值问题.,32,如何确定所求得的点,实际问题中,非实际问题我们这里不做进一步的讨论.,判定.,可根据问题本身的性质来,是否为极值点,?,33,解,则,又是实际问题,解得唯一驻点,一定存在最值.,令,故最大值为,例2,将正数12分成三个正数x, y, z之和使得,34,先从附加条件,消去一个变量后成为无条件极值.,然后代入f (x, y, z)中以,条件极值问题解法之一:,条件极值问题解法之二(拉格朗日乘子法):,条件极值问题的解所应满足的必要条件可用下列,先构造拉格朗日函数,而,即为(x, y, z)上述条件极值问题解的必要条件.,若欲在满足附加条
14、件,的(x, y, z)中去找使函数 f (x, y, z)达到最大(小)值的,问题,方法记忆.,解出一个变量,称为条件极值.,35,解,设P (x0, y0 , z0)为椭球面上的一点,令,则,过P(x0, y0 , z0)的切平面方程为,在第一卦限内作椭球面,使切平面与三个坐标面所围成的四面体,例3,的切平面,体积最小,求切点坐标.,36,目标函数,该切平面在三个轴上的截距各为,化简为,所求四面体的体积,约束条件,在条件,下求V 的最小值,37,约束条件,令,由,目标函数,38,可得,即,当切点坐标为,四面体的体积最小,(唯一驻点),(实际问题),39,练习,解,为简化计算, 令,设(x,
15、 y, z)是曲面上的点,它与已知点,问题化为在,下求f (x, y, z),的最小值.,目标函数,约束条件,法一,的距离为,40,设,(1),(2),(3),(4),41,是实际问题.,故,得唯一驻点,还有别的简单方法吗,?,用几何法!,d有最小值,42,练习,解,曲面上点(x, y, z),解得,代入到曲面,设(x, y, z)是曲面上的点,它与已知点,法二,的所得的向量为,处的法向量为,即,得唯一点,是实际问题.,d有最小值,43,多元函数极值的概念,条件极值 拉格朗日乘子(数)法,多元函数取得极值的必要条件、充分条件,多元函数最值的概念,三、小结,(上述问题均可与一元函数类比),44,思考题,答,不一定.,二元函数 f (x, y),在点 P0(x0, y0)处有极值,(不妨设为极小值),是指存在,当点,且P (x, y)沿任何曲线趋向于P0时,一元函数 f (x, y0)在点 x0处取得有极小值,表示动点,且 P(x, y)沿直线,z = f (x, y)的极值点?,若x0为f (x, y0)的极值点, 点(x0, y0)是否为,45,并沿该直线(即沿平行于Ox轴的正负,方向)趋向于P0(x0, y0)时,它们的关系是:,f (x, y)在点(x0, y0)取得极大(小)值,取得极大(小)值.,f (x0, y)和f (x
