第5章相似矩阵及二次型.

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1、,第五章 相似矩阵及二次型,线性代数,51 向量的内积、长度及正交性,第五章 相似矩阵及二次型,53 相似矩阵,52 方阵的特征与特征向量,55 二次型及其标准型,54 对称矩阵的对角化,56 用配方法化二次型为标准型,56 正定二次型,5-1 向量的内积、长度及正交性,一、向量的内积,定义设有n维向量,令,1、内积,称为向量 与 的内积。,说明,内积是两个向量之间的一种运算，若 、 都是列向量时，内积可用矩阵相乘表示：,2、内积的运算性质,，且当 时，,二、向量的长度,定义令,称为向量 的长度（或范数）。,向量的长度具有下述性质：,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,单位向量

2、,当 时，称 为单位向量。,向量间的夹角,当 时,称为向量 与 的夹角。,三、正交向量组,1、向量正交的定义,当 时，称为向量 与 正交。,显然 若 则 与任何向量都正交。,、正交向量组的概念,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。,、正交向量组的性质,定理5-1 若n维向量 是一组两两正交的非零向量 则 线性无关。,注意：此定理反之不一定成立,解,例5-1 已知3维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量 ，使 两两正交 。,设 ，则 应满足,即 应满足齐次线性方程组,由于,齐次线性方程组的通解：,、向量空间的正交基和规范正交基,若 是向量空间V的一个基，且 是两两

3、正交的非零向量组，则称 是向量空间V的正交基。,设 是向量空间V 的一个基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称 是向量空间V的一个规范正交基。,规范正交基,正交基,例如：,向量在规范正交基中的坐标,若 是V的一个规范正交基 那么V中任一向量 应能由 线性表示 并且,其中1、2、r 是 在规范正交基中坐标：,5、施密特正交化方法,设 是向量空间V中的一个基 取向量组（正交化）,容易验证 两两正交 且 与 等价,把 单位化 即得V的一个规范正交基：,例5-2设 试用施密特正交化过程把其规范正交化。,解正交化,将其单位化,即为所求。,例5-3,解,其基础解系为：,把基础解系正交化，即合所求。亦即取

4、,四、正交矩阵与正交变换,1、正交矩阵,定义如果n阶矩阵A满足： ATAE (即A1 AT) 那么称A为正交矩阵 简称正交阵。,（1）方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量 且两两正交。,（2）n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基。,重要结论：,正交矩阵的性质,(1)若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A| 1,(2)若A和B都是正交阵 则AB也正交阵,例5-4证明下列矩阵是正交阵,2、正交变换,定义若P为正交矩阵 则线性变换 称为正交变换。,性质 正交变换保持向量的长度不变。即,这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变)

5、 这是正交变换的优良特性。,5-2 方阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念,则称为方阵A的特征值 为A 的对应于特征值的特征向量,说明,1、特征向量 ，仅对方阵才有特征值问题。,2、n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 有非零解的值，即满足方程 的都是矩阵A的特征值。,定义设A是n阶矩阵 如果存在数和n维非零向量 满足：,3、,称为以为未知数的一元n次方程组 为A的特征方程。,记 ，它是的n次多项式，称其为方阵A的特征多项式。,二、特征值与特征向量的求法,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,1、计算A的特征多项式：,2、求特征方程A- E=0的全部根 1， 2， ， n,即为A的全

6、部特征值,3、对于特征值 i ，求齐次方程组,的非零解解，就是对应特征值 i 的特征向量。,例5-5求矩阵 的特征值和特征向量。,解,方程的基础解系为：,方程的基础解系为：,例5-6求矩阵 的特征值和特征向量。,解,例5-7求矩阵 的特征值和特征向量。,解,当 。由,对应1=1的全部特征值为：,当 。由,得基础解系：,对应2=3=2的全部特征值为：,三、特征值与特征向量的性质,性质1 若是矩阵A的特征值，则,(1) m是矩阵Am的特征值(m是正整数）,(2)若A可逆，则 -1是A-1特征值,(3) ()是 (A)的特征值,其中,是矩阵多项式,是多项式,性质2、设n阶方阵A的特征值为1，2，n，

7、则,例 设矩阵 则A的特征值为( ),(A) 1,0,1 (B)1,1,2; (C) -1,1,2; (D)-1,1,1,例5-9设3阶矩阵A的特征值为1 1 2 求|A*3A2E|,解因为A的特征值全不为0 知A可逆 故A*|A|A1 而|A|1232 所以,2A13A2E,A*3A2E,把上式记作(A),故(A)的特征值为,有()2132,(1)1 (1)3 (2)3,9,(1)(3)3,于是 |A*3A2E|,性质3,定理5-2设1 2 m是方阵A的m个不同特征值 是对应的特征向量 则 线性无关。,说明：,矩阵A不同特征值对应的特征向量之间线性无关；,例5-10设1和 2是方阵A两个不同

8、特征值 对应的特征向量为 和 证明 不是A的特征向量。,5-3 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念,定义设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使,P1APB,则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似。,对A进行运算P1AP称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。,注：相似矩阵一定是等价矩阵。等价矩阵具有相同的秩，而相似矩阵不仅具有相同的秩，而且具有相同的行列式和特征值。,定理5-3 若n阶矩阵A与B相似 则A与B具有相同的特征值。,推论1若n阶矩阵A与B相似 则|A| = |B| 。,推论2若n阶矩阵A与一个对角矩阵diag(1 2 n) 相似 则1 2 n即是A的n

9、个特征值。,说明,(1)推论2为求矩阵特征值提供了新的方法；,(2)若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵A可对角化。,二、利用相似变换将方阵对角化,定理4n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是：,什么样的矩阵A可对角化？如何对角化？下面的定理给出回答。,A有n个线性无关的特征向量。,证明,命题得证。,推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A一定可以对角化。（充分条件）,说明,如果A的特征方程有重根，此时不一定有n 个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化。但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化,A能否对角化？若能对角化，求出可逆阵P，使 为对角称。,例5-11设,解,解之得

10、基础解系,注意,(1)n阶方阵A对角化：即存在可逆阵P使,1 2 n为A的n个特征值。,为特征值i对应的特征向量，且,即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,(2),三、利用相似矩阵求矩阵多项式,若矩阵A与对角阵相似。即存在可逆阵P，使,1、求矩阵乘幂Ak,则 AkPkP1,其中,2、求A的多项式(A),若矩阵A与对角阵相似。即存在可逆阵P，使,则,(A)P()P1,其中,定理,证明,5-4 对称矩阵的对角化,一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具有n个线性无关的特征向量 可见并非所有n阶方阵都能对角化。,但有一类矩阵却例外，即所有实对称矩阵都是可以对角化的。,一、对称矩阵的特征

11、值和特征向量的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,定理5-5 对称矩阵的特征值为实数。,是实系数方程组 由系数矩阵的行列式|AiE|0知必有实的基础解系 所以对应的特征向量可以取实向量,显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组,定理5-6,证明,A为对称阵，即A=AT。故有,于是,定理5-7设A为n阶对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵。,该定理表明： 对称矩阵正交相似于对角矩阵。,推论 设A为n阶对称阵 是A的特征方程的k重根 则矩阵A- E的秩R(A-E)=n-k ,从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量。,说明

12、： 此性质是对称矩阵所特有的，即n阶对称阵恰好有n个线性无关的特征向量。,二、对称矩阵的对角化方法,根据上述结论，利用正交矩阵将对称阵A对角化，具体步骤为：,（1）求出A的全部互不相等的特征值1,2,s ,它们的重数依次为k1,k2,ks (k1+k2+ks =n)。,（2）对每个ki重特征值s ,求方程 的基础解系，得ki个线性无关的特征向量。再将其正交化、单位化，得到ki个两两正交的单位特征向量。因 ，故总共可得n个两两正交的单位特征向量。,（3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，便有 .注意 的对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应。,例5-12 设 求正交阵 P 使P1

13、AP为对角阵,解,(1)第一步 求A的特征值,得特征值1 2 231.,(2)第二步 求A的特征向量,基础解系为：,基础解系为：,将 构成正交矩阵P：,有：,(3)第三步 构成正交阵P,例5-13 设 求An,提示,因A为对称阵 故A可对角化 即有可逆阵P及对角阵,从而AnPnP1,于是APP1,使P1AP,解,(1) 求A的特征值,得A的特征值：,(2) 求正交阵P,使P1AP,(2) 求An,1、对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角

14、矩阵对角元素即为特征值,2、利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量正交化、单位化；(4)对角化,思考题,思考题解答：,5-5 二次型及其标准形,在解析几何中 为了便于研究二次曲线 ax2bxycy21 的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换,把方程化为标准形 mx2ny21,化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式 使它只含有平方项,一、二次型及其标准形的概念,定义 含有n个变量x1 x2 xn的二次齐次函数,称为二次型。,当aij 是实数时，称 f 为实二次型；,当aij 是复数时，称 f 为复二次型；,只含有平方项的二次型,如,称为二次型的标准形（或法式）,例如：,为二次型；,为二次型的标准形.,如果二次型的标准形形如,fy12y22 yp2yp12 yn2,称为二次